数学华东师大版九年级上册教案22-2 一元二次方程的解法 第5课时

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数学华东师大版九年级上册教案22-2 一元二次方程的解法 第5课时

1 22.2 一元二次方程的解法 第 5 课时 教学目标 1.理解并掌握一元二次方程根的判别式,能运用判别式,在不解方程的前提下判断一元二 次方程根的情况; 2.通过一元二次方程根的情况的探究过程,体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思 想,提高观察、分析、归纳的能力. 教学重难点 【教学重点】 一元二次方程根的判别式. 【教学难点】 运用判别式在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解,大家都才解第一个方程呢,小强突 然站起来说出每个方程解的情况,你想知道他是如何判断的吗? 二、合作探究 探究点一:一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况 不解方程,判断下列方程的根的情况. (1)2x2+3x-4=0; (2)x2-x+1 4 =0; (3)x2-x+1=0. 解析:根据根的判别式我们可以知道当 b2-4ac≥0 时,方程才有实数根,而 b2-4ac<0 时, 方程没有实数根.由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况. 解:(1)2x2+3x-4=0,a=2,b=3,c=-4,∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0.∴方 程有两个不相等的实数根. (2)x2-x+1 4 =0,a=1,b=-1,c=1 4 .∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1 4 =0.∴方程有两个相等 的实数根. (3)x2-x+1=0,a=1,b=-1,c=1.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.∴方程没有 2 实数根. 方法总结:给出一个一元二次方程,不解方程,可由 b2-4ac 的值的符号来判断方程根的情 况.当 b2-4ac>0 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当 b2-4ac=0 时,一元二次 方程有两个相等的实数根;当 b2-4ac<0 时,一元二次方程无实数根. 【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值 已知关于 x 的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值 范围是( ) A.a>2 B.a<2 C.a<2 且 a≠1 D.a<-2 解析:由于一元二次方程有两个不相等的实数根,判别式大于 0,得到一个不等式,再由二 次项系数不为 0 知 a-1 不为 0.即 4-4(a-1)>0 且 a-1≠0,解得 a<2 且 a≠1.选 C. 方法总结:若方程有实数根,则 b2-4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程,所以, 二次项系数不为 0.因此本题还是一道易错题. 【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三边长,求证:关于 x 的方程 b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0 没有实数根. 解析:欲证一元二次方程没有实数根,只需证明它的判别式Δ<0 即可.由 a,b,c 是三角 形三条边的长可知 a,b,c 都是正数.由三角形的三边关系可知 a+b>c,a+c>b,b+c>a. 证明:∵b 为三角形一边的长,∴b≠0,∴b2≠0,∴b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0 是关于 x 的 一元二次方程.∴Δ=(b2+c2-a2)2-4b2c2=(b2+c2-a2+2bc)(b2+c2-a2-2bc)=[(b+c)2 -a2][(b-c)2-a2]=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)=(a+b+c)[(b+c)- a][(a+b)-c][b-(a+c)].∵a,b,c 是三角形三条边的长,∴a>0,b>0,c>0,且 a+b +c>0,a+b>c,b+c>a,a+c>b.∴(b+c)-a>0,(a+b)-c>0,b-(a+c)<0,∴(a+b +c)[(b+c)-a][(a+b)-c][b-(a+c)]<0,即Δ<0.∴原方程没有实数根. 方法总结:利用根的判别式与三角形的三边关系:常根据判别式得到关于三角形三边的式子, 再结合三边关系确定Δ符号. 【类型四】 利用根的判别式解决存在性问题 是否存在这样的非负整数 m,使关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m-1)x+1=0 有两个 不相等的实数根?若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 解:不存在,理由如下: 假设 m2x2-(2m-1)x+1=0 有两个不相等的实数根,则[-(2m-1)]2-4m2>0,解得 m<1 4 .∵m 为非负整数,∴m=0. 而当 m=0 时,原方程 m2x2-(2m-1)x+1=0 是一元一次方程,只有一个实数根,与假设矛 盾. ∴不存在这样的非负整数,使原方程有两个不相等的实数根. 易错提醒:在求出 m=0 后,常常会草率地认为 m=0 就是满足条件的非负整数,而忽略了二 次项系数不为 0 的这一隐含条件,因此解题过程中务必考虑全面. 三、板书设计 3 四、教学反思 本节课是在一元二次方程的解法的基础上,学习根的判别式的应用.学生容易在计算取值范 围的时候忘记二次项系数不能为零,这是本节课需要注意的地方,应予以特别强调.
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