广东省2013届高三数学理科试题精选分类汇编5：数列

广东省2013届高三数学理科试题精选分类汇编5：数列

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编5：数列 一、选择题 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）已知等差数列的前项和为,且,则过点和 N*)的直线的斜率是 （　　）‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎ ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）正项等比数列满足,,,则数列的前项和是 （　　）‎ A．65 B． C．25 D．‎ ‎【答案】D ‎ ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,则等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）等差数列的前n项和为,若,则的值是 （　　）‎ A．130 B．‎65 ‎ C．70 D．75[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】A ‎ ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）等差数列中,已知,,,则为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））等比数列中,已知,则 （　　）‎ A． B．‎16 ‎C． D．4 ‎ ‎【答案】D ‎ ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）设等差数列的公差 ‎≠0,.若是与的等比中项,则 （　　）‎ A．3或 -1 B．3或‎1 ‎C．3 D．1‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）在等差数列{}中,首项a1=0,公差d≠0若,则k= （　　）‎ A．45 B．‎46 ‎C．47 D．48‎ ‎【答案】B ‎ ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））在等比数列{}中,已知=1,=2,则等于 （　　）‎ A．2 B．‎4 ‎C．8 D．16‎ ‎【答案】C ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知等差数列满足,,则前n项和取最大值时,n的值为 （　　）‎ A．20 B．‎21 ‎C．22 D．23‎ ‎【答案】B由得,由 ‎ ‎,所以数列前21项都是正数,以后各项都是负数,故取最大值时,n的值为21,选 B． ‎ ．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8·a10·a12等于 （　　）‎ A．16 B．‎32 ‎C．64 D．256‎ ‎【答案】解:由已知有a1·a19=16,又a1·a19=a102,∴在正项等比数列中,a10=4. ‎ ‎∴a8·a10·a12=a103=64.选 C． ‎ ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）等比数列中,公比,记(即表示 数列的前项之积), ,,,中值为正数的个数是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B等比数列中,公比,故奇数项为正数,偶数项为负数, ‎ ‎∴,,,,选 B． ‎ ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知数列都是公差为1的等差数列,其首项分别为且,则数列的前10项和等于 （　　）‎ A．55 B．‎70 ‎C．85 D．100‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版））已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差是 （　　）‎ A．5 B．‎4 ‎C．3 D．2‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）设是定义在(0,1)上的函数,对任意的都有,记,则= （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】因,故,故选 C． ‎ ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在等差数列中,首项公差,若,则的值为 （　　）‎ A．37 B．‎36 ‎C．20 D．19 ‎ ‎【答案】由得,选 （　　）‎ A． ‎ ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）已知数列是等差数列,若,则数列的公差等于 （　　）‎ A．1 B．‎3 ‎C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎ 二、填空题 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）‎ 观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有_______个小正方形,第n个图中有______________________________个小正方形 ‎【答案】、 ;‎ ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知等比数列的前项和为,, =________. ‎ ‎【答案】11 ‎ ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）等比数列中,若,则 ‎【答案】 ‎ ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）等比数列{}中,,则等于_________‎ ‎【答案】解析: , ‎ ．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知等差数列的公差,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是_________________.‎ ‎【答案】3 ‎ ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）将全体正奇数排成一个三角形数阵:‎ ‎1‎ ‎3．5‎ ‎7．9 11‎ ‎13．15 17 19‎ 按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）已知数列{‎ ‎}的前几项为:用观察法写出满足数列的一个通项公式=___‎ ‎【答案】,或 (注意,本题答案有多种可能,只要学生给出的通项公式计算出的前几项满足就可以判正确) ‎ ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知等比数列的公比为正数,且,则=________. ‎ ‎【答案】; ‎ ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知数列的首项,若,,则_______.‎ ‎【答案】,或 ‎ ．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知正整数对按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),,则第60个数对是_*****_.‎ ‎【答案】答案:(5,7), ‎ 解:按规律分组:第一组(1,1);第二组(1,2),(2,1);第三组(1,3),(2,2),(3,1);则前10组共有=55个有序实数对. ‎ 第60项应在第11组中,即(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),,(11,1)中的第5个,因此第60项为(5,7). ‎ ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数列第项________;第项__________.‎ 图3‎ ‎【答案】; ‎ ．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）已知等差数列的前项和为,若,则的值为________.‎ ‎【答案】 ‎ 分析:方法一、(基本量法)由得,即 , ‎ 化简得,故 ‎ 方法二、等差数列中由可将化为, ‎ 即,故 ‎ ．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知经过同一点的N个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分,则___________,_______________.‎ ‎【答案】8, ‎ ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知{an}的前n项之和为,a1 =1, Sn = 2an+1,则=______‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））在 的方格中进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向下,且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格.设 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图 4,给出了 时的一条路径.则_________;____________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）将集合{|且}中的元素按上小下大,左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第行第列的数记为(),则=________.‎ 第13题图 ‎【答案】 ‎ ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版））在等差数列中,有,则此数列的前13项之和为__________ . ‎ ‎【答案】【解析】等差数列中,有, ,故此数列的前13项之和为. ‎ ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD版））数列的项是由1或2构成,且首项为1,在第个1和第个1之间有个2,即数列 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,,记数列的前项和为,则___;___.‎ ‎【答案】; ‎ ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知等差数列的首项,前三项之和,则的通项.‎ ‎【答案】. ‎ 三、解答题 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）已知数列中,,且 ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)设,是数列的前项和,求的解析式;‎ ‎(Ⅲ)求证:不等式对恒成立.‎ ‎【答案】.解: ‎ 故, ‎ 又因为 ‎ 则,即 ‎ 所以, 4 ‎ ‎(2) ‎ ‎= 6 ‎ 因为= ‎ 所以,当时, 7 ‎ 当时,.(1) ‎ 得(2) ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎ 9 ‎ 综上所述: 10 ‎ ‎(3)因为 ‎ 又,易验证当,3时不等式不成立; 11 ‎ 假设,不等式成立,即 ‎ 两边乘以3得: ‎ 又因为 ‎ 所以 ‎ 即时不等式成立.故不等式恒成立. 14 ‎ ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知数列的前项和为,点均在函数的图像上.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,是数列的前项和,求使得对所有都成立的最小正整数.‎ ‎【答案】(1)依题意: ------------------------------ ‎ 当时,;当时, ‎ ‎∴ ----- ‎ ‎(2)∵ -- ‎ ‎∴------------ ‎ 依题意:,,即:, ‎ ‎∴,即:最小的正整数 -- ‎ ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）设等差数列的公差,数列为等比数列,若,,.‎ ‎(1)求数列的公比;‎ ‎(2)将数列,中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列,是否存在正整数(其中)使得和均成等差数列?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)设的公比为,由题意 ‎ ‎,即, ‎ 不合题意,故,解得 ‎ ‎(2)若与有公共项,不妨设 ‎ 由(1)知: ‎ 令,则, ‎ ‎ ‎ 若存在正整数(其中)满足题意,设,则 ‎ ‎ ‎ ‎,又, ‎ 且, ‎ 又在R上单调递增,,与题设矛盾, ‎ 不存在满足题意 ‎ ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）设函数(),已知数列是公差为2的等差数列,且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)当时,求证:.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) ‎ ‎ ------ ‎ ‎(Ⅱ)当时, ‎ ‎ ‎ ‎【编号】702 【难度】较难 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.‎ ‎(1)求数列的公比;‎ ‎(2)证明:对任意,成等差数列.‎ ‎【答案】 ‎ 解:(1)设数列的公比为(). ‎ 由成等差数列,得,即 ‎ 由得,解得,(舍去),所以 ‎ ‎(2)证法一:对任意, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 所以,对任意,成等差数列 ‎ 证法二:对任意,, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 因此,对任意,成等差数列 ‎ ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为,且 ().‎ ‎(1) 求数列,的通项公式; (2) 记,求证:.‎ ‎【答案】‎ ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）某产品在不做广告宣传且每千克获利元的前提下,可卖出千克.若做广告宣传,广告费为千元时比广告费为千元时多卖出千克,().‎ ‎(1)当广告费分别为1千元和2千元时,用表示销售量;‎ ‎(2)试写出销售量与的函数关系式;‎ ‎(3)当=50, =200时厂家应生产多少千克这种产品,做几千元广告,才能获利最大?‎ ‎【答案】解:(1)当广告费为1千元时,销售量 ‎ 当广告费为2千元时,销售量 [来源:Zxxk.Com]‎ ‎(2)设表示广告费为0千元时的销售量, ‎ 由题意得, ‎ 以上个等式相加得 ‎ 即 ‎ ‎(3)当=50, =200时,设获利为,则有 ‎ ‎ ‎ 欲使最大,则, ‎ 即 ‎ 得, 故,此时 ‎ 即该厂家应生产‎350千克产品,做3千元的广告,能获利最大. ‎ ‎【编号】643 【难度】较难 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）已知函数.数列满足,. 数列满足,.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)求证:且;‎ ‎(3)若则当时,求证:.‎ ‎【答案】(1)解:因为,所以函数定义域为 ‎ 且 , [来源:Z,xx,k.Com]‎ 由得所以的单调递减区间为; ‎ 由得,所以的单调递增区间为(0,+) ‎ 所以的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+) ‎ ‎(2)先用数学归纳法证明,. ‎ ‎(1)当时,由已知得结论成立. ‎ ‎(2)假设当时,结论成立,即.则当时, ‎ 因为时,所以在(0,1)上是增函数. ‎ 又在上连续,所以,即. ‎ 故当时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立 ‎ 又由, 得, ‎ 从而.综上可知 ‎ 构造函数,. ‎ 由,知在上为增函数.zxxk ‎ 又在上连续,所以. ‎ 因为,所以,即,从而 ‎ ‎(3) 因为 ,所以, ‎ 所以 ① , ‎ 由(2)知:, 所以= , ‎ 因为, n≥2, 所以 ‎ ‎————② . 由①② 两式可知: ‎ ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）已知数列、{}满足:,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)设,求数列的通项公式;‎ ‎(3)设,不等式恒成立时,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】 解:(1) ‎ ‎∵ , ∴ ‎ ‎(2)解法一. ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∴数列{}是以-4为首项,-1为公差的等差数列 ‎ ‎∴ ‎ 解法二: ‎ 猜想:,下面用数学归纳法证明 ‎ ‎①当时,,时成立; ‎ ‎②假设时,, ‎ 则时, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故对任意,成立 ‎ ‎∴ ‎ ‎(3)由于,所以,从而 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 由条件可知恒成立即可满足条件,设 ‎ ‎ ‎ 当时,恒成立 ‎ 当时,由二次函数的性质知不可能成立 ‎ 当时,对称轴 ,在为单调递减函数. ‎ ‎, ‎ ‎∴ ∴时恒成立 ‎ 综上知:时,恒成立 ‎ 解法二..由于,所以,从而 ‎ ‎∴ ‎ ‎, ‎ 设 ‎ ‎,由于,所以恒成立, ‎ 所以递减,所以, ‎ ．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）数列中,,,().‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)试求、的值,使得数列为等比数列;‎ ‎(3)设数列满足:,为数列的前项和.‎ 证明:时,.‎ ‎ ‎ 对成立 ‎ 由已知:,代入上式,整理得 ‎ ‎ ‎ ‎ 根据(1)(2)可知对于,都成立 ‎ 如上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分. ‎ ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知数列与满足,(),且 ‎(1)求,的值; ‎ ‎(2)设,,证明是等比数列;‎ ‎(3)设为的前项和,证明:‎ ‎ (且)‎ ‎【答案】解:(1)由,可得, 而 ‎ 当时,,由,得 ‎ 当时,,可得 ‎ ‎(2)证明:对任意,--------① ‎ ‎----------② ‎ ‎②-①得: ,即,于是,所以是等比数列 ‎ ‎(3)证明:,由(2)知,当且时, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由①得,所以,, ‎ 因此,,于是 ‎ 因为 ‎ 时, ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【编号】582 【难度】较难 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知函数在上有定义,,且对有.[来源:学#科#网]‎ ‎(1)试判断函数奇偶性;‎ ‎【答案】(1)解:为奇函数 ‎ 在中,令得 ‎ 再令得,∴ ‎ ‎∴,即函数为奇函数 ‎ ‎(2)证明: 由得 ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵函数为奇函数,∴ , ‎ ‎∵否则与矛盾,∴ ‎ ‎〔或=2〕 ‎ ‎∴, ‎ ‎∵∴是以-1为首项,为公比的等比数列 ‎ ‎(3)证明:又(Ⅱ)可得 ‎ ‎∵= ‎ ‎ [来源:Z.xx.k.Com] ‎ ‎ ‎ 又∵ ∴ ∴ 14 ‎ ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）设数列{an}的前n项和为Sn,且,n=1,2,3‎ ‎(1)求a1,a2;‎ ‎(2)求Sn与Sn﹣1(n≥2)的关系式,并证明数列{}是等差数列;‎ ‎(3)求S1•S2•S3S2011•S2012的值.‎ ‎【答案】(1)解:当n=1时,由已知得,解得[来源:Z、xx、k.Com] ‎ 同理,可解得 ‎ ‎(2)证明:由题设 ‎ 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1 ‎ 代入上式,得SnSn﹣1﹣2Sn+1=0 ‎ ‎∴, ‎ ‎∴=﹣1+ ‎ ‎∴{}是首项为=﹣2,公差为﹣1的等差数列 ‎ ‎∴=﹣2+(n﹣1)•(﹣1)=﹣n﹣1 ‎ ‎∴Sn= ‎ ‎(3)解:S1•S2•S3S2011•S2012=••••= ‎ ．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）已知有两个数列{},{},它们的前n项和分别记为,且数列{}是各项均为正数的等比数列,=26,前m项中数值最大的项的值,18,=728,又 ‎(I)求数列{},{}的通项公式.‎ ‎(II)若数列{}满足,求数列{}的前n项和Pn.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)设等比数列的公比为q , , ‎ 若q=1时 此时 而已知 ‎ ‎ , [来源:Zxxk.Com]‎ 由 得 ‎ 得: ‎ ‎ 前m项中最大 ‎ 即 即 ‎ 把及代入(1)式得 ‎ 解得q=3 把q=3代入得,所以 ‎ 由 ‎ ‎(1) 当n=1时 ‎ ‎(2) 当 时 适合上式 ‎ ‎(Ⅱ)由(1) , ‎ 记,的前n项和为,显然 ‎ ‎....① ‎ ‎ ..② ‎ ‎①-② 得:-2= ‎ ‎== ‎ ‎,即 ‎ ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分),数列{‎ ‎}的前n项和为,‎ ‎(I)设,证明:数列{}是等比数列;‎ ‎(II)求数列{n}的前n项和;‎ ‎(III)若求不超过P的最大整数的值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) 因为, ‎ 所以 ① 当时,,则,. ‎ ‎② 当时,,. ‎ 所以,即, ‎ 所以,而,. ‎ 所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.. ‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)得. ‎ 所以 ① ‎ ‎②. ‎ ‎②-①得:. [来源:学#科#网]‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知 ‎ 而 ‎ ‎, ‎ 所以 ‎, ‎ 故不超过的最大整数为... [来源:Z#xx#k.Com]‎ ．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知函数,数列{}满足,,设,数列{}的前n项和为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列{}的通项公式;‎ ‎(3)求证:‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知各项为正的数列{}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,有 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列{}的通项公式;[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎(3)若数列的前n项和为Tn,求Tn的最大值.‎ ‎ ‎ ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知数列中,,且当时,,.‎ 记的阶乘! ‎ ‎(1)求数列的通项公式;(2)求证:数列为等差数列;‎ ‎(3)若,求的前n项和.‎ ‎【答案】解:(1), ,[来源:Z&xx&k.Com] ‎ ‎ ‎ ‎! ‎ 又,! ‎ ‎(2)由两边同时除以得即 ‎ ‎∴数列是以为首项,公差为的等差数列 ‎ ‎,故 ‎ ‎(3)因为 ‎ 记= ‎ ‎ ‎ 记的前n项和为 ‎ 则 ① ‎ ‎∴ ② ‎ 由②-①得: ‎ ‎[来源:学.科.网] ‎ ‎∴= ‎ ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知函数为常数,数列满足:,,.‎ ‎(1)当时,求数列的通项公式;‎ ‎(2)在(1)的条件下,证明对有:;‎ ‎(3)若,且对,有,证明:.‎ ‎【答案】解:(1)当时,,两边取倒数,得, ‎ 故数列是以为首项,为公差的等差数列, ‎ ‎,, ‎ ‎(2)证法1:由(1)知,故对 ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎ . [来源:学科网]‎ ‎[证法2:①当n=1时,等式左边,等式右边,左边=右边,等式成立; ‎ ‎②假设当时等式成立, ‎ 即, ‎ 则当时 ‎ ‎ ‎ 这就是说当时,等式成立, ‎ 综①②知对于有: ] ‎ ‎(3)当时, ‎ 则, ‎ ‎∵, ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵与不能同时成立,∴上式“=”不成立, ‎ 即对, ‎ ‎【证法二:当时,, ‎ 则 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 令则 ‎ 当所以函数在单调递减,故当所以命题得证 】 ‎ ‎【证法三:当时,, ‎ ‎ ‎ 数列单调递减, ‎ ‎, ‎ 所以命题得证 】 ‎ ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知数列的前项和为,,,、、总成等差数列.‎ ‎⑴求;‎ ‎⑵对任意,将数列的项落入区间内的个数记为,求.‎ ‎【答案】解:⑴,、、总成等差数列, ‎ 所以,=()+() ‎ 因为,所以=()+(), ‎ 即 ‎ 又因为,,,, ‎ 所以数列是首项等于1,公比=3的等比数列 ‎ ‎,即 ‎ ‎⑵由⑴得, ‎ 时,,所以,任意, ‎ 任意,由,即 , ‎ ‎(, ‎ 因为,所以“若学生直接列举,省略括号内这一段解释亦可”) ‎ 可取、、、 ,所以 ‎ ．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3,),且a1 ,a2 ,a3成公比不为的等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求c的值;‎ ‎(Ⅱ)求{an}的通项公式.‎ ‎【答案】解:(I)a1=2, a2=2+c,a3=2+‎3c,因为a1,a2,a3成等比数列, ‎ 所以(2+c)2=2(2+‎3c),解得c=0或c=2. ‎ 当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故c=2. ‎ ‎(II)当n≥2时,由于 ‎ a2-a1=2, ‎ a3-a2=2×2, ‎ ‎ ‎ an-an-1=2(n-1), ‎ 以上n-1个式叠加,得an-a1=2[1+2++(n-1)]=n(n-1). ‎ Þ an=2+ n(n-1)=n2-n+2 (n=2,3,). ‎ 当n=1时,上式也成立,故an=n2-n+2 (n=1,2,3,) ‎ ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分分)‎ 已知等差数列满足又数列中,且.‎ ‎(1)求数列,的通项公式; ‎ ‎(2)若数列,的前项和分别是,且求数列的前项和;‎ ‎(3)若对一切正整数恒成立,求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】(本小题主要考查数列通项、错位求和与不等式等知识,考查化归与转化、方程的数学思想方法,以及运算求解能力) ‎ 解: ( 1)设等差数列的公差为,则由题设得: ‎ ‎ ‎ 即,解得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数列是以为首项,公比为的等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)可得 ‎ ‎ [来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎ zxxk ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 得: ‎ ‎ ‎ ‎ (3)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时, 取最小值,, ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 当时,恒成立; ‎ 当时,由 , ‎ 得 , ‎ ‎ ‎ 实数的取值范围是 ‎ ．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）在数和之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数 的乘积记为,令,N.‎ ‎(1)求数列的前项和;‎ ‎(2)求.‎ ‎【答案】(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) ‎ ‎(1)解法1:设构成等比数列,其中, ‎ 依题意,, ① ‎ ‎, ② ‎ 由于, ‎ ‎①②得 ‎ ‎∵, ‎ ‎∴ ‎ ‎∵, ‎ ‎∴数列是首项为,公比为的等比数列 ‎ ‎∴ ‎ 解法2: 设构成等比数列,其中,公比为, ‎ 则,即 ‎ 依题意,得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵, ‎ ‎∴数列是首项为,公比为的等比数列 ‎ ‎∴. ‎ ‎(2)解: 由(1)得, ‎ ‎∵, ‎ ‎∴,N ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知数列的前项和为,且 N.‎ ‎(1) 求数列的通项公式;‎ ‎(2)若是三个互不相等的正整数,且成等差数列,试判断是否成等比数列?并说明理由.‎ ‎【答案】(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) ‎ ‎(1) 解:, ‎ ‎∴ 当时,有 解得 ‎ 由, ① ‎ 得, ② ‎ ‎② - ①得: . ③ ‎ 以下提供两种方法: ‎ 法1:由③式得:, ‎ 即; ‎ ‎, ‎ ‎∵, ‎ ‎∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列. ‎ ‎∴,即 ‎ 当时, , ‎ 又也满足上式, ‎ ‎∴ ‎ 法2:由③式得:, ‎ 得. ④ ‎ 当时,, ⑤ ‎ ‎⑤-④得: ‎ 由,得, ‎ ‎∴ ‎ ‎∴数列是以为首项,2为公比的等比数列. ∴ ‎ ‎(2)解:∵成等差数列, ‎ ‎∴ ‎ 假设成等比数列, ‎ 则, ‎ 即, ‎ 化简得:. (*) ‎ ‎∵, ‎ ‎∴,这与(*)式矛盾,故假设不成立 ‎ ‎∴不是等比数列. ‎ ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）数列中,前 项和,,,.‎ ‎(1)证明数列是等差数列;(2)求关于的表达式;‎ ‎(3)设 ,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明:由,得. ‎ ‎∴,故 ‎ ‎∴数列由是首项,公差的等差数列; ‎ ‎(2)解:由(1)得 ‎ ‎∴; ‎ ‎(3)由(2),得== ‎ ‎∴数列的前项和 ‎ ‎ ‎ ．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）数列的前项和为,数列是首项为,公差为的等差数列,且成等比数列.‎ ‎(1)求数列与的通项公式;(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】解析:(1)当,时, ‎ 又,也满足上式, ‎ 所以数列{}的通项公式为 [来源:Z.xx.k.Com] ‎ ‎,设公差为,则由成等比数列, ‎ 得, ‎ 解得(舍去)或, ‎ 所以数列的通项公式为 ‎ ‎(2)由(1)可得, ‎ ‎, ‎ 两式式相减得 ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在函数的图像上,且过点的切线的斜率为.‎ ‎(1)求数列的通项公式. (2)若,求数列的前项和.‎ ‎(3)设,等差数列的任一项,其中是中的最小数,,求的通项公式.‎ ‎【答案】解:(1)点都在函数的图像上,, ‎ 当时, ‎ 当时,满足上式,所以数列的通项公式为 ‎ ‎(2)由求导可得 ‎ 过点的切线的斜率为,. ‎ ‎. ‎ ‎ ① ‎ 由①×4,得 ② ‎ ‎①-②得: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3),. ‎ 又,其中是中的最小数,. ‎ 是公差是4的倍数,. ‎ 又,,解得,所以, ‎ 设等差数列的公差为,则 ‎ ‎,所以的通项公式为 ‎ ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知x轴上有一列点P1,P2 P3,,Pn,,当时,点Pn是把线段Pn-1 Pn+1 作n等分的分点中最靠近Pn+1的点,设线段P1P2 , P2P3 , P3P4,,PnPn+1的长度分别 为a1,a2,a3,,an,其中a1=1.‎ ‎(1)求an关于n的解析式;‎ ‎(2 )证明:a1 + + a3 + + an < 3 ‎ ‎(3) 设点P(n,) {),在这些点中是否存在两个点同时在函数 的图象上?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知数列满足:,且对任意和均为等差数列.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)证明:和均成等比数列;‎ ‎(3)是否存在唯一的正整数,使得恒成立?证明你的结论.‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）如图,过点P(1,0)作曲线C:的切线,切点为,设点在轴上的投影是点;又过点作曲线的切线,切点为,设在轴上的投影是;;依此下去,得到一系列点,设点的横坐标为.‎ ‎(1)求直线的方程; (2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)记到直线的距离为,求证:时, ‎ ‎ ‎ ‎【答案】解:(1)令,由得 ‎ 即 故 ‎ ‎,则切线的方程为: ‎ ‎(2)令,则 ‎ 化简得, ‎ 故数列是以2为首项2为公比的等比数列 ‎ 所以 ‎ ‎(3)由(2)知,, ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎12 ‎ 故 ‎ ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）在数列中,,且对任意成等差数列,其公差为.‎ ‎(1)证明:成等比数列; (2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)记,证明:‎ ‎【答案】证明:(Ⅰ)因为,且,,,成等差数列,其公差为. ‎ 即, ‎ 所以,分别取代入解得, ‎ 显然满足,即,,成等比数列; ‎ ‎(Ⅱ)由题意可知:对恒成立 ‎ 所以 ‎ ‎= ‎ 又,所以= ‎ 所以数列的通项公式为, ‎ 或写为(注意:以上三种写法都给全分) ‎ ‎(Ⅲ)先证右边:(1)当时,,显然满足结论. ‎ ‎(2)当时,因为为奇数时,, ‎ 所以,且 ‎ 当为偶数时,,, ‎ 综上可知,当时取等号 ‎ 所以对任意的成立. ‎ 再证左边: ‎ 因为 ‎ 所以(1)当时 ‎ ‎ ‎ ‎(2)当时 ‎ ‎ ‎ 综上可知对,成立. ‎ ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版））已知曲线C:xy=1,过C上一点作一斜率的直线交曲线C于另一点,点列{}的横坐标构成数列{},其中.‎ ‎(1)求与的关系式;‎ ‎(2)求证:数列是等比数列;‎ ‎(3)求证:‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的通项公式;‎ ‎(3)求最小的自然数,使.‎ ‎【答案】解:(1),,, ‎ ‎∵,,成等比数列,∴, ‎ 解得或 ‎ 当时,,不符合题意舍去,故 ‎ ‎(2)当时,由,,, ‎ 得 ‎ 又,,∴ ‎ 当时,上式也成立,∴ ‎ ‎(3)由得,即 ‎ ‎∵,∴ ‎ 令,得,令得 ‎ ‎∴使成立的最小自然数 ‎ ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）设函数,记的导函数,的导函数,‎ 的导函数,,的导函数,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)用n表示;‎ ‎(3)设,是否存在使最大?证明你的结论.‎ ‎【答案】⑴易得,, ‎ ‎ ‎ ‎,所以 ‎ ‎⑵不失一般性,设函数的导函数为 ‎ ‎,其中,常数,. ‎ 对求导得: ‎ 故由得: ①, ‎ ‎ ②, ‎ ‎ ③ ‎ 由①得: , ‎ 代入②得:,即,其中 ‎ 故得: ‎ 代入③得:,即,其中. ‎ 故得:, ‎ 因此. ‎ 将代入得:,其中 ‎ ‎(2)由(1)知, ‎ 当时,, ‎ ‎,故当最大时,为奇数 ‎ 当时, ‎ 又, ‎ ‎, ‎ ‎,因此数列是递减数列 ‎ 又,, ‎ 故当或时,取最大值 ‎ ‎【编号】84 【难度】较难 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版））已知函数(为常数,),且数列是首项为,公差为的等差数列. ‎ ‎(1) 若,当时,求数列的前项和; ‎ ‎(2)设,如果中的每一项恒小于它后面的项,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 证:由题意,即, ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 当时, ‎ ‎∴, ① ‎ ‎ ② ‎ ‎①-②,得 ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎(2) 解:由(1)知,,要使对一切成立, ‎ 即对一切成立 ‎ ‎,对一切恒成立, ‎ 只需, ‎ 单调递增,∴当时, ‎ ‎∴,且, ∴ ‎ 综上所述,存在实数满足条件 ‎ ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设,函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:存在唯一实数,使;‎ ‎(Ⅱ)定义数列:,,.‎ ‎(i)求证:对任意正整数n都有;‎ ‎(ii) 当时, 若,证明:对任意都有:.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明: ① ‎ 令,则,, ‎ ‎∴ ‎ 又,∴是R上的增函数 ‎ 故在区间上有唯一零点, ‎ 即存在唯一实数使 ‎ ‎②当时, ,,由①知,即成立; ‎ 设当时, ,注意到在上是减函数,且, ‎ 故有:,即 ‎ ‎∴, ‎ 即.这就是说,时,结论也成立. ‎ 故对任意正整数都有: ‎ ‎(2)当时,由得:, ‎ ‎ ‎ 当时,, ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 对, ‎ ‎ zxxk ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知数列满足:,且(). ‎ ‎ ‎ ‎ ……………………………‎ ‎ ‎ ‎…………………………………………‎ ‎(Ⅰ)求证:数列为等差数列;‎ ‎(Ⅱ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)求下表中前行所有数的和.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由条件,,得 ‎ ‎ ‎ ‎∴ 数列为等差数列. [来源:Zxxk.Com]‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ zxxk ‎ ‎(Ⅲ) () ‎ ‎∴ 第行各数之和 ‎ ‎ () ‎ ‎∴ 表中前行所有数的和 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎