2020-2021学年广西崇左市大新县、扶绥县九年级(上)期中数学试卷 解析版

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2020-2021学年广西崇左市大新县、扶绥县九年级(上)期中数学试卷 解析版

2020-2021 学年广西崇左市大新县、扶绥县九年级(上)期中数 学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合要求的,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。) 1.下列多边形一定相似的是( ) A.两个矩形 B.两个五边形 C.两个正方形 D.两个等腰三角形 2.若 x 是 a,b 的比例中项,则下列式子错误的是( ) A.x2=ab B. C. D.ab= 3.已知 ,则下列等式中不成立的是( ) A. B. C. D. 4.对抛物线:y=x2+2x﹣3 而言,下列结论正确的是( ) A.与 x 轴有两个交点 B.开口向下 C.顶点坐标是(1,﹣2) D.与 y 轴的交点是(0,3) 5.下列函数: ① y=﹣2x; ② y= ; ③ y=x﹣1; ④ y=5x2+1,是反比例函数的个数有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6.根据有关测定,当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适(人体正 常体温约为 37℃),这个气温大约为( ) A.23℃ B.28℃ C.30℃ D.37℃ 7.在下列抛物线中,开口最小的是( ) A.y=﹣ x2 B.y=﹣ x2 C.y=x2 D.y= x2 8.若方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两个根是﹣3 和 1,则对于二次函数 y=ax2+bx+c,当 y >0 时,x 的取值范围是( ) A.﹣3<x<1 B.x<﹣3 或 x>1 C.x>﹣3 D.x<1 9.已知点 A(x1,4),B(x2,8)都在反比例函数 y=﹣ 的图象上,则下列关系式一定正 确的是( ) A.x1<x2<0 B.x1<0<x2 C.x2<x1<0 D.x2<0<x1 10.已知抛物线 y=x2+2x﹣k﹣2 与 x 轴没有交点,则函数 y= 的图象大致是( ) A. B. C. D. 11.把抛物线 y=﹣2x2+4 的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,所得的抛物线 的函数关系式是( ) A.y=﹣2(x﹣2)2+7 B.y=﹣2(x﹣2)2+1 C.y=﹣2(x+2)2+7 D.y=﹣2(x+2)2+1 12.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中: ① b2<4ac; ② abc<0: ③ 4a+b=0; ④ a+b+c>0 ⑤ 当 y=2 时,x 只能等于 0.其中结论正确的个数是( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分,请将答案填在指定的空格内) 13.已知函数 y=(2﹣k)x2+kx+1 是二次函数,则 k 满足 . 14.已知:x:y=2:5,那么(x+y):y= . 15.反比例函数 ,当 x>0 时,y 随 x 增大而减小,k 的取值范围 . 16.已知抛物线 y=x2﹣x﹣1 与 x 轴的一个交点为(a,0),则 a2﹣a+2020= . 17.一名男生参加抛实心球测试,已知球的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系是 ,则这名男生抛实心球的成绩是 m. 18.过反比例函数 y= (k≠0)图象上一点 A,分别作 x 轴和 y 轴的垂线段,垂足分别为 B、C,如果△ABC 的面积是 6,则 k 的值为 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(6 分)已知 a:b:c=3:2:1,且 2a﹣3b+c=10,求 a+2b﹣3c 的值. 20.(6 分)如图,在△ABC 中,DE∥BC,AB=15,AE:EC=3:2,求 DB 的长. 21.(6 分)已知抛物线的对称轴是直线 x=1,函数的最小值是﹣1,且图象经过点(3,1), 求此抛物线的函数关系式. 22.(8 分)已知 y 与 x+1 成反比例,且当 x=1 时,y=2,求当 x=0 时,y 的值. 23.(8 分)已知:在△ABC 中,CD 为∠C 的平分线. 求证: . 24.(10 分)已知反比例函数 y1= 与一次函数 y2=k2x 的图象如图所示. (1)求点 B 的坐标; (2)请直接写出 y1>y2 时,x 的取值范围. 25.(10 分)某水果商销售每箱进价为 40 元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于 55 元.市 场调查显示,若每箱以 50 元的价格销售,平均每天可销售 90 箱,价格每提高 1 元,则 平均每天少销售 3 箱. (1)求平均每天销售利润 w(元)与销售价 x(元箱)之间的函数关系式,并直接写出 自变量 x 的取值范围. (2)当每箱的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大是多少元? 26.(12 分)如图,抛物线 y=x2+bx+c 经过坐标原点,并与 x 轴交 F 点 A(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 为抛物线上任意一点,是否存在点 P 使得△AOP 的面积为 4?若存在,求出 点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 2020-2021 学年广西崇左市大新县、扶绥县九年级(上)期中数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合要求的,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。) 1.下列多边形一定相似的是( ) A.两个矩形 B.两个五边形 C.两个正方形 D.两个等腰三角形 【分析】利用相似多边形的对应边的比相等,对应角相等分析. 【解答】解:要判断两个多边形是否相似,需要看对应角是否相等,对应边的比是否相 等. 矩形、五边形、等腰三角形都属于形状不唯一确定的图形,即对应角、对应边的比不一 定相等,故不一定相似,A、B、D 错误; 而两个正方形,对应角都是 90°,对应边的比也都相当,故一定相似,C 正确. 故选:C. 2.若 x 是 a,b 的比例中项,则下列式子错误的是( ) A.x2=ab B. C. D.ab= 【分析】根据比例中项的定义,内项之积等于外项之积即可判断. 【解答】解:∵线段 x 是线段 b,a 的比例中项, ∴x2=ba,故 A 正确, ∴ , ,故 B、C 正确; 故选:D. 3.已知 ,则下列等式中不成立的是( ) A. B. C. D. 【分析】直接利用比例的性质以及等式的性质将各选项化简进而得出答案. 【解答】解:A、∵ , ∴ = ,成立; B、∵ = , ∴ad﹣2bd=cb﹣2bd, ∴ab=bc, ∴等式成立; C、∵ = , cb﹣ca=ad﹣ac, ∴bc=ad, ∴等式成立; D、∵ = , ∴ad+bd=bc+c2, ∴等式不成立; 故选:D. 4.对抛物线:y=x2+2x﹣3 而言,下列结论正确的是( ) A.与 x 轴有两个交点 B.开口向下 C.顶点坐标是(1,﹣2) D.与 y 轴的交点是(0,3) 【分析】根据△的符号,可判断图象与 x 轴的交点情况,根据二次项系数可判断开口方 向,令函数式中 x=0,可求图象与 y 轴的交点坐标,利用配方法可求图象的顶点坐标. 【解答】解:A、∵△=22﹣4×1×(﹣3)=16>0,抛物线与 x 轴有两个交点,本选项 正确,符合题意; B、∵二次项系数 1>0,抛物线开口向上,本选项错误,不符合题意; C、∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴抛物线顶点坐标为(﹣1,﹣4),本选项错误,不 符合题意; D.、当 x=0 时,y=﹣3,抛物线与 y 轴交点坐标为(0,﹣3),本选项错误,不符合题 意; 故选:A. 5.下列函数: ① y=﹣2x; ② y= ; ③ y=x﹣1; ④ y=5x2+1,是反比例函数的个数有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【分析】利用反比例函数定义可得答案. 【解答】解: ① y=﹣2x 是正比例函数; ② y= 是反比例函数; ③ y=x﹣1 是反比例函数; ④ y=5x2+1 是二次函数, 反比例函数共 2 个, 故选:C. 6.根据有关测定,当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适(人体正 常体温约为 37℃),这个气温大约为( ) A.23℃ B.28℃ C.30℃ D.37℃ 【分析】根据黄金比的值知,身体感到特别舒适的温度应为 37 度的 0.618 倍. 【解答】解:根据黄金比的值得:37×0.618≈23℃. 故选:A. 7.在下列抛物线中,开口最小的是( ) A.y=﹣ x2 B.y=﹣ x2 C.y=x2 D.y= x2 【分析】根据|a|的绝对值越大,开口越小,绝对值越小,开口越大,可以解答本题. 【解答】解:∵|﹣ |<|﹣ |<|1|<| |, ∴函数 y= x2 的图象的开口最小, 故选:D. 8.若方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两个根是﹣3 和 1,则对于二次函数 y=ax2+bx+c,当 y >0 时,x 的取值范围是( ) A.﹣3<x<1 B.x<﹣3 或 x>1 C.x>﹣3 D.x<1 【分析】a>0,故抛物线开口向上,由题意知,抛物线与 x 轴的两个交点坐标为(﹣3, 0)、(1,0),进而求解. 【解答】解:∵a>0,故抛物线开口向上, 由题意知,抛物线与 x 轴的两个交点坐标为(﹣3,0)、(1,0), ∴当 y>0 时,x 的取值范围是 x<﹣3 或 x>1, 故选:B. 9.已知点 A(x1,4),B(x2,8)都在反比例函数 y=﹣ 的图象上,则下列关系式一定正 确的是( ) A.x1<x2<0 B.x1<0<x2 C.x2<x1<0 D.x2<0<x1 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 x1 与 x2,然后对各选项进行判断. 【解答】解:∵点 A(x1,4),B(x2,8)都在反比例函数 y=﹣ 的图象上, ∴4=﹣ ,8=﹣ , ∴x1=﹣ ,x2=﹣ , ∴x1<x2<0. 故选:A. 10.已知抛物线 y=x2+2x﹣k﹣2 与 x 轴没有交点,则函数 y= 的图象大致是( ) A. B. C. D. 【分析】根据抛物线 y=x2+2x﹣k﹣2 与 x 轴没有交点,得方程 x2+2x﹣k﹣2=0 没有实数 根,可以得到△<0,从而可以得到 k 的取值范围,然后即可得到函数 y= 的图象在哪 个象限. 【解答】解:∵抛物线 y=x2+2x﹣k﹣2 与 x 轴没有交点, ∴方程 x2+2x﹣k﹣2=0 没有实数根, ∴△=22﹣4×1×(﹣k﹣2)=4k+12<0, 解得 k<﹣3, ∴函数 y= 的图象在二、四象限, 故选:B. 11.把抛物线 y=﹣2x2+4 的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,所得的抛物线 的函数关系式是( ) A.y=﹣2(x﹣2)2+7 B.y=﹣2(x﹣2)2+1 C.y=﹣2(x+2)2+7 D.y=﹣2(x+2)2+1 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可. 【解答】解:由“左加右减”的原则可知,二次函数 y=﹣2x2+4 的图象向左平移 2 个单 位得到 y=﹣2(x+2)2 +4, 由“上加下减”的原则可知,将二次函数 y=﹣2(x+2)2+4 的图象向上平移 3 个单位可 得到函数 y=﹣2(x+2)2+4+3,即 y=﹣2(x+2)2+7, 故选:C. 12.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中: ① b2<4ac; ② abc<0: ③ 4a+b=0; ④ a+b+c>0 ⑤ 当 y=2 时,x 只能等于 0.其中结论正确的个数是( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的 关系,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断即 可. 【解答】解: ① ∵抛物线与 x 轴有两个交点, ∴b2﹣4ac>0,即 b2>4ac,故错误; ② ∵抛物线的开口向下, ∴a<0, ∵与 y 轴的交点为(0,2), ∴c=2, ∵对称轴为 x=﹣ >0, ∴b>0, ∴abc<0,故正确; ③ ∵与 x 轴的交点为(﹣1,0),(5,0), ∴对称轴为直线 x=﹣ = , ∴﹣b=4a,即 4a+b=0,故正确; ④ 当 x=1 时,y=a+b+c>0.故正确; ⑤ ∵(0,2)的对称点为(4,2), ∴当 y=2 时,x=0 或 4,故错误. 故选:B. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分,请将答案填在指定的空格内) 13.已知函数 y=(2﹣k)x2+kx+1 是二次函数,则 k 满足 k≠2 . 【分析】利用二次函数定义可得 2﹣k≠0,再解不等式即可. 【解答】解:由题意得:2﹣k≠0, 解得:k≠2, 故答案为:k≠2. 14.已知:x:y=2:5,那么(x+y):y= 7:5 . 【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数,进而得出答案. 【解答】解:∵x:y=2:5, ∴设 x=2a,则 y=5a, 那么(x+y):y=7:5. 故答案为:7:5. 15.反比例函数 ,当 x>0 时,y 随 x 增大而减小,k 的取值范围 k>0 . 【分析】由 x>0,y 随 x 增大而减小可得反比例函数的比例系数大于 0. 【解答】解:∵当 x>0 时,y 随 x 增大而减小, ∴k>0. 故答案为:k>0. 16.已知抛物线 y=x2﹣x﹣1 与 x 轴的一个交点为(a,0),则 a2﹣a+2020= 2021 . 【分析】利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可; 【解答】解:∵抛物线 y=x2﹣x﹣1 与 x 轴的一个交点为(a,0), ∴a2﹣a﹣1=0, ∴a2﹣a=1, ∴a2﹣a+2020=2021, 故答案为:2021. 17.一名男生参加抛实心球测试,已知球的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系是 ,则这名男生抛实心球的成绩是 10 m. 【分析】首先使 y=0,进而得出求出该男生掷实心球的距离,于是得到这名男生抛实心 球的成绩. 【解答】解:∵一名男生参加抛实心球测试,已知球的高度 y(m)与水平距离 x(m) 之间的关系是 , ∴当 y=0,则 0=﹣ x2+ x+ , 解得:x1=10,x2=﹣2, ∴这名男生抛实心球的成绩为 10m, 故答案为:10. 18.过反比例函数 y= (k≠0)图象上一点 A,分别作 x 轴和 y 轴的垂线段,垂足分别为 B、C,如果△ABC 的面积是 6,则 k 的值为 ±12 . 【分析】根据反比例函数 k 的几何意义可求出相应 k 的值. 【解答】解:由题意得,S△ABC= |k|=6, ∴|k|=12, ∴k=12 或 k=﹣12, 故答案为:±12. 三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(6 分)已知 a:b:c=3:2:1,且 2a﹣3b+c=10,求 a+2b﹣3c 的值. 【分析】设 a=3k,b=2k,c=k,根据 2a﹣3b+c=10,求出 k 的值,从而得出 a、b、c 的值,然后代入要求的式子进行计算即可得出答案. 【解答】解:设 a=3k,b=2k,c=k, ∵2a﹣3b+c=10, ∴6k﹣6k+k=10, ∴k=10, ∴a=30,b=20,c=10, ∴a+2b﹣3c=30+40﹣30=40. 20.(6 分)如图,在△ABC 中,DE∥BC,AB=15,AE:EC=3:2,求 DB 的长. 【分析】根据平行线分线段成比例定理,列出比例式求解,即可解答. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴ , 又∵AE:EC=3:2, ∴ , ∴ , 又∵AB=15, ∴ , 解得:BD=6. 21.(6 分)已知抛物线的对称轴是直线 x=1,函数的最小值是﹣1,且图象经过点(3,1), 求此抛物线的函数关系式. 【分析】根据题意抛物线的顶点为(1,﹣1),设出抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)2 ﹣1,再把(3,1)代入,求出 a 的值,即可得出二次函数的解析式. 【解答】解:设此函数解析式为 y=a(x+h)2+k, 由题意知函数图象的顶点坐标为(1,﹣1), ∴y=a(x﹣1)2﹣1, 又∵图象经过点(3,1), ∴1=a(3﹣1)2﹣1, ∴ , ∴此函数解析式为: . 22.(8 分)已知 y 与 x+1 成反比例,且当 x=1 时,y=2,求当 x=0 时,y 的值. 【分析】利用 y 与 x+1 成反比例设 y= (k≠0),再把 x=1,y=2 代入求出 k 得到 y = ,然后计算自变量为 0 所对应的函数值. 【解答】解:根据题意得,设 y= (k≠0), ∵x=1,y=2, ∴2= , ∴k=4, ∴y= , 当 x=0 时,y= =4. 23.(8 分)已知:在△ABC 中,CD 为∠C 的平分线. 求证: . 【分析】过点 B 作 BE∥CD,交 CD 的延长线于点 E,根据平行线的性质得到∠ACD=∠ E,根据角平分线的定义得到∠ACD=∠DCB,由相似三角形的性质即可得到结论. 【解答】证明:过点 B 作 BE∥CD,交 CD 的延长线于点 E, 则有∠ACD=∠E, ∵CD 为∠C 的平分线 ∴∠ACD=∠DCB, ∴∠BCD=∠E, ∴CD=BE, ∵AC∥BE, ∴△ACD∽△BED, ∴ = , ∴ . 24.(10 分)已知反比例函数 y1= 与一次函数 y2=k2x 的图象如图所示. (1)求点 B 的坐标; (2)请直接写出 y1>y2 时,x 的取值范围. 【分析】(1)根据反比例函数与正比例函数的性质即可判断 A,B 两点关于原点对称,由 A 的坐标,即可得到点 B 的坐标; (2)根据图象即可求得. 【解答】解:(1)∵反比例函数 y1= 与一次函数 y2=k2x 的图象交于 A,B 两点,A(1, 2), ∴A,B 两点关于原点对称, ∴点 B 的坐标为(﹣1,﹣2); (2)由图象可知,y1>y2 时,x 的取值范围 x<﹣1 或 0<x<1. 25.(10 分)某水果商销售每箱进价为 40 元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于 55 元.市 场调查显示,若每箱以 50 元的价格销售,平均每天可销售 90 箱,价格每提高 1 元,则 平均每天少销售 3 箱. (1)求平均每天销售利润 w(元)与销售价 x(元箱)之间的函数关系式,并直接写出 自变量 x 的取值范围. (2)当每箱的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大是多少元? 【分析】(1)根据平均每天的销售利润 w(元)=每箱的销售利润×每天的销售量即可 得到结论; (2)根据题中所给的自变量的取值得到二次的最值问题即可. 【解答】解(1)w=(x﹣40)[90﹣3(x﹣50)]=(x﹣40)(240﹣3x) =﹣3x2+360x﹣9600,(50≤x≤55); (2)由(1)得 w=3x2+360x﹣9600 (50≤x≤55), 则 w=3(x﹣60)2+1200, ∵﹣3<0, ∴抛物线开口向下, ∵当 x<60 时,w 随着 x 的增大而增大, ∴当 x=55 时,w 有最大值.w 最大值=﹣3(55﹣60)2+1200=1125(元), 答:当每箱的售价为 55 元时,可以获得最大利润,最大是 1125 元. 26.(12 分)如图,抛物线 y=x2+bx+c 经过坐标原点,并与 x 轴交 F 点 A(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 为抛物线上任意一点,是否存在点 P 使得△AOP 的面积为 4?若存在,求出 点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 【分析】(1)利用交点式写出抛物线解析式; (2)设 P(x,x2﹣4x),利用三角形面积公式 ×4×|x2﹣4x|=4,然后分别解方程 x2﹣ 4x=2 和 x2﹣4x=﹣2 得 P 点坐标. 【解答】解:(1)抛物线解析式为 y=x(x﹣4), 即 y=x2﹣4x; (2)存在. 设 P(x,x2﹣4x), ∵△AOP 的面积为 4, ∴ ×4×|x2﹣4x|=4, 解方程 x2﹣4x=2 得 x1=2+ ,x2=2﹣ ,此时 P 点坐标为(2+ ,2)或(2﹣ , 2); 解方程 x2﹣4x=﹣2 得 x1=2+ ,x2=2﹣ ,此时 P 点坐标为(2+ ,﹣2)或(2 ﹣ ,﹣2). 综上所述,P 点坐标为(2+ ,2)或(2﹣ ,2)或(2+ ,﹣2)或(2﹣ ,﹣2).
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