2018届高三数学一轮复习： 第8章 第5节 课时分层训练49

2018届高三数学一轮复习： 第8章 第5节 课时分层训练49

课时分层训练(四十九)　椭　圆 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) ‎ ‎【导学号：01772312】‎ A．4　　　　　　　　 B.3‎ C．2 D.5‎ A　[由题意知，在△PF‎1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝‎2a－|PF2|＝10－6＝4.]‎ ‎2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　) ‎ ‎【导学号：01772313】‎ A. B. C. D. B　[原方程化为＋＝1(m>0)，‎ ‎∴a2＝，b2＝，则c2＝a2－b2＝，‎ 则e2＝，∴e＝.]‎ ‎3．(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 ‎(　　)‎ ‎ 【导学号：01772314】‎ A.－＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ D　[设圆M的半径为r，‎ 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，‎ ‎∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，‎ 且2a＝16,2c＝8，‎ 故所求的轨迹方程为＋＝1，故选D.]‎ ‎4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)‎ A．2 B.3‎ C．6 D.8‎ C　[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，‎ ‎∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.‎ ‎∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]‎ ‎5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ A　[∵＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.‎ 又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，‎ ‎∴4a＝4，∴a＝，∴b＝，‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·成都质检)已知椭圆：＋＝1(0b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，‎ ‎∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.‎ ‎∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，‎ 解得b2＝2，则a＝2b＝2.‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎8．(2016·江苏高考)如图854，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.‎ 图854‎ 　[将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，‎ 所以x＝±a，故B，C.‎ 又因为F(c,0)，所以＝，＝.‎ 因为∠BFC＝90°，所以·＝0，‎ 所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．]‎ 三、解答题 ‎9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．‎ ‎ 【导学号：01772315】‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．‎ ‎[解]　(1)由题意，得解得3分 ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.5分 ‎(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，‎ 由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，‎ Δ＝96－‎8m2‎>0，∴－2b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求E的离心率e；‎ ‎(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．‎ ‎[解]　(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.5分 ‎(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.7分 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.‎ 又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，‎ 从而有解得b＝3.10分 所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为 ‎(　　)‎ A.　　　　　 B.1‎ C．2 D.4‎ C　[圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，‎ 则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，‎ ‎∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．‎ 又直线l过椭圆C的左焦点，且垂直于x轴，‎ ‎∴直线l的方程为x＝－c.‎ 又∵直线l与圆M相切，‎ ‎∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.]‎ ‎2．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若b>0)上，且椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．‎ ‎[解]　(1)由已知得2分 解得 故椭圆C的方程为＋＝1.5分 ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．‎ 由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，‎ 则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，‎ 即D.8分 因为AB是等腰三角形PAB的底边，‎ 所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.10分 此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，‎ 则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3.‎ 又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，‎ 所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.12分