2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试(1月) 数学(文)

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2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试(1月) 数学(文)

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数 学 文 试 题 ‎ (总分160分,考试时间120分钟)‎ 注意事项:‎ ‎  1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.‎ ‎  2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.‎ ‎  3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.‎ 参考公式:‎ 柱体体积公式:,锥体体积公式:,其中为底面积,为高.‎ 样本数据的方差,其中.‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎1.已知集合,全集,则ðUA= ▲ .‎ ‎(第5题图)‎ ‎2.设复数,其中为虚数单位,则 ▲ .‎ ‎3.学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查,则甲被选中的概率为 ▲ .‎ ‎4.命题“,”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)‎ ‎5.运行如图所示的伪代码,则输出的的值为 ▲ .‎ ‎6.已知样本的平均数是,且,则此样本的方差是 ▲ .‎ ‎7.在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到其焦点的距离为,则点到点的距离为 ▲ .‎ ‎8.若数列是公差不为0的等差数列,、、成等差数列,则的值为 ▲ .‎ ‎9.在三棱柱中,点是棱上一点,记三棱柱与四棱锥的体积分别为与,则 ▲ .‎ ‎10.设函数()的图象与轴交点的纵坐标为, 轴右侧第一个最低点的横坐标为,则的值为 ▲ .‎ ‎11.已知是△的垂心(三角形三条高所在直线的交点),, 则的值为 ▲ .‎ ‎12.若无穷数列是等差数列,则其前10项的和为 ▲ .‎ ‎13.已知集合,集合, 若,则的最小值为 ▲ .‎ ‎14.若对任意实数,都有成立,则实数的值为 ▲ .‎ 二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知满足.‎ ‎(1)若,,求;‎ ‎(2)若,且,求.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,长方体中,已知底面是正方形,点是侧棱上的一点.‎ ‎(1)若//平面,求的值;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎(第16题图) ‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,是一块半径为4米的圆形铁皮,现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从中裁剪出两块全等的圆形铁皮与,做圆柱的底面,裁剪出一个矩形做圆柱的侧面(接缝忽略不计),为圆柱的一条母线,点、在上,点、在的一条直径上,、分别与直线、相切,都与内切.‎ ‎(1)求圆形铁皮半径的取值范围;‎ (2) 请确定圆形铁皮与半径的值,使得油桶的体积最大.(不取近似值)‎ ‎(第17题图) ‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 设椭圆的左右焦点分别为,离心率是,动点在椭圆上运动,当轴时,,.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)延长分别交椭圆于点(不重合),设, ,求的最小值.‎ y ‎(第18题图) ‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 定义:若无穷数列满足是公比为的等比数列,则称数列为“数列”.设数列中,.‎ ‎(1)若,且数列是“数列”,求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前项和为,且,请判断数列是否为 “数列”,并说明理由;‎ ‎(3)若数列是“数列”,是否存在正整数使得?若存在,请求出所有满足条件的正整数;若不存在,请说明理由.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 若函数为奇函数,且时有极小值.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)求实数的取值范围;‎ ‎(3)若恒成立,求实数的取值范围.‎ 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.‎ ‎1. 2. 3. 4.真 5. 6. 7.‎ ‎8. 9. 10. 11. 12.10 13. 14. 二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎15.解:(1)由可知,‎ 移项可得,又,故, ……………………………………………2分 又由,可知, ……………………………4分 故在中,由正弦定理可得 ,所以. ………………7分 ‎(2)由(1)知,所以时,,‎ 由即可得 ‎ , ……………10分 ‎∴.…14分 ‎16.(1)证明:连结交于点,连结, ‎ 又因为平面,平面 平面平面,所以 ……………3分 因为四边形是正方形,对角线交于点 ,‎ 所以点是的中点,所以,‎ 所以在中,. ……………6分 ‎(2)证明:连结.‎ 因为为直四棱柱,所以侧棱垂直于底面,‎ 又平面,所以.…………………………………………………………………8分 因为底面是正方形,所以. ……………………………………………………10分 又,面, 面,‎ 所以面. ……………………………………… …………………………………………12分 又因为,所以,又因为,‎ 所以A1PÌ面ACC1A1,所以. ………………………………………………14分 ‎17.解:(1)设半径为,则,‎ 所以的周长, ………………………………………………4分 解得 ,故半径的取值范围为. ……………………………………………6分 ‎(2)在(1)的条件下,油桶的体积, ……………………………………8分 设函数,‎ 所以,由于 ,‎ 所以在定义域上恒成立,‎ 故在定义域上单调递增,‎ 即当时,体积取到最大值. ………………………………………………13分 答:半径的取值范围为,当时,体积取到最大值. ………………………14分 ‎18.解:(1)由当轴时,可知, …………………………………………………2分 将,代入椭圆方程得(※),‎ 而,,代入(※)式得,‎ 解得,故,∴椭圆的方程为.…………………………………………………4分 ‎(2)方法一:设,由得,故,‎ 代入椭圆的方程得(#), ………………………………………………8分 又由得,代入(#)式得,‎ 化简得,即,显然,‎ ‎∴,故.……………………………………………………………………12分 同理可得,故,‎ 当且仅当时取等号,故的最小值为 ‎. ………………………………………………16分 方法二:由点,不重合可知直线与轴不重合,故可设直线的方程为,‎ 联立,消去得(☆),‎ 设,则与为方程(☆)的两个实根,‎ 由求根公式可得,故,则,……………………8分 将点代入椭圆的方程得,‎ 代入直线的方程得,∴,‎ 由得,故 ‎.…………………………………………………12分 同理可得,故,‎ 当且仅当时取等号,故的最小值为. ………………………………………………16分 注:(1)也可设得,其余同理.‎ ‎(2)也可由运用基本不等式求解的最小值. ‎ ‎19.解:(1)∵,且数列是“数列”,‎ ‎∴,∴,∴‎ ‎,………………………………2分 故数列是等差数列,公差为,‎ 故通项公式为,即. ………………………………………………4分 ‎(2)由得,,故.‎ 方法一:由得,‎ 两式作差得,即,‎ 又,∴,∴对恒成立,……………………6分 则,而,∴,∴,‎ ‎∴是等比数列, ………………………………………………………………………………8分 ‎∴,∴,∴,‎ ‎∴是公比为的等比数列,故数列是“数列”.………………………………10分 方法二:同方法一得对恒成立,‎ 则,两式作差得,而,‎ ‎∴,∴,以下同方法一. ……………………………………10分 ‎(3)由数列是“数列”得,‎ 又,∴,∴,∴,∴,‎ ‎∴当时,‎ ‎,‎ 当时上式也成立,故, ……………………………………12分 假设存在正整数使得,则,‎ 由可知,∴,又为正整数,∴,‎ 又,‎ ‎∴,∴,∴,∴,‎ ‎∴,∴,∴,‎ 故存在满足条件的正整数,,. ……………………………………16分 ‎20.解:(1)由函数为奇函数,得在定义域上恒成立,‎ 所以 ,‎ 化简可得 ,所以. ………………………………………………3分 ‎(2)法一:由(1)可得,‎ 所以,‎ 其中当时,由于恒成立,‎ 即恒成立,故不存在极小值. ………………………………………………5分 当时,方程有两个不等的正根,‎ 故可知函数在上单调递增,‎ 在上单调递减,即在处取到极小值,‎ 所以,的取值范围是. ………………………………………………9分 法二:由(1)可得,‎ 令,‎ 则,‎ 故当时,;当时,, …………………………………………5分 故在上递减,在上递增,‎ ‎∴,‎ 若,则恒成立,单调递增,无极值点;‎ 所以,解得,‎ 取,则,‎ 又函数的图象在区间上连续不间断,故由函数零点存在性定理知在区间上,存在为函数的零点,为极小值.‎ 所以,的取值范围是. ………………………………………………9分 ‎(3)由满足,‎ 代入, ‎ 消去m可得, ……………………………………11分 构造函数,‎ 所以,当时, ,‎ 所以当时,恒成立,故h(x)在[0,+)上为单调减函数,其中, ……13分 则可转化为,‎ 故,由,设,‎ 可得当时,,在上递增,故,‎ 综上,的取值范围是 . ………………………………………………16分
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