2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：解绝对值不等式和二次不等式，注意集合中，利用交集定义求解即可.‎ 详解：集合，‎ 集合，‎ 所以.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2．若复数满足 (是虚数单位),则的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由复数的除法运算得，进而得共轭复数.‎ 详解：由，得.‎ 所以的共轭复数是.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3．下列极坐标方程中，表示圆的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据，可将选项中的极坐标方程化成直角坐标方程，从而可判定是否是圆的方程．‎ 详解：∵，，‎ ‎∴ρ=1即=1,表示圆;‎ 表示射线；‎ 表示直线y=1;‎ 表示直线，‎ 故选：D.‎ 点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，属于基础题.‎ ‎4．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：依次根据自变量的范围代入函数，由内向外求值即可.‎ 详解：由，可得；‎ 所以；‎ ‎.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查复合函数的求值问题，属于基础题.‎ ‎5．直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】将直线的参数方程化成普通方程可得，所以直线的斜率，从而得到其倾斜角为，故选C.‎ ‎6．设命题: ；则为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由全称命题的否定为特称即可得解；‎ 详解：因为全称命题的否定为特称命题，‎ 所以命题: ；则为.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎7．曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：将椭圆的参数方程化为普通方程，进而得，，，从而得解.‎ 详解：由曲线，消去参数，可得：.‎ 有：.‎ 所以离心率为：.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查了椭圆参数方程与普通方程的互化，及椭圆离心率的求解，属于基础题.‎ ‎8．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．‎ 详解：在(0,+∞)上单调递增，但为奇函数；‎ 为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增；‎ 为偶函数,但在(0,+∞)上单调递减；‎ 在(0,+∞)上单调递增，但为非奇非偶函数.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.‎ ‎9．“”是“”的 （ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。‎ 解：对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．故选A。‎ ‎10．在同一平面直角坐标系中，将曲线按伸缩变换变换后为(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由伸缩变换，得，代入曲线方程即可求得最终结果．‎ 详解：由伸缩变换，得,代入曲线方程可得：，‎ 整理可得：，即伸缩变换后的方程为：.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题主要考查了曲线的伸缩变化，属于基础题.‎ ‎11．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加 “智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：‎ 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； ‎ 小王说：“丁团队获得一等奖”； ‎ 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； ‎ 小赵说：“甲团队获得一等奖”． ‎ 若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;‎ ‎2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;‎ ‎3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;‎ ‎4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.‎ ‎12．函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令 ，则 ‎ 恒成立，‎ ‎ ‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ ‎∴ ‎ 令则恒成立， ‎ ‎∴函数在上单调递减，‎ 综上可得： 选D 点睛：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．若复数，则_____________‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：由复数的除法运算得，进而.‎ 详解：由.‎ ‎.‎ 故答案为：1.‎ 点睛：本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.‎ ‎14．在极坐标系中，若点，则的面积为_______________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：由极径极角的定义得三角形的两边和夹角，即可得面积.‎ 详解：在极坐标系下,点，O是极点，‎ ‎∴，‎ 则△AOB的面积等于，‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查了极坐标的几何意义，属于基础题.‎ ‎15．已知，则归纳推理得________________________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知中的等式，分析根号中分式分子和分母的变化规律，得到a，b值．‎ 详解：由已知中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…，‎ 归纳可得：第n个等式为：‎ ‎ ‎ 当n+1=10时，a=10，b=99，‎ 故a+b=109，‎ 故答案为：109.‎ 点睛：归纳推理是数学中一种重要的推理方法，是由特殊到一般、由个别到全部的推理，常见的是在数列中的猜想，其关键在于通过所给前几项或前几个图形，分析前后联系或变化规律，以便进一步作出猜想．‎ ‎16．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过作，为垂足，如果直线的斜率为，那么________________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长．‎ 详解：∵抛物线方程为，‎ ‎∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，‎ ‎∵直线AF的斜率为−,直线AF的方程为，‎ 由可得A点坐标为 ‎∵PA⊥l，A为垂足，‎ ‎∴P点纵坐标为,代入抛物线方程,得P点坐标为(6,)，‎ ‎∴.‎ 故答案为8.‎ 点睛：该题考查的是抛物线的有关问题，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，对应直线与曲线的交点的求解方法就是联立方程组，再者利用抛物线上的点到焦点的距离就可以应用其到准线的距离可以简化式子，求得结果.‎ 三、解答题 ‎17．(本小题满分10分)‎ 命题函数的定义域为；命题函数在上单调递减，若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：为真，为假，则一真一假，若为真命题，若为真命题，分真假，假真两种情况进行.‎ 试题解析：‎ 若为真命题，∴，‎ 若为真命题，∵为真，为假，‎ ‎∴一真一假，‎ ‎①当真假，，∴；‎ ‎②当假真，，∴，‎ 综合①②有实数的取值范围为.‎ ‎18．在直角坐标系中，圆的参数方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的普通方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)1.‎ ‎【解析】分析：（1）消去参数即可得普通方程；‎ ‎（2）将圆的普通方程为极坐标方程得，直线的极坐标方程是，将代入求极径，作差可得解.‎ 详解：（1）∵ 圆的参数方程为 ‎∴圆的普通方程为； ‎ ‎（2）化圆的普通方程为极坐标方程得， ‎ 设，则由，解得， ‎ 设，则由，解得，‎ ‎∴ ‎ 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，一定要时刻关注由参数方程向普通方程转化，直角坐标方程与极坐标方程的互化规律求得结果，尤其第二问中用的方法，将两个方程都用极坐标方程表示，利用极径的意义解决问题，这个是我们不常用的.‎ ‎19．已知函数， 其中．‎ ‎（）若函数的图象关于直线对称，求的值．‎ ‎（）若函数在区间上的最小值是，求的值．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由二次函数的对称轴为直线，对于可求解；‎ ‎（2）讨论对称轴和区间的位置关系，由二次函数的单调性可得解.‎ 详解：（）因为，‎ 所以的图象的对称轴为直线．‎ 由，解得， ‎ ‎（）函数的图象的对称轴为直线．‎ 当，即时， ‎ 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以在区间上的最小值为， ‎ 令，此方程无解；‎ 当，即时，‎ 因为在区间上单调递减，‎ 所以在区间上的最小值为， ‎ 令，解得． ‎ 综上， ． ‎ 点睛：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎（2）设为曲线上的动点,求点到曲线上的距离的最小值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）消参数即可得普通方程，利用极坐标化为直角坐标公式化为普通方程；（2）根据点到直线距离公式及三角函数有界性可求出最小值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由曲线（为参数），‎ 曲线的普通方程为：，‎ 由曲线，展开可得：‎ ‎，‎ 化为：.‎ ‎（2）椭圆上的点到直线的距离为 其中，‎ 所以当时，的最小值为.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由和可由点斜式得切线方程；‎ ‎（2）由函数在上是减函数，可得在上恒成立，，由二次函数的性质可得解.‎ 详解：（1）当时， ‎ 所以， ‎ 所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（2）因为函数在上是减函数，‎ 所以在上恒成立. ‎ 做法一：‎ 令,有，得 故.‎ 实数的取值范围为 ‎ 做法二：‎ ‎ 即在上恒成立，则在上恒成立，‎ ‎ 令，显然在上单调递减，‎ 则，得 实数的取值范围为 ‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆,圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线,且交椭圆于两点,直线交圆于两点, 且为的中点, 求的面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先运用两点间的距离公式求得的值，然后根据圆的圆心在椭圆上得到关于的方程，由此求得的值，从而得到椭圆的方程；（2）首先由题意得的斜率不为零，然后求得当垂直轴的面积；当不垂直轴时, 设出直线的方程，并联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式化简整理，再利用换元法结合的单调性求得的面积的取值范围．‎ 试题解析：（1）因为椭圆的右焦点．‎ 在椭圆上,．‎ 由得所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意可得的斜率不为零, 当垂直轴时,的面积为,‎ 当不垂直轴时, 设直线的方程为：，‎ 则直线的方程为：．‎ 由消去得,所以,‎ 则，‎ 又圆心到的距离得，‎ 又,所以点到的距离点到的距离．‎ 设为,即，‎ 所以面积，‎ 令,则,,‎ 综上,的面积的取值范围为.‎ ‎【考点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、点到直线的距离．‎ ‎【方法点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单，另外三角形面积公式的选用也是解答的关键．‎