2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题5 第15讲 直线与圆

2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题5 第15讲 直线与圆

专题5　解析几何 第15讲　直线与圆 题型一| 直线与方程 ‎　(1)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．‎ ‎(2)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是________．‎ ‎(1)5　(2)x＋y－＝0　[(1)∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，‎ ‎∴A(0,0)，B(1,3)．‎ 当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；‎ 当点P与点A，B均不重合时，∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，‎ ‎∴△APB为直角三角形，∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，‎ ‎∴|PA|·|PB|≤＝＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．‎ ‎(2)由垂直于直线y＝x＋1可设直线方程为x＋y＋b＝0，则有＝1，b＝±，又∵切点在第一象限，故直线方程为x＋y－＝0.]‎ ‎【名师点评】　两直线位置关系的判定方法：‎ ‎(1)给定两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则有下列结论：‎ l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎(2)若给定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：‎ l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；‎ l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.‎ ‎1．(2016·南京二模)若直线l1：x＋2y－4＝0与l2：mx＋(2－m)y－3＝0平行，则实数m的值为________．‎ 　[由题意得：＝≠⇒m＝.]‎ ‎2．(2016·南通调研一)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(4,0)．若直线x－y＋m＝0上存在点P，使得PA＝PB，则实数m的取值范围是________．‎ ‎[－2，2]　[法一：设满足条件PB＝2PA的P点坐标为(x，y)，则(x－4)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，化简得x2＋y2＝4.要使直线x－y＋m＝0有交点，则≤2.即－2≤m≤2.‎ 法二：设直线x－y＋m＝0有一点(x，x＋m)满足PB＝2PA，则 ‎(x－4)2＋(x＋m)2＝4(x－1)2＋4(x＋m)2.‎ 整理得2x2＋2mx＋m2－4＝0.(*)‎ 方程(*)有解，则Δ＝4m2－8(m2－4)≥0，‎ 解得－2≤m≤2.]‎ ‎3．过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________．‎ ‎【导学号：19592045】‎ x±3y＋4＝0　[如果直线l与x轴平行，则A(1－，0)，B(1＋，0)，A不是PB中点，则直线l与x轴不平行；设l：x＝my－4，圆心C到直线l的距离d＝，令AB中点为Q，则AQ＝，PQ＝3AQ＝3，在Rt△CPQ中，PQ2＋CQ2＝PC2，得d2＝＝，解得m＝±3，则直线l的方程为x±3y＋4＝0.]‎ 题型二| 圆的方程 ‎　(1)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程是__________________．‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2－4x－8y＋19＝0关于直线l：x＋2y－5＝0对称的圆C2的方程为________．‎ ‎(1)(x－2)2＋(y－1)2＝4　(2)x2＋y2＝1　[(1)设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(2)由圆C1：x2＋y2－4x－8y＋19＝0化简可得该圆圆心为(2,4)，半径为1，则圆心(2,4)关于直线l：x＋2y－5＝0的对称点满足 可解得故圆C2的方程为x2＋y2＝1.]‎ ‎【名师点评】　求圆的方程的两种方法 ‎1．几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．‎ ‎2．代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．‎ ‎1．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．‎ ‎(x－1)2＋y2＝2　[直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．‎ 当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.]‎ ‎2．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________．‎ ‎【导学号：19592046】‎ ‎(x－3)2＋y2＝4　[设圆心坐标为(a,0)(a>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r＝|a－1|，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝.‎ 由弦长为2可知2＝(a－1)2－2，解得(a－1)2＝4，所以a＝3或a＝－1(舍去)．‎ 故圆心为(3,0)，半径为2，所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝4.]‎ ‎3．当且仅当a0)上恰好有两点到直线3x＋4y－15＝0的距离为2，则以(a，b)为圆心，且和直线4x－3y＋1＝0相切的圆的方程为________．‎ ‎(x－1)2＋(y－5)2＝4　[因为圆心(0,0)到直线3x＋4y－15＝0的距离d＝＝3.结合图形可知，圆上恰好有两点到直线3x＋4y－15＝0的距离为2的充要条件是|r－3|<2，即1

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