山西省太原市第五中学2020届高三下学期4月模拟数学（文）试题 Word版含解析

山西省太原市第五中学2020届高三下学期4月模拟数学（文）试题 Word版含解析

- 1 - 太原五中 2019-2020 学年度第二学期 4 月模拟考试（一） 数学试题（文） （2020.4） 一､选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项） 1. 已知集合 { | 0}A x x  ，  | || 2 xB y y  ，则 AB ð ( ) A. { | 0}x x  B. { | 0 1}x x  C. { |1 2}x x„ „ D. { | 0 1}x x„ „ 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出集合 B ，再根据补集的定义计算可得； 【详解】解：因为  | || 2 { | 1}xB y y y y   … ， { | 0}A x x  ，所以 { |0 1}AB x x  ð ， 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2. 若 4 3z i  ，则 z z  （ ） A. 1 B. 1 C. 4 3 5 5 i D. 4 3 5 5 i 【答案】D 【解析】 【分析】 根据共轭复数与模长的求解计算即可. 【详解】由题意可得 2 24 3 5z    ，且 4 3z i  ， 4 3 4 3 5 5 5 z i iz     . 故选：D 【点睛】本题主要考查了共轭复数与模长的概念与计算,属于基础题. 3. 已知非零向量 m n  、满足 4n m  | | | || ，且 2m m n    ( )，则 m n  、的夹角为 - 2 - A. 3  B. 2  C. 2 3  D. 5 6  【答案】C 【解析】 【分析】 运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围， 即可得到． 【详解】∵  2m m n  ur ur r ，∴  2 0m m n   ur ur r ，即 2 2 0m m n     ， 又∵ 4n m  ，∴ 2 2 4 cos , 0m m m m n       ，解得 1cos , 2m n    ， 结合 0 ,m n    ，所以 2, 3m n   ，故选 C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能 力，属于基础题. 4. 若 3tan 4   ，则 2cos 2sin 2   （ ） A. 64 25 B. 48 25 C. 1 D. 16 25 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 由 3tan 4   ， 得 3 4sin ,cos5 5    或 3 4sin ,cos5 5      ， 所 以 2 16 12 64cos 2sin 2 425 25 25       ，故选 A． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式． 【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消 去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间 的联系． 5. 已知双曲线 2 2: 12 xC y  的左右焦点为 1F ， 2F ，点 M 为双曲线C 上任意一点，则 1 2MF MF 的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】A - 3 - 【解析】 【分析】 根 据 双 曲 线 的 定 义 ， 设 点 M 在 双 曲 线 C 右 支 上 ， 则 1 2| | 2 2 2MF MF a   ， 设 2| | ( 3 2)MF x x … ，再根据二次函数的性质计算可得； 【详解】解：由题意知， 1( 3,0)F  ， 2 ( 3,0)F ，不妨设点 M 在双曲线 C 右支上，则 1 2| | 2 2 2MF MF a   ， 设 2| | ( 3 2)MF x x … ， 所 以  2 1 2 ( 2 2) 2 2MF MF x x x      ，所以当 3 2x   时， 1 2MF MF 的值最小， 最小为 1，故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，二次函数的性质，考查转化思想，属于基础题. 6. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ① 若 2a b  ，则 a ，b 中至少有一个不小于1； ② 是 的充要条件； ③ ； ④ 函数 ( 1)y f x  是奇函数，则 ( )y f x 的图像关于 (1,0) 对称. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用逆否命题的真假判断①的正误；由 a b  可得 0a b  ，反之不成立，取 0a   即可判断； 利用全称命题直接判断③的正误即可；利用函数的奇偶性以及对称性说明④的正误. 【详解】解：对于①，逆否命题为： a ，b 都小于 1，则 2a b  是真命题 所以原命题是真命题 对于②， a b   0a b  ，反之不成立，取 0a   ，不能说 a b  ，所以②是假命题； 对于③， [0x  ， ) ， 3 0x x … ；显然是真命题； 对于④，函数 ( 1)y f x  是奇函数，函数的对称中心为 (0,0) ，则 ( )y f x 的图象是 - 4 - ( 1)y f x  的图象向右平移 1 个单位得到的，所以 ( )y f x 关于 (1,0) 对称．是真命题； 故选： D ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查向量的数量积与垂直的关系，函数的对称 性，充要条件，是基础题． 7. 执行如图所示的程序框图.则输出的所有点  ,x y （ ） A. 都在函数 1y x  的图象上 B. 都在函数 2y x 的图象上 C. 都在函数 2xy  的图象上 D. 都在函数 12xy  的图象上 【答案】C 【解析】 【分析】 列出循环的每一步，根据输出的点 ,x y 的坐标可判断出点 ,x y 符合哪一个函数的解析式. 【详解】开始： 1x  ， 2y  ，进行循环： 输出  1,2 ， 2x  ， 4y  ， 输出  2,4 ， 3x  ， 8y  ， 输出 3,8 ， 4x  ， 16y  ， 输出 4,16 ， 5x  ， 32y  ，因为 5 4x   ，退出循环， - 5 - 则输出的所有点 1,2 、 2,4 、 3,8 、 4,16 都在函数 2xy  的图象上. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要 题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参 与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模. 8. 已知函数 ( )f x 满足： ( )f x x 且 ( ) 2 ,xf x x R  ．（ ） A. 若 ( )f a b ，则 a b B. 若 ( ) 2bf a  ，则 a b C. 若 ( )f a b ，则 a b D. 若 ( ) 2bf a  ，则 a b 【答案】B 【解析】 【详解】可设 2 ( 0)( ) { 2 ( 0) x x xf x x   ，则 f（x）满足题意. 易知 (1) 2 5 =5,f    但 1＞−5,排除 A. (2) 4 |3|=3f ，  但 2＜3,排除 C. ( 2) 4 2 =2 2 1,f     ，但 排除 D. 故选 B. 9. 函数   logax xf x x  （ 0 1a  ）的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 - 6 - 【分析】 确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0 时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数， 即可得出结论． 【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 B、D； x＞0 时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除 A． 故选 C． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键． 10. 已知数列 na 是等比数列，数列 nb 是等差数列，若 1 6 11 3 3a a a    ， 1 6 11 7b b b    ，则 3 9 4 8 tan 1 b b a a    的值是（ ） A. 1 B. 2 2 C. 2 2  D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列和等比数列的性质求出 3 9b b ， 4 81 a a 的值，代入 3 9 4 8 tan 1 b b a a    得答案. 【 详 解 】 在 等 差 数 列  nb 中 ， 由 1 6 11 7b b b    ， 得 63 7b  ， 6 7 3b  ， 3 9 6 142 3b b b     ， 在等比数列 na 中，由 1 6 11 3 3a a a   ，得 3 6 3 3a   ， 6 3a   ，  22 4 8 61 1 1 3 2a a a         ， 则 3 9 4 8 14 73tan tan tan tan 31 2 3 3 b b a a                       . 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查等差数列与等比数列的性质，训练 了三角函数值的求法，是中档题. 11. 抛物线 2: 2C x y 的焦点为 F ，点 M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若 MOF△ 的 - 7 - 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为( ) A. 4  B. 2  C. 9 16  D. 3 4  【答案】C 【解析】 【分析】 依题意可得 MOF 的外接圆的圆心 P 一定在抛物线上，且圆心 P 在 OF 的垂直平分线上，所 以| | 2 pOF  ，从而求出外接圆的半径以及圆的面积； 【详解】解：因为 MOF△ 的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以 MOF△ 的外接圆的圆心 P 到准线的距离等于圆的半径| |PF ，则 MOF 的外接圆的圆心 P 一定在抛物线上.又因为圆心 P 在 OF 的垂直平分线上，| | 2 pOF  ， 3| | 4 2 4 p p pMF    ，则此外接圆的半径 3 3 4 4 pr   ， 故此外接圆的面积 2 9 16S r   ，故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，属于中档题. 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表 面积为（ ） A. 14 B. 10 4 2 C. 21 4 22  D. 21 3 4 22   【答案】D 【解析】 - 8 - 【详解】还原三视图如下： 其表面积为 1 1 1 1 3 21 32 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 4 22 2 2 2 4 2                      故选 D 二､填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上） 13. 若样本数据 1x 、 2x 、 、 10x 的平均数为10，则数据 14 3x  、 24 3x  、 、 104 3x  ， 的平均数为_____. 【答案】 37 【解析】 【分析】 利用平均数公式可求得结果. 【详解】因为样本数据 1x 、 2x 、 、 10x 的平均数为10，则 1 2 10 1010 x x x    ， 所以数据 14 3x  、 24 3x  、 、 104 3x  的平均数为  1 2 101 2 10 4 304 3 4 3 4 3 4 100 30 3710 10 10 x x xx x x              ， 故答案为：37 . 【点睛】本题考查平均数的计算，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知 x ， y 满足约束条件 0 2 0 x y x y y        ，若 z ax y  ( 0)a  的最大值为 4 ，则 a __________． 【答案】 2 - 9 - 【解析】 【分析】 画出可行域，当直线 y ax z   的截距最大时，z ax y  取得最大值，若 1 0a    ，则 目标函数在 A 点取得最大值，若 1a   ，则目标函数在 B 点取得最大值，分别求解即可得到 答案． 【详解】画出 x ， y 满足的可行域（见下图阴影部分）， 目标函数可化为 y ax z   ， 若 1 0a    ，则目标函数在 A 点取得最大值， 解方程 0 2 x y x y      ，得  11A ， ，则 4 1a  ，解得 3a  ，不满足题意； 若 1a   ，则目标函数在 B 点取得最大值， 解方程 2 0 x y y     ，得  2 0B ， ，则 4 2 0a  ，解得 2a  ，满足题意． 故答案为 2. 【点睛】本题考查了目标函数含参的线性规划问题，属于中档题． 15. 函数   sin 3f x x      的图象向右平移 3  个单位后与原函数的图象关于 x 轴对称，则  的最小正值是_____. 【答案】 3 【解析】 【分析】 求出图象变换后的函数解析式，结合所得函数图象关于 x 轴对称，可得出关于 的等式，即 - 10 - 可求得 的最小正值. 【详解】函数   sin 3f x x      的图象向右平移 3  个单位后与原函数的图象关于 x 轴对 称， 则平移后函数的解析式为 sin sin3 3 3y x x                  ，  2 13 k    ， k Z ， 当 1k   时， 取得最小正值，此时 3   ，因此， 的最小正值为 3 . 故答案为：3 . 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及函数图象的对称性，考查推理能力，属于中 等题. 16. 已知   xf x x e  ，        2g x f x tf x t R   若满足   1g x   的 x 有四个，则t 的取值范围为_____. 【答案】 2 1, e e      【解析】 【分析】 满足   1g x   的 x 有 4 个，等价于方程    2 1 0f x tf x   有 4 个根，设   xh x xe ，利 用导数得到函数  y h x 的单调性和极值，画出函数  y h x 的大致图象，再利用函数图象 的变换得到函数  y f x 的大致图象，要使方程    2 1 0f x tf x   有 4 个根，则方程 2 1 0m tm   应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设   2 1m m tm    ， 再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出t 的取值范围. 【详解】满足   1g x   的 x 有 4 个，方程    2 1 0f x tf x   有 4 个根， 设   xh x xe ，则    1 xh x x e   ，令   0h x  ，得 1x   . 当  , 1x   时，   0h x  ，函数  y h x 单调递减； 当  1,x   时，   0h x  ，函数  y h x 单调递增，    min 11h x h e      ， - 11 - 画出函数   xh x xe 的大致图象，如图所示：    xf x xe h x  ， 保留函数  y h x 的 x 轴上方的图象，把 x 轴下方的图象关于 x 轴翻折到 x 轴上方， 即可得到函数   xf x xe 的图象如下图所示： 令  m f x ，则 2 1 0m tm   ， 所以要使方程    2 1 0f x tf x   有 4 个根， 则方程 2 1 0m tm   应有两个不等的实根，又由于两根之积为 1，所以一个根在 10, e      内， 一个根在 1 ,e     内， 设   2 1m m tm    ，因为  0 1 0   ，则只需 21 1 1 0t e e e               ，解得： - 12 - 2 1et e   ， 因此，实数t 的取值范围是 2 1, e e      . 故答案为： 2 1, e e      . 【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和 极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题. 三､解答题（本大题 5 小题，共 60 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知数列 na 是等比数列， 2 4a  ， 3 2a  是 2a 和 4a 的等差中项. （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 22log 1n nb a  ，求数列 n na b 的前 n 项和 nT . 【答案】（1） 2n na  ；（2）   16 2 3 2n nT n    . 【解析】 【分析】 （1）等比数列 na 中， 2 4a  ， 3 2a  是 2a 和 4a 的等差中项，由等比数列的公比表示出已 知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果； （2）把（1）中求得的结果代入 22log 1n nb a  ，求出 nb ，利用错位相减法求出 nT . 【详解】（1）设数列 na 的公比为 q， 因为 2 4a  ，所以 3 4a q ， 2 4 4a q . 因为 3 2a  是 2a 和 4a 的等差中项，所以  3 2 42 2a a a   . 即   22 4 2 4 4q q   ，化简得 2 2 0q q  . 因为公比 0q  ，所以 2q = . 所以  2 2 2 4 2 2n n n na a q n N       ； （2）因为 2n na  ，所以 22log 1 2 1n nb a n    ，所以  2 1 2n n na b n  . - 13 - 则    2 3 11 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n           ，①，    2 3 4 12 1 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n            ，②， ①  ②得，  2 3 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n nT n                  1 1 14 1 2 2 2 2 1 2 6 2 3 21 2 n n nn n             ， 所以   16 2 3 2n nT n    . 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查了等差、等比中项的概念的应用，以及错 位相减法，考查运算能力，属中档题. 18. 如图，四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AA  平面 ABCD，四边形 ABCD 为平行四边形， 3CA CD ， 120BCD  . （1）若 AC BD O ，求证： 1B O//平面 1 1AC D ； （2）若 2CD  ，且三棱锥 1A CDC 的体积为 2 2 ，求 1C D . 【答案】（1）见解析；（2） 1 10C D  【解析】 【分析】 （1）连接 1 1B D 交 1 1AC 于点 1O ，连接 1DO ，根据四边形 ABCD 为平行四边形，可得 1B O// 1DO ， 然后根据线面平行的判定定理，可得结果. （2）利用正弦定理，可得 1sin 2CAD  ，进一步可得 AC CD ，然后根据 1A CDCV  ，可得 - 14 - 1CC ，最后利用勾股定理，可得结果. 【详解】（1）连接 1 1B D 交 1 1AC 于点 1O ，连接 1DO . 如图 由四棱柱的性质可知 1 1B D // BD ， 且 1 1B D BD ，则 1 1B O // DO . ∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ 1 2DO BD . 同理 1 1 1 1 1 2B O B D ，∴ 1 1DO B O ， ∴四边形 1 1DOB O 为平行四边形，∴ 1B O // 1DO . 又 1DO  平面 1 1AC D ， 1B O  平面 1 1AC D， ∴ 1B O //平面 1 1AC D. （2）∵ 120BCD  ，∴ 60ADC   . 又 3CA CD ，∴ 2 3CA  . 由正弦定理可得 sin sin CA CD ADC CAD   ， 解得 1sin 2CAD  ， ∵ 0 120CAD    ，∴ 30 CAD ， ∴ 90ACD ∠ ，即 AC CD . - 15 - 又 1AA  平面 ABCD，即 1CC  平面 ABCD， ∴ 1CC ，CD，CA 两两垂直. ∴ 1 1 1 1 1 2 3 2 23 2 3A CDCV CD CC CA CC       ， ∴ 1 6CC  ，∴ 2 2 1 1 10C D CC CD   . 【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，还考查了锥体体积公式，掌握线线、 线面、面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题. 19. 2019 年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类” 能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善生存环境质量.某部门在某小区年龄 处于区间[25,45) 内的人中随机抽取 x 人进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调 查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到图各年龄段人数的频率分布直方 图和表中统计数据. （1）求 , ,x y z 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 x 人年龄的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替， 结果保留整数）； （3）从年龄段在[25,35) 的“环保族”中采用分层抽样的方法抽取 9 人进行专访，并在这 9 人中选取 2 人作为记录员，求选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在区间[30,35) 中的概率. 组数 分组 “环保族”人数 占本组频率 第一组 [20,25) 45 0.75 第二组 [25,30) 25 y - 16 - 第三组 [30,35) z 0.5 第四组 [35,40) 3 0.2 第五组 [40,45] 3 0.1 【答案】（1） 200x  ， 0.625y  ， 6z  ；（2）31；（3） 13 18 . 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图和表中统计数据计算可得； （2）根据频率分布直方图计算出平均数即可； （3）根据古典概型的概率计算公式计算可得； 【详解】解：（1）对于第一组，人数为 45 600.75  ，占总人数 0.06 5 0.3  ，故总人数 60 2000.3x   人，所以 200x  ， 0.03 5 200 0.2 6z      ， 25 0.6250.04 5 200y    . （2）设这 x 人年龄的平均值为 m ，所以 22.5 0.3 27.5 0.2 32.5 0.2 37.5 0.15 42.5 0.15 30.75 31m             . （3）易知采用分层抽样法抽取的 9 人中，在[25,30) 内的有 5 人，在[30,35) 内的有 4 人，选 取 2 名记录员的可能情况共有1 2 3 8 36      种，均在[30,35) 内的有1 2 3 6   种， 恰有一个在[30,35) 内的有 4 5 20  种，故所求概率 6 20 13 36 18P   . 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型的概率计算问题，属于中档题. 20. 已知过原点的动直线l 与圆 1C : 2 2 6 5 0x y x    相交于不同的两点  ，  ． （1）求圆 1C 的圆心坐标； （2）求线段  的中点  的轨迹 C 的方程； - 17 - （3）是否存在实数 k ，使得直线 L:  4y k x  与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的 取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 3,0 ；（2） 2 23 9 5 32 4 3x y x              ；（3）存在， 2 5 2 5 7 7k   或 3 4k   ． 【解析】 【分析】 （1）通过将圆 1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为 y=kx，通过 联立直线l 与圆 1C 的方程，利用根的判别式大于 0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普 通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆 1C 的方程，利用根的判别式△=0 及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由 2 2 6 5 0x y x    得 2 23 4x y   ， ∴ 圆 1C 的圆心坐标为 3,0 ； （2）设  ,M x y ，则 ∵ 点 M 为弦 AB 中点即 1C M AB ， ∴ 1 1  C M ABk k 即 13 y y x x    ， ∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 2 23 9 5 32 4 3x y x              ； - 18 - （3）由（2）知点 M 的轨迹是以 3 ,02C     为圆心 3 2r  为半径的部分圆弧 EF （如下图所示， 不包括两端点），且 5 2 5,3 3E       ， 5 2 5,3 3F      ，又直线 L ：  4y k x  过定点  4,0D ， 当直线 L 与圆 L 相切时，由 2 2 3 4 02 3 21 k k        得 3 4k   ，又 20 3 2 3 5 75 5 4 DE DFk k            ，结合上图可知当 3 3 2 5 2 5, ,4 4 7 7k             时， 直线 L ：  4y k x  与曲线 L 只有一个交点． 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 21. 已知函数   lnf x x x  ，    24 0g x x mx m   ，函数  f x 在点 1x  处的切线与 函数  y g x 相切. （1）求函数  g x 的值域； （2）求证：    f x g x . 【答案】（1） 1 ,4     ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用导数求出曲线  y f x 在点 1x  处的切线方程，与函数  y g x 的解析式联立， - 19 - 由 0  可求得 m 的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数  y g x 的值域； （2）要证明    f x g x ，即证 24 2 lnx x x x   ，即证 24 4 lnx x x x   ，求出函数   24 4x x x   的最小值，并利用导数求出函数   lnh x x x  的最大值，由此可得出结论. 【详解】（1）切点  1,1P ，   lnf x x x  ，则   1 1f x x    ，  1 2f   . 所以，函数  y f x 在点 1x  处的切线方程为  1 2 1y x   ，即 2 1y x  . 函数  y f x 在点 1x  处的切线与函数  y g x 相切. 联立 24 2 1 y x mx y x       ，化为  24 2 1 0x m x    ，     22 16 6 2 0m m m        ， 0m  ，解得 2m   .   2 2 1 1 14 2 4 4 4 4g x x x x           ，所以，函数  y g x 的值域为 1 ,4     ； （2）要证    f x g x ，即证 24 2 lnx x x x   ，即证 24 4 lnx x x x   . 设   24 4x x x   ，   lnh x x x  ，则函数  y h x 的定义域为 0, .  min 1 12x        ，   1 11 xh x x x    . 当 0 1x  时，   0h x  ，此时，函数  y h x 单调递增； 当 1x  时，   0h x  ，此时，函数  y h x 单调递减. 所以，函数  y h x 的最大值为    max 1 1h x h   . 所以，    min maxx h x  ，但是函数  y x 的最小值和函数  y h x 的最大值不在同一 处取得， 因此，    f x g x . 【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程，二次函数值域的求解，同时也考查了函数 不等式的证明，考查推理能力与计算能力，属于难题. 请考生在 22､23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 - 20 - 22. 已知曲线 C 的极坐标方程是ρsin2θ－8cosθ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴 为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线 l 过点 P(2， 0)． (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)设点 Q 与点 G 的极坐标分别为 32, 2      ，(2，π)，若直线 l 经过点 Q 32, 2      ，且与曲线 C 相交于 A，B 两点，求△GAB 的面积． 【答案】(1) y2＝8x， 2 cos , sin x t y t       (t 为参数)．(2) 16 2 . 【解析】 【分析】 （1）曲线 C 可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，即得其直角坐标方程，根据已知写出直线 l 的 参数方程；（2）先求出直线 l 的参数方程为 22 ,2 2 2 x t y t      ，将 l 的参数方程代入曲线 C 的直 角坐标方程得到 t2－8 2 t－32＝0，利用韦达定理和直线参数方程t 的几何意义求出|AB|=16, 再求点 G 到直线 l 的距离，即得△GAB 的面积． 【详解】(1)曲线 C 可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0， 其直角坐标方程为 y2＝8x，直线 l 的参数方程为 2 cos , sin x t y t       (t 为参数)． (2)将点 32, 2Q      的极坐标化为直角坐标得(0，－2)，易知直线 l 的倾斜角α＝ π 4 ， 所以直线 l 的参数方程为 22 ,2 2 2 x t y t      (t 为参数)． 将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 2 2 28 22 2t t               ， 整理得 t2－8 2 t－32＝0，Δ＝(8 2 )2＋4×32＝255＞0， - 21 - 设 t1，t2 为方程为 t2－8 2 t－32＝0 的两个根，则 t1＋t2＝8 2 ，t1·t2＝－32， 所以  2 1 2 1 2 1 2| | 4 256 16AB t t t t t t        . 由极坐标与直角坐标互化公式得点 G 的直角坐标为(－2，0)，易求点 G 到直线 l 的距离 2| | sin 45 4 2 22d PG      ，所以 1 1 12 2 2 16 22 2GABS d AB        . 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的写法，考查直线 参数方程 t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 选修 4-5：不等式选讲 23. （1）若 a 、b 均为正数，且 1a b  .证明： 1 11 1 9a b          ； （2）若不等式 3 2x x a    的解集为 1x x  ，求实数 a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 3a  . 【解析】 【分析】 （1）将 1a b  代入可得 1 11 1 1 1 1 1b a a b a b                       ，由三元均值不等式，即 可得证； （2）先由方程 3 2x x a    的根为 1x  求出 a 的值，然后代入不等式，解不等式验证 即可，进而可得出实数 a 的值. 【详解】（1） a 、b 均为正数，且 1a b  ， 3 31 11 1 1 1 1 1 1 1 3 3 9a b b a b a b a a b a b a b a b                                                       ， 当且仅当 1 2a b  时，等号成立， 因此， 1 11 1 9a b          ； （2）由题意可知方程 3 2x x a    的根为 1x  ，则 4 1 2a   ，解得 1a   或 3 . ①当 1a   时，原不等式为 3 1 2x x    . - 22 - 当 3x   时，由    3 1 3 1 2 2x x x x           ，此时 x ； 当 3 1x    时，由    3 1 3 1 2 4 2x x x x x          ，得 1x   ，此时 x ； 当 1x   时，由    3 1 3 1 2x x x x        ，此时 1x   . 所以，不等式 3 1 2x x    的解集为 1x x   ，不合乎题意； ②当 3a  时，原不等式为 3 3 2x x    . 当 3x   时，由    3 3 3 3 6 2x x x x           ，此时 x ； 当 3 3x   时，由    3 3 3 3 2 2x x x x x         ，解得 1x ，此时1 3x  ； 当 3x  时，由    3 3 3 3 6 2x x x x         ，此时 3x  . 所以，不等式 3 3 2x x    的解集为 1x x  ，合乎题意. 综上所述， 3a  . 【点睛】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查推理能力与运算求解能力，属 于中档题. - 23 -