高考小题标准练二理新人教版
高考小题标准练(二)
满分 80 分,实战模拟,40 分钟拿下高考客观题满分!
一、选择题(本大题共 11 小题，每小题 5 分，共 55 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.设 A={x∈N|y=ln(2-x)}，B={x|2x(x-2)≤1}，则 A∩B=( )
A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}
C.{1} D.{0，1}
【解析】选 D.因为 y=ln(2-x)的定义域为：x<2，
又 x∈N，所以 A={1，0}.
因为 2x(x-2)≤1，
所以 x(x-2)≤0⇒0≤x≤2，即 B=[0，2]，
所以 A∩B={0，1}.
2.已知 i 为虚数单位,a∈R,若(a-1)(a+1+i)是纯虚数,则 a 的值为 ( )
A.-1 或 1 B.1 C.-1 D.3
【解析】选 C.因为(a-1)(a+1+i)=(a2-1)+(a-1)i 是纯虚数,
所以 所以 a=-1.
3.函数 f(x)= 若 x0∈[0，1)，且 f(f(x0))∈[0，1)，则 x0 的取值范
围是( )
A. B.(log32，1)
C. D.
【解析】选 A.当 0≤x0<1 时，f(x0)= ∈[1，2)，
f(f(x0))=4-2× ∈[0，1)，
解得 3< ≤4⇒log2
7，故输出的 x 的值为 102.
6.已知实数 x，y 满足约束条件 若 z= + (a>0，b>0)的最大值为 9，
则 d=4a+b 的最小值为( )
A. B. C. D.
【解析】选 B.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由可行域与目标函数可知，z= + 只能在点 A(1，4)处取得最大值，
即 + =9，
整理得 4a+b=9ab= ×4ab≤ ，
当且仅当 4a=b，即 a= ，b= 时取等号，
所以 4a+b≥ .
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.5 C. D.6
【解析】选 A.该几何体的直观图如图所示，连接 BD，
则该几何体由直三棱柱 ABD-EFG 和四棱锥 C-BDGF 组合而成，其体积为 ×1×2×2+ ×2×
× = .
8.已知椭圆 + =1(00，且 a≠1).若它们的图象上存在关
于 y 轴对称的点至少有 3 对，则实数 a 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【 解 析 】 选 A. 由 题 意 知 ， 函 数 图 象 上 存 在 关 于 y 轴 对 称 的 点 至 少 有 3 对 等 价 于
y=sin -1=-sin x-1(x>0)的图象与 g(x)=logax(a>0，且 a≠1)的图象至少有 3 个
交点，如图，
显然当 a>1 时，只有一个交点；
当 0-2，解得 00，b>0)的右焦点为 F，过 F 作斜率为-1 的直线交双曲线的渐近线
于点 P，点 P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为 ，则该双曲线的离心率
为( )
A. B. C. D.
【解析】选 C.由题意知过 F 且斜率为-1 的直线的方程为 y=-(x-c)，
由
可得点 P 的纵坐标为 yP= ，
故 S△OFP= × ×c= .
由题意可知 = ，
即 = ，所以 a=3b，
所以 a2=9(c2-a2)，所以 9c2=10a2，
所以 e2= = ，所以 e= .
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)
12.已知 f(x)=x3+ax-2b，如果 f(x)的图象在切点 P(1，-2)处的切线与圆(x-2)2+(y+4)2=5 相
切，那么 3a+2b=__________.
【解析】由题意得 f(1)=-2⇒a-2b=-3，
又因为 f′(x)=3x2+a，
所以 f(x)的图象在点(1，-2)处的切线方程为 y+2=(3+a)(x-1)，
即(3+a)x-y-a-5=0，
所以 = ⇒a=- ，
所以 b= ，所以 3a+2b=-7.
答案：-7
13.若 f(x)= f(f(1))=1，则 a 的值为__________.
【解析】因为 f(1)=1g1=0，f(0)=0+ 3t2dt
=t3 =a3，所以由 f(f(1))=1 得：a3=1，a=1.
答案：1
14.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题，其内容为：“今
有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐.问水深葭长各几何”意为：
今有边长为 1 丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为 1 尺，将芦苇
牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，
记正方形水池的剖面图为 ABCD，芦苇根部 O 为 AB 的中点，顶端为 P(注芦苇与水面
垂直).在牵引顶端 P 向水岸边中点 D 的过程中，当芦苇经过 DF 的中点 E 时，芦苇的顶端离
水面的距离约为________尺.(注：1 丈=10 尺， ≈24.5)
【解析】设水深为 x，则 x2+52=(x+1)2，
解得：x=12.
所以水深 12 尺，芦苇长 13 尺，
以 AB 所在的直线为 x 轴，
芦苇所在的直线为 y 轴，建立直角坐标系，
在牵引过程中，P 的轨迹是以 O 为圆心，半径为 13 的圆，
其方程为 x2+y2=169(-5≤x≤5，12≤y≤13)，①
E 点的坐标为 ，
所以 OE 所在的直线方程为 y=- x，②
由①②得 y= ≈ = .
则此时芦苇的顶端到水面的距离为 -12
= (尺).
答案：
15.我们把形如 y=f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：即在
函数解析式两边求对数得：lny=lnf(x)φ(x)=φ(x)lnf(x)，两边对 x 求导数，得 =φ′
(x)lnf(x)+φ(x) ，于是 y′=
f(x)φ(x) ，运用此方法可以求得函数 y=xx(x>0)在(1，1)
处的切线方程是__________.
【解析】因为 y=xx，所以 lny=lnxx=xlnx，
所以 =lnx+x· ，
所以 y′=xx(lnx+1)，
由导数的几何意义，得函数 y=xx(x>0)在(1，1)处的切线的斜率 k=1，且 f(1)=1，
所以函数 y=xx(x>0)在(1，1)处的切线方程为 y-1=x-1，
即 x-y=0.
答案：x-y=0
