四川省成都市实验外国语学校2020届高三模拟考试（三）数学（理）试题 Word版含解析

四川省成都市实验外国语学校2020届高三模拟考试（三）数学（理）试题 Word版含解析

- 1 - 成都市实验外国语学校高 2017 级数学模拟（三）理 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合  2| 1 ,A x y x x Z    ，  2| 1,B y y x x A    ，则 A B 为（ ） A.  B.  0, C.  1 D.   0,1 【答案】C 【解析】 【分析】 求函数 21 ,y x x Z   的定义域化简集合 A 的表示， 求函数 2 1,y x x A   的值域化简集合 B 的表示，最后利用交集的定义进行求解即可. 【详解】因为    2| 1 , 1,0,1A x y x x Z      ，    2| 1, 2,1B y y x x A     ， 所以  1A B  . 故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了求函数的定义域和值域，考查了数学运算能力. 2.若复数 z 满足 1 3i z i   ，则 z 的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. i D. 2i 【答案】A 【解析】 【分析】 计算  1 2i z  ，利用复数除法运算得到答案. 【详解】  1 3 3 1 2i z i      ，故      2 12 11 1 1 iz ii i i       ，故虚部为 1 . 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的模，复数的除法，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和综合 应用能力. 3.在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经 过点 ( 2,1)P ，则 cos2  （ ） - 2 - A. 2 2 3 B. 1 3 C. 1 3  D. 2 2 3  【答案】B 【解析】 【分析】 先由角 的终边过点 ( 2 1)P ， ，求出 cos ，再由二倍角公式，即可得出结果. 【详解】解：因为角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点 ( 2 1)P ， ， 所以 2 6cos 32 1     ， 因此 2 1cos2 2cos 1 3     . 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公 式即可，属于基础题. 4. 3 1 ( )nx x  的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ( ) A. 28 B. 28 C. 70 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得 8n  ，求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即 可求得展开式中的常数项的值． 【详解】 3 1( )nx x  的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，故 n 为偶数， 展开式共有 9 项，故 8n  ． 3 1( )nx x  即 83 1( )x x  ，它的展开式的通项公式为 8 4 3 1 8 ( 1) r r r rT C x       ， 令 8 4 03 r  ，求得 2r = ， 则展开式中的常数项是 2 8 28C  ， 故选 A． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式， - 3 - 求展开式中某项的系数，属于基础题． 5.下列判断正确的是（ ） A. 两圆锥曲线的离心率分别为 1e ， 2e ，则“ 1 2 1e e  ”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条 件 B. 命题“若 2 1x  ，则 1x  .”的否命题为“若 2 1x  ，则 1x  .” C. 若命题“ p q ”为假命题，则命题“ p q ”是假命题 D. 命题“ x R  ， 22x x ."的否定是“ 0x R  ， 0 2 02x x .” 【答案】D 【解析】 【分析】 对于 A ，取特值： 1 1 3e  ， 2 3 2e  ，可知 A 不正确；对于 B ，只否定了结论，没有否定条件， 故 B 不正确；对于C ，命题 p 与命题 q一个为真命题、一个为假命题时，可得命题“ p q ” 是真命题，所以C 不正确；对于 D ，根据命题的否定的概念，可知 D 正确. 【详解】对于 A ，若两圆锥曲线均为椭圆，则 10 1e  ， 20 1e  ，所以 1 20 1e e  ，所 以“ 1 2 1e e  ”是“两圆锥曲线均为椭圆”的必要条件，取 1 1 3e  ， 2 3 2e  满足 1 2 1e e  ， 此时一个圆锥曲线为椭圆，一个圆锥曲线为双曲线，所以“ 1 2 1e e  ”不是“两圆锥曲线均为 椭圆”的充分条件，故 A 不正确； 对于 B ，命题“若 2 1x  ，则 1x  .”的否命题为“若 2 1x  ，则” 1x  ，故 B 不正确； 对于C ，若命题“ p q ”为假命题，则 p 与 q至少有一个为假命题，当 p 为假命题， q为 真命题时，“ p q ”为真命题，故C 不正确； 对于 D ，命题“ x R  ， 22x x ."的否定是“ 0x R  ， 0 2 02x x .”是正确的，故 D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了充要条件，考查了椭圆和双曲线的离心率，考查了命题的真假判断，考 查了否命题和命题的否定，属于基础题. 6.函数 2 ( )cos( ) x xe e xf x x  的部分图象大致是（ ） - 4 - A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可. 【详解】由题知,函数 ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )  ,关于原点对称, 且     2 2 cos( ) cos ( ) ( )( ) x x x xe e x e e x f x f xx x           , 所以 ( )f x 是奇函数,所以排除 C,D; 又∵   2 2 cos 1 1( ) 0 e e f ee                 ,所以排除 A, 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图像的判断与识别，结合函数的奇偶性与特殊值的符号进行排除 即可解决，属于中等题. 7.在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ， c ，且  cos 2 cos 0a C b c A  ＝ ， 则角 A 的大小为（ ） A. 4  B. 3  C. 2  D. 3 4  【答案】A - 5 - 【解析】 【分析】 先利用正弦定理化边为角可得sin cos sin cos 2 sin cosA C C A B A  ，再进一步化简求出 2cos 2A  即可得出角 A． 【详解】∵  cos 2 cos 0a C b c A   ， 由正弦定理可得sin cos sin cos 2 sin cosA C C A B A  ，即 sin 2 sin cosB B A .∵sin 0B  ，∴ 2cos 2A  .∵ 0 A   ，∴ 4A  .选 A． 【点睛】本题主要考查正弦定理及三角恒等变换，属中等难度题． 8.设 m，n 是两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. 若 / /m  ， / /n  ，则 //m n B. 若 / /  ，m  ，n  ，则 //m n C. 若  ， m   ， n  ，则 n  D. 若 m  ， //m n ，n  ，则  【答案】D 【解析】 【分析】 利用线面平行的性质，面面垂直的性质与判定，即可得出结论． 【详解】解：由 m ， n 是两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，知： 在 A 中，若 / /m  ， / /n  ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； 在 B 中，若 / /  ， m  ， n  ，则 m 与 n 平行或异面，故 B 错误； 在C 中，若  ， m   ， n  ，则 n 与  相交、平行或 n  ，故C 错误； 在 D 中，若 m  ， //m n ， n  ，则由面面垂直的判断定理得  ，故 D 正确． 故选： D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，属于中档题． 9.设随机变量 X ，Y 满足： 3 1Y X  ，  2,X B p ，若   51 9P X   ，则  D Y （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 - 6 - 【答案】A 【解析】 由题意可得：      20 2 51 1 0 1 1 9P X P X C p        ， 解得： 1 3p  ，则：        21 2 41 2 , 3 43 3 9D X np p D Y D X        ． 本题选择 A 选项. 10.已知函数  f x 是定义在 R 上的偶函数，当 0x  时，   xf x e x  ，则  2a f  ，  2log 9b f ，  5c f 的大小关系为（ ） A.  a b c  B.  a c b  C.  b a c  D.  b c a  【答案】D 【解析】 【分析】 首先确定函数在  0,x  上单调递增，然后再利用偶函数的性质即可比较出大小. 【详解】当 0x  时，   xf x e x  ，则   1 0xf x e    ， 所以  f x 在  0,x  上单调递增， 由 2 2log 9 log 8 3 5 2    ， 所以      2log 9 5 2f f f  ， 因为函数  f x 是定义在 R 上的偶函数，所以    2 2a f f   ， 所以  b c a  ， 故选：D 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于基础 题. 11.已知双曲线 2 2 2 2: 1 0, 0)x yC a ba b    （ 的左、右顶点分别为 A B、 .点 F 为双曲线的左焦 点，过点 F 作垂直于 x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于 P 、Q 两点,连接 PB 交 y 轴于点 E ,连接 AE 交QF 于点 M ,且 2QM MF  ,则双曲线C 的离心率为( ） - 7 - A. 2 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 由双曲线 2 2 2 2: 1 0, 0)x yC a ba b    （ ，得 ( ,0), ( ,0), ( ,0)A a B a F c  又过点 F 作垂直与 x 轴的直线分别在第二，第三象限角双曲线 C 于 ,P Q 两点， 所以 2 2 ( , ), ( , )b bP c Q ca a    如图所示，设 1 1( , )M x y ，因为 2QM MF  ，解得 2 1 3 by a   ，即 2 ( , )3 bM c a   ， 又由直线 PB 的方程为 ( )a cy x aa   ，令 0x  ，得 y c a  ，即 (0, )E c a ， 又由 , ,M A E 三点共线，所以 AE MAk k ，即 2 3 b c a a a c a    ，即 又因为 2 2 2b c a  ，整理得 2 2 3 ( ) c a c a a a c a    ，即 2c a ，所以 2ce a   ，故选 B． 点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离 心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：① 求出 ,a c ，代入公式 ce a  ；②只需要根据一个条件得到关于 , ,a b c 的齐次式，转化为 ,a c 的 齐次式，然后转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 e ( e 的取值范围)． 12.若  1 2 1 2,x x x x 为函数  f x 相邻的两个极值点，且在 1x ， 2x 处分别取得极小值和极大 值，则定义    1 2f x f x 为函数  f x 的一个极优差，函数 - 8 -    sin cos 20202 xf x e x x x         的所有极优差之和为（ ） A.  2020 2 1 1 e e e      B. 20211 1 e e     C. 2020 2 1 1 e e     D. 20201 1 e e     【答案】D 【解析】 【分析】 利用导数判断函数  f x 的单调性求出极值点，当  ,20202x        时，表示出所有的极大 值之和、极小值之和，利用等比数列求和公式即可求得极优差之和. 【详解】   2 sinxf x e x  ，当  2 ,2 ( )x k k k Z     时， ( ) 0f x¢ > ，  f x 单调递增， 当  2 ,2 2 ( )x k k k Z       ， ( ) 0f x¢ < ，  f x 单调递减， 所以函数  f x 在 2 ( )x k k Z    处取得极大值，在 2 2 ( )x k k Z    处取得极小值， 当  ,20202x        ，所有的极大值之和          3   2019M f f f     ， 所有的极小值之和          0   2   4   2018N f f f f       . ∴              ( 0 ) 3 2 2019 2018M N f f f f f f           3 2 2019 20181e e e e e           20201= 1 e e     ， 所有极优差之和 20201 1 eN M e       . 故选：D 【点睛】利用导数判断函数的单调性及求极值、正弦函数的图象与性质、等比数列求和公式， 属于较难题. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） - 9 - 13.已知向量  1, 3a  ， ( )3,1= r b 则向量 a  在向量b  方向上的投影为____________. 【答案】 3 【解析】 【分析】 根据 | || | cosa b a b a      ，b  ，得 a 在 b 上的投影为| | cosa a  ， | | a bb b    ，求出 a b  ， 代入投影的公式计算即可． 【详解】向量  1, 3a  ， ( )3,1= r b ， 3+ 3 2 3a b   ，| | 2b  ，  a 在 b 方向上的投影为| | cosa a  ， 2 3 32| | a bb b      ． 故答案为： 3 ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题． 14.函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1 有极大值又有极小值，则 a 的范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】 将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解 a 的取值范围即可. 【详解】由题意可得：    2' 3 6 3 2f x x ax a    ， 若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程  23 6 3 2 0x ax a    有两个不同的实数根， 即：    26 4 3 3 2 0a a       ，整理可得：整理可得：   36 1 2 0a a   ， 据此可知 a 的取值范围是 2a  或 1a   . 【点睛】(1)可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)＝0，且在 x0 左侧与右 侧 f′(x)的符号不同． (2)若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增 或减的函数没有极值． 15.已知函数 ( ) 3sin cos ( 0)f x x x     ，其图象与直线 2y  的两个相邻交点的距离 等于 ，则 ( )f x 的单调递增区间为______________． - 10 - 【答案】 , 3 6k k       【解析】 函数   3sin cos 2sin 6f x x x x          ，因为  y f x 的图象与直线 2y  的两 个相邻交点的距离等于π，函数的周期T  ，所以 2  ，所以   2sin 2 6f x x  （ ），因 为 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z         ，解得 [ ]3 6x k k    ， ， k Z ，即函数的单 调增区间为[ ]3 6k k k Z    ， ， ，故答案为[ ]3 6k k k Z    ， ， . 16.已知抛物线方程 2 4y x ， F 为焦点， P 为抛物线准线上一点，Q 为线段 PF 与抛物线的 交点，定义： | |( ) | | PFd P FQ  .已知点 ( 1,4 2)P  ，则 ( )d P ______；设点 ( 1, )( 0)P t t  ， 则 2 ( ) | |d P PF 的值为____. 【答案】 (1). 4 (2). 2 【解析】 【分析】 （1）根据直线 PF 的方程 2 2( 1)y x   ，求出点 1( , 2)2Q ，再利用焦半径公式，即可得 答案； （2）根据 | |2 ( ) | | 2 2 | || | PQd P PF PFFQ     ，再利用抛物线的定义，即可得答案； 【详解】（1） ( 1,4 2)P  ， (1,0)F ， | | 6PF  ， 直线 PF 的方程为 2 2( 1)y x   ，与 2 4y x 联立得： 22 5 2 0x x   ， 解得： 1 2x  或 2x  ，  1( , 2)2Q ， | | 6( ) 41| | 12 PFd P FQ     ； （2）设准线与 x 轴的交点为 M ，QN PM 于 N ， - 11 -  | | | | | | | |2 ( ) | | 2 | | 2 | | 2 2 | || | | | | | PF PQ QF PQd P PF PF PF PFFQ FQ FQ         | | | |2 2 | | 2 2 | | 22| | PQ PFPF PFNQ        ， 故答案为： 4,2 . 【点睛】本题考查抛物线中线段比例的新定义题、抛物线的焦半径，考查函数与方程思想、 转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设等差数列 na 的前 n 项的和为 nS ，且 4 62S   ， 6 75S   ，求： （1）求 na 的通项公式 na ； （2）求数列 na 的前 14 项和. 【答案】（1） 3 23na n  ；（2）147 . 【解析】 【分析】 （1）由已知条件列出关于 1,a d 的方程组，求出 1,a d 可得到 na ； （2）由通项公式 na 先判断数列 na 中项的正负，然后再化简数列 na 中的项，即可求出结 果. - 12 - 【详解】解：（1）设等差数列 na 的公差为 d，依题意得 1 1 4 34 622 6 56 752 a d a d         ， 解得 1 20, 3a d   ， ∴  20 1 3 3 23na n n       ； （2）∵ 3 23na n  ， ∴由 0na  得 8n  ， 2 2( 20 3 23) 3 43 3 43 2 2 2 2n n n n nS n n       ∴ 1 2 3 14 1 2 7 8 14 14 72a a a a a a a a a S S                2 23 43 3 4314 14 7 72 2 2 2               7 42 43 7 21 43 147     . 【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题. 18.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超 过 100 元的人员中随机抽取了 100 名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人 数可构成等差数列. （1）求 ,m n 的值； （2）分析人员对 100 名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于 300 元的男性有 20 人，低于 300 元的男性有 25 人，根据统计数据完成下列 2 2 列联表，并判断是否有99%的 把握认为消费金额与性别有关？ - 13 - （3）分析人员对抽取对象每周的消费金额 y 与年龄 x 进一步分析，发现他们线性相关，得到 回归方程 ˆ 5y x b   .已知 100 名使用者的平均年龄为 38 岁，试判断一名年龄为 25 岁的年 轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替） 2 2 列联表 男性 女 性 合 计 消费金额 300³ 消费金额 300 合计 临界值表： 2 0( )P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    【答案】（1） 0.0035m  ， 0.0025n  （2）详见解析（3）395 元 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图可得 0.006m n  ，结合 0.0015 2m n  可得 ,m n 的值. （2）根据表格数据可得 2 8.249K  ，再根据临界值表可得有99% 的把握认为消费金额与性 别有关. （3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到 520b  ，利用线性回归方程 可计算年龄为 25 岁的年轻人每周的平均消费金额. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 0.01 0.0015 2 0.001 0.006m n      ， - 14 - 由中间三组的人数成等差数列可知 0.0015 2m n  ， 可解得 0.0035m  ， 0.0025n  （2）周平均消费不低于 300 元的频率为 0.0035 0.0015 0.001 100 0.6   ，因此 100 人 中，周平均消费不低于 300 元的人数为100 0.6 60  人. 所以 2 2 列联表为 男性 女性 合计 消费金额 300³ 20 40 60 消费金额 300 25 15 40 合计 45 55 100 2 2 100(20 15 25 40) 8.249 6.63545 55 60 40K        所以有99% 的把握认为消费金额与性别有关. （3）调查对象的周平均消费为 0.15 150 0.25 250 0.35 350 0.15 450 0.10 550 330          ， 由题意330 5 38 b    ，∴ 520b  5 25 520 395y      . ∴该名年龄为 25 岁的年轻人每周的平均消费金额为 395 元. 【点睛】（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为 1，注意直方图中，各矩形的高是 频率 组距； （2）两类变量是否相关，应先计算 2K 的值，再与临界值比较后可判断是否相关. （3）线性回归方程对应的直线必经过 ,x y . 19.如图（1），在平行四边形 1 1ABB A 中， 1 60ABB   ， 4AB  ， 1 2AA  ，C ， 1C 分别 为 AB ， 1 1A B 的中点．现把四边形 1 1AAC C 沿 1CC 折起，如图（2）所示，连结 1B C ， 1B A ， 1 1B A ． （1）求证： 1 1AB CC ； - 15 - （2）若 1 6AB  ，求二面角 1 1C AB A  的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 10 5  . 【解析】 试题分析：（1）取 1CC 的中点 O ，连接 OA ， 1OB ， 1AC ，可证 1ACC ， 1 1B CC 为正三角 形，所以 1AO CC ， 1 1OB C C ，由线面垂直的判定定理可知 1CC  平面 1OAB ，从而证 得 1 1AB CC ；（2）根据勾股定理可证得 2 2 2 1 1OA OB AB  ，所以 1AO OB ，所以以O 为 原点，以OC ， 1OB ，OA为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 1 1 1,CAB AB A 的 法向量，求出法向量的夹角，由于二面角 1 1C AB A  为钝角，所以余弦值为负值. 试题解析：（1）取 1CC 的中点O ，连接OA， 1OB ， 1AC ， ∵在平行四边形 1 1ABB A 中， 1 60ABB   ， 4AB  ， 1 2AA  ，C ， 1C 分别为 AB ， 1 1A B 的中点， ∴ 1ACC ， 1 1B CC 为正三角形， 则 1AO CC ， 1 1OB C C ， 又∵ ，∴ 1CC  平面 1OAB ， ∵ 1AB  平面 1OAB ， ∴ 1 1AB CC ． （2）∵ 1 60ABB   ， 4AB  ， 1 2AA  ，C ， 1C 分别为 AB ， 1 1A B 的中点， ∴ 2AC  ， 3OA  ， 1 3OB  ， 若 1 6AB  ， - 16 - 则 2 2 2 1 1OA OB AB  ， 则三角形 1OAB 为直角三角形，则 1AO OB ， 以O 为原点，以 OC ， 1OB ，OA为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系， 则 (1,0,0)C ， 1(0, 3,0)B ， 1( 1,0,0)C  ， (0,0, 3)A ， 则 1 ( 2,0,0)CC   ，则 1 1 ( 2,0,0)AA CC     ， 1 (0, 3, 3)AB   ， ( 1,0, 3)AC    ， 设平面 1AB C 的法向量为 ( , , )n x y z ， 则 1 3 3 0,{ 3 0, n AB y z n AC x z            令 1z  ，则 1y  ， 3x   ， 则 ( 3,1,1)n   ， 设平面 1 1A B A 的法向量为 ( , , )m x y z ，则 1 1 2 0,{ 3 3 0 m AA x m AB y z           ， 令 1z  ，则 0x  ， 1y  ，即 (0,1,1)m  ， 则 0 1 1cos , 3 1 1 1 1 m nm n m n               2 10 55 2    ， 由于二面角 1 1C AB A  是钝二面角， ∴二面角 1 1C AB A  的余弦值是 10 5  ． 考点：空间中的垂直关系，二面角. 20.在平面直角坐标系 xOy 中，己知椭圆 2 2 : 14 2 x yC   ，A，B 是椭圆上两点，且直线 AB 的 斜率为 2 2 . - 17 - （1）求证：OA 与 OB 的斜率之积为定值； （2）设直线 AB 交圆 2 2: 4O x y  于 C，D 两点，且 6 4 AB CD  ，求 COD△ 的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 【分析】 （1）设 2: 2ABl y x b  ，联立方程组，结合根与系数的关系，求得 1 2 1 2,x x x x ，进而求 得 OA OBk k 为定值，得到答案. （2）由圆的弦长公式和圆锥曲线的弦长公式，分别求得 22=2 4 3 bCD  和 2= 12 3AB b ，结合 6 4 AB CD  ，取得 2 3b  ，再利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设 2: 2ABl y x b  ，  1 1, A x y ，  2 2,B x y 联立方程组 2 2 2 2 14 2 y x b x y       ，整理得 2 22 2 0x bx b    ， ∴ 1 2 2x x b   ， 2 1 2 2x x b  ，则 2 1 2 12 by y   ， ∴ 1 2 1 2 1 2OA OB y yk k x x   ，即 OA 与 OB 的斜率之积为定值 1 2 . （2）由题意，原点到直线 2: 2ABl y x b  的距离为 6 3 bd  ， - 18 - 由圆的弦长公式，可得 2 2 2=2 4 =2 4 3 bCD d  ， 又由弦长公式，可得 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3= 1+ ( ) 4 12 32 2AB x x x x x x b             ， 因为 6 4 AB CD  ，即 2 2 12 3 6 422 4 3 b b    ，解得 2 3b  ， 则 6= 23O CD bd   ， 2 3=2 4 2 23CD   ， 所以 1 1 2 2 2 22 2S OCD CD d      . 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、及直线与椭圆的位置关系的综合应用，通常联 立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复 杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分 析问题解决问题的能力等． 21.设函数    ln 0,x xf x a a Ra x     . （1）若   n1 l1f x xx        恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）若函数  f x 有两个零点 1x ， 2x 且 1 2x x ，求证： 2 1 1ax x e    . 【答案】（1） 0 a e  ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）将不等式等价转化为 1 ln x a x  恒成立，令   ln xp x x  ，利用导数求出  p x 的最大值即 可求解. （2）令   2 0 ln xf x a x    ，令   2 lnh x x x  ，利用导数判断函数的单调性，根据  f x 有 两个零点 1x 、 2x ，可得 1 21 x e x   ，由  h x ex ，令 2ex a  ，从而可得 2 1 2 1 1ax x x e      - 19 - 【详解】解：（1）原不等式等价 1 ln x a x  恒成立，令   ln xp x x  ，   2 1 ln xp x x   ， 当  0,x e ，  p x 单调递增；  .x e   ，  p x 单调递减，    max 1p x p e e   ， ∴ 0 a e  ； （2）当 1x  时，   2 0 ln xf x a x    ，令   2 lnh x x x  ，      2 2ln 1 ln x xh x x   . 可知  h x 在 0,1 ， 1, e 单调递减， ,e  单调递增，   2h e e ， ∴当 2a e 时，  f x 有两个零点 1x 、 2x ，且 1 21 x e x   . 由（1）知：当 1x  时，  h x ex ，令 2ex a  ，∴ 2 ax e   ， ∴ 2 1 2 1 1ax x x e      ，即证. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查了等价转化与化归的思 想，属于较难题. 22.己知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 21 1 1 x t ty t         （t 为参数）.以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 5cos 3 4       . （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P，求 1 1 PA PB  的值. 【答案】（1）C：  2 24 1 1x y x    ；l： 1 3 5 2 2 4x y  ；（2）8. - 20 - 【解析】 【分析】 直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程. 将直线的参数方程与双曲线的方程联立，利用参数的几何意义得出答案. 【详解】解：（1）曲线 C 的参数方程为 2 2 21 1 1 x t ty t         （ t 为参数）， 转化为直角坐标方程为  2 24 1 1x y x    ， 直线 l 的极坐标方程 5cos 3 4       ， 直角坐标方程为： 1 3 5 2 2 4x y  . （2）由于直线与 x 轴的交点坐标为 5 ,02       ， 所以直线的参数方程为 5 3 2 2 1 2 x t y t      ( t 为参数)， 代入 2 24 1x y  得到： 2 2 15 1 0t t   ， 所以： 1 2 2 15t t  ， 1 2 1t t   ， 则：  2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 41 1 8t t t tt t PA PB t t t t      . 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的转换，同时考查直线参数的 意义，考查了学生的运算能力和转换能力，属于基础题. 23.已知 a ，b ， c 均为正实数，求证： （1）  2( ) 4a b ab c abc   ； （2）若 3a b c   ，则 1 1 1 3 2a b c      . 【答案】证明过程详见解析 - 21 - 【解析】 【分析】 ⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化 简后的不等式成立 ⑵由基本不等式可得 1 2 31 2 2 2 a aa      ，同理可得另外两个也是成立，结合已知 条件即可求证结果 【详解】证明：(1)要证   2 4a b ab c abc   ， 可证 2 2 2 2 4 0a b ac ab bc abc     ，需证    2 2 2 2b 2 2 0a c ac a c b bc      ， 即证    2 2 0b a c a c b    ，当且仅当 a b c  时，取等号，由已知，上式显然成立， 故不等式  2 4a b ab c abc   成立． (2)因为 , ,a b c 均为正实数， 由不等式的性质知 1 2 31 2 2 2 a aa      ，当且仅当 1 2a   时，取等号， 1 2 31 2 2 2 b bb      当且仅当 1 2b   时 ，取等号， 1 2 31 2 2 2 c cc      当且仅当 1 2c   时，取等号， 以上三式相加，得  2 1 1 1 62 a b c da b c          所以 1 1 1 3 2a b c      ，当且仅当 1a b c   时，取等号． 【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不 等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果． - 22 -