2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题（讲）（原卷版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题（讲）（原卷版）

专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题 纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1.定点问题 求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x，y看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点。‎ ‎【例】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1,2)为抛物线C上一点。‎ ‎(1)求抛物线C的方程。‎ ‎(2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，若kBP·kBQ＝－2，‎ 求证：直线PQ过定点。‎ ‎【例】【河北省张家口市2019届高三上期末】已知点是圆：上一动点，线段与圆：相交于点.直线经过，并且垂直于轴，在上的射影点为.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程；‎ ‎(2)设圆与轴的左、右交点分别为，，点是曲线上的点(点与，不重合)，直线，与直线：分别相交于点，，求证：以直径的圆经过定点.‎ ‎【例】 【四川省2020届高三大联考】如图，在平面直角坐标系中，已知点，过直线：左侧的动点作于点，的角平分线交轴于点，且，记动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)过点作直线交曲线于两点，点在上，且 轴，试问：直线是否恒过定点？请说明理由.‎ ‎2.定值问题 定值是证明求解的一个量与参数无关,解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.‎ ‎【例】【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上期末】已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线经过点且与椭圆相交于，两点(异于点)，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.‎ ‎【例】在直角坐标系中，曲线的点均在：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程；‎ ‎(Ⅱ)设()为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点A，B和C，D.证明：当在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．‎ ‎【例】【2020届四川省绵阳南山中学高三二诊】已知椭圆的焦距为，且经过点.过点的斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点，直线交轴于点.‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2)试问： 是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.‎ ‎3.探索性问题 解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确. 其解题步骤为:‎ ‎(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).‎ ‎(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在;若无解则不存在.‎ ‎(3)得出结论.‎ ‎【例】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝。‎ ‎(1)求抛物线的方程。‎ ‎(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【例】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的方程；‎ ‎(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【例】如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．‎ ‎(Ｉ)求的方程；‎ ‎(Ⅱ)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且 ‎？证明你的结论。‎ ‎【例】【湖北省宜昌市2020届高三调研】已知椭圆：的离心率为，短轴长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点.问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【反思提升】‎ ‎1、探索性问题：此类问题一般分为探究条件、探究结论两种。若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论。‎ ‎2.存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.注意以下几点:‎ ‎(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.‎ ‎(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.‎ ‎(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.‎ ‎3、求定值问题常用的方法有两种 ‎(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。‎ ‎(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值。‎ ‎4、求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x，y看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点。‎