2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版
2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版
第I 卷（选择题）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上)
1. 若f(x)=ln(lnx)，那么f′(x)|x=e=( )
A. e B. C. 1 D. 以上都不对
【答案】B
【解析】f′(x)=［ln(lnx)］′=·(lnx)′=，
则f′(x)|x=e==.
本题选择B选项.
2. 设曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】，，
当x＝0时，y′＝a－1.
即：，从而a－1＝2，即a＝3.
本题选择D选项.
3. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】构造函数，则，
据此可得函数在区间上单调递减，
，
即：，.
本题选择B选项.
4. 设函数f（x）=+lnx，则（ ）
A. x=为f(x)的极大值点 B. x=为f(x)的极小值点
C. x=2为 f(x)的极大值点 D. x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D
求解不等式可得，故函数在区间上单调递增；
求解不等式可得，故函数在区间上单调递减；
据此可得是函数的极小值点.
本题选择D选项.
5. 若，则a的值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】，
由题意可得：，
构造函数，
则单调递增，
注意到，据此可得：a＝3是方程的唯一解.
本题选择B选项.
6. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
A. (－1，2) B. (－∞，－3)∪(6，＋∞)
C. (－3，6) D. (－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】B
【解析】
根据题意可得： ，解得或，故选C.
点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”轴即可.
7. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的导函数在区间上是增函数，
即在区间上各点处函数的变化率是递增的，
故图像应越来越陡峭．由图易知选A.
点睛：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图象的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色．
8. 设函数在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. (1，2] B. (4，＋∞] C. [－∞，2) D. (0，3]
【答案】A
【解析】，当，即时，有0
0且a＋1≤3，解得10时，f(x)＝－2x<0；
当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－10时， f(x)在(0，a)为减函数，f(x)在(a，＋∞)为增函数，f(x)在(0，＋∞)有极小值f(a)＝ln a＋1，无极大值.
试题解析：
，x∈(0，＋∞).
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)为增函数，无极值.
②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)在(0，a)为减函数；
x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)为增函数，
f(x)在(0，＋∞)有极小值，无极大值，f(x)的极小值f(a)＝ln a＋1.
18. 一点在直线上从时刻t=0s开始以速度运动，求：
⑴该点在t=4s的位置；
⑵该点在t=4s运动的路程.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意结合定积分的物理意义可得该点在t=4s的位置为；
(2)由题意结合定积分的物理意义可得该点在t=4s运动的路程为.
试题解析：
⑴.
⑵，
在区间上的；在区间上的
.
19. 已知函数f(x)＝ex－x2＋2ax.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】(1)ex－y＋1＝0；(2)[ln 2－1，＋∞).
【解析】试题分析：
(1)由函数的解析式可得f′(1)＝e，f(1)＝e＋1，据此可得切线方程为ex－y＋1＝0.
(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，则原问题等价于a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，求导可得g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).
试题解析：
(1)函数的解析式：f(x)＝ex－x2＋2x，
f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e，又f(1)＝e＋1，
∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.
(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
∴a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，
则g′(x)＝1－，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，
在(－∞，ln 2)上，g′(x)>0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).
20. 在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．
【答案】答案见解析
【解析】试题分析：
由题意结合定积分的几何意义可求得，结合定义域讨论函数的单调性可得当时，S1与S2之和取得最小值，且最小值为.
试题解析：
S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t面积，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.
t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.
所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
点睛：(1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提．
(2)
利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．
21. 已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋lnx)＋a，若函数f(x)在区间上无零点，求实数a的最小值.
【答案】2－4ln 2.
【解析】试题分析：
由题意可知f(x)<0在区间上恒成立不可能，则原问题等价于对x∈,恒成立.构造函数,则，
再令，可得m(x)> 0，则l(x)在上为增函数,据此可得a∈[2−4ln2,+∞)，a的最小值为2−4ln2.
试题解析：
函数的解析式即：
为定值，而，
故f(x)<0在区间上恒成立不可能，
故要使函数f(x)在上无零点，
只要对任意的x∈,f(x)>0恒成立,
即对x∈,恒成立.
令,则，
再令，
则,故m(x)在上为减函数,于是m(x)>m()=2−2ln2>0，
从而, ,于是l(x)在上为增函数,所以l(x)
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