【精品】人教版 九年级下册数学 27

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第 1 页 共 8 页 27.2.1 相似三角形的判定 第 4 课时 两角分别相等的两个三角形相似 学习目标：1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点) 3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算. 自主学习 一、知识链接 学校举办活动，需要三个内角分别为 90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板 若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 合作探究 一、要点探究 探究点 1：两角分别相等的两个三角形相似 操作 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°， ∠B=∠B′=55°，探究下列问题： 第 2 页 共 8 页 问题 1 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你 有什么发现？ 问题 2 试证明△ABC∽△A′B′C′. 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上， 截取 A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，【补全证明过程】 【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言：∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 【典例精析】 例 1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求 第 3 页 共 8 页 证：△ABC ∽△DEF. 【针对训练】如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°， 当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'. 例 2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD. 证明：连接 AC，DB. ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A= __ ___， 同理 ∠C= ___ ____， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴__ ___ ，即 PA ·PB = PC · PD. 【针对训练】如图，⊙O 的弦 AB，CD 交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD = . 【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边，可以知道，它们属于 第 4 页 共 8 页 △BCP 和△ADP 因此连接 AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解 探究点 2：判定两个直角三角形相似 例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5， ED⊥AB，垂足为 D. 求 AD 的长. 【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 思考 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直 角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 证明 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°， CA AC BA AB  . 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 第 5 页 共 8 页 例 4 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2 ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似． 【分析】观察得到 AB 和 AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分 类讨论 【针对训练】在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定 这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： . 二、课堂小结 当堂检测 1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有( ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 第 6 页 共 8 页 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 2. 如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则 DC 的长等于 ( ) A. 4 15 B. 5 12 C. 3 20 D. 4 17 3. 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ (或∠ = ∠ )时， △ACD∽△ABC； 4. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC 于点 D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= . 5.如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC. 6. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证： DF EF BF AF  . 7. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． 第 7 页 共 8 页 参考答案 合作探究 一、要点探究 探究点 1：两角分别相等的两个三角形相似 问题 2 解：则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′. ∵∠B=∠B′，∴∠A′DE=∠B. 又∵ A′D=AB，∠A=∠A′，∴△A′DE ≌△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′ . 【典例精析】 例 1 证明：∵ 在△ ABC 中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF 中，∠E=80 °，∠F=60 °.∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.∴ △ABC ∽△DEF. 【针对训练】 55° 例 2 ∠D ∠B PB PC PD PA  【针对训练】6 探究点 2：判定两个直角三角形相似 例 3 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .又∠C=90 °，∠A=∠A，∴ △AED ∽△ABC. ∴ AB AE AC AD  .∴ 410 58  AB AEACAD . 证明 证明：设 CA AC BA AB  = k ，则 AB=kA′B′，AC=kA′C′. 由勾股定理，得 22 ACABBC  ， 22 CABACB  . 第 8 页 共 8 页 ∴ kCB CBk CB CAkBAk CB ACAB CB BC     222222 ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. 例 4 3 或 3 2 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2 ， ∴   622 2222  CDADAC . 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 6 : 2 =AB : 6 ，解得 AB=3； (2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 6 : 2 =AB : 6 ，解得 AB=3 2 ．∴ 当 AB 的长为 3 或 3 2 时，这两个直角三角形相似． 【针对训练】(1) 相似 (2)相似 (3) 相似 当堂检测 1. C 2. A 3. ACD B ADC ACB 4. 4 2 18 6 10 5.证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. 6. 证明： ∵ △ABC 的高 AD、BE 交于点 F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB，∴ DF EF BF AF  . 7. 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE，∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E.∴ △ABC∽△ADE.