人教新课标A版高考数学二轮复习专题1_5立体几何讲理

人教新课标A版高考数学二轮复习专题1_5立体几何讲理

专题 1.5 立体几何 考向一 三视图与几何体的面积、体积 【高考改编☆回顾基础】 1．【空间几何体的直观图和面积计算】【2017·全国卷Ⅰ改编】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视 图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若 干个是梯形，这些梯形的面积之和为________． 【答案】12 【解析】该几何体为一个三棱柱和一个三棱锥的组合体，其直观图如图所示，各个面中有两个全等的梯形，其面 积之和为 2×2＋4 2 ×2＝12. 2. 【三视图与空间几何体的体积】【2017·全国卷Ⅱ改编】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为________． 【答案】63π 【解析】 3. 【空间几何体的体积】【2017 课标 3，改编】已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球 的球面上，则该圆柱的体积为 . 【答案】 3π 4 【解析】 【命题预测☆看准方向】 1.空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点,单独考查三视图的逐渐减少,主要考查由三视图求原几何体的 面积、体积,主要以选择题、填空题的形式考查. 2.对柱体、锥体、台体表面积、体积及球与多面体的切接问题中的有关几何体的表面积、体积的考查又是高考的 一个热点,难度不大,主要以选择题、填空题的形式考查. 3.2018 年应注意抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有三个:一是三视图中的几何体的形状及面积、体积;二 是求柱体、锥体、台体及球的表面积、体积;三是求球与多面体的相切、接问题中的有关几何体的表面积、体积. 【典例分析☆提升能力】 【例 1】17 世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD3”中的常数 k 称 为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边 圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式 V＝kD3，其中，在等边圆柱中，D 表示 底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率” 分别为 k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝( ) A. 4  ∶ 6  ∶1 B. 6  ∶ 4  ∶2 C. 1∶3∶ 12  D. 1∶ 3 2 ∶ 6  【答案】D 【解析】球中， 3 3 3 3 1 1 4 4 ,3 3 2 6 6 DV R D k D k            ； 等边圆柱中， 2 3 3 2 2,2 4 4 DV D D k D k           ； 正方体中， 3 3 3 3, 1V D k D k    ； 所以 1 2 3 3 6: : : :1 1: :6 4 2k k k     .故选 D. 【趁热打铁】将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( ) A. π 27 B. 8π 27 C. π 3 D. 2π 9 【答案】B 【解析】 【例 2】【2018 届河南省郑州市第一次模拟】刍薨（ chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》 中记载“刍薨者，下有褒有 广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只 有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图 为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（ ） A. 24 B. 32 5 C. 64 D. 32 6 【答案】B 【趁热打铁】【2018 届湖北省稳派教育高三上第二次联考】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积为（ ） A. 8 16 3   B. 168 3   C. 12 6  D. 4 43   【答案】A 【解析】由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成。由三视图中的数据可得其 体积为 21 1 1 1 8 162 4 4 2 43 2 2 3 3V                      .选 A. 【方法总结☆全面提升】 1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三 视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高. 2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面 积,在计算时要注意区分“是求侧面积还是求表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面 积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和. 3. 等体积法也称等积转化法或等积变形法,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决与 锥体有关的问题,特别是三棱锥的体积. 【规范示例☆避免陷阱】 【典例】【2016·全国卷Ⅰ改编】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若 该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是________． 【规范解答】该几何体为一个球去掉八分之一，设球的半径为 r，则7 8 ×4 3 πr3＝28π 3 ，解得 r＝2，故该几何体的 表面积为7 8 ×4π×22＋3 4 ×π×22＝17π. 【反思提高】在由空间几何体的三视图确定几何体的形状时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或 侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,特别注意由各视图中观察者与几 何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状,最后根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定 轮廓线的各个方向的尺寸. 【误区警示】 1.求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方法,转 换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解. 考向二 球与多面体的切接问题 【高考改编☆回顾基础】 1.【球与多面体的切接、面积与体积】【2017 天津，文 11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正 方体的表面积为 18，则这个球的体积为 . 【答案】 9 2  2．【球与多面体的切接、面积与体积】【2017 课标 1，文 16】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为________． 【答案】36 【解析】取 SC 的中点 O ，连接 ,OA OB 因为 ,SA AC SB BC  所以 ,OA SC OB SC  因为平面 SAC  平面 SBC 所以OA  平面 SBC 设OA r 31 1 1 123 3 2 3A SBC SBCV S OA r r r r          所以 31 9 33 r r   ，所以球的表面积为 24 36r  3. 【球与旋转体的切接、面积与体积】【2017 江苏，6】 如图,在圆柱 1 2,O O 内有一个球 O ,该球与圆柱的上、下 面及母线均相切.记圆柱 1 2,O O 的体积为 1V ,球 O 的体积为 2V ,则 1 2 V V 的值是 . O O1 O2 (第 6 题)    【答案】 3 2 【命题预测☆看准方向】 球与多面体的切、接问题中的有关几何体的表面积、体积计算，往往与三视图结合考查，一般为选择题或填空题， 难度以低、中档为主. 【典例分析☆提升能力】 【例 1】已知 , , ,S A B C 是球O 上的点 SA ABC 平面 ， AB BC , 1SA AB  ， 2BC  ,则球O 的表 面积等于________________． 【答案】 4 【解析】 【趁热打铁】如图，一张纸的长、宽分别为 2 2 a，2a，A，B，C，D 分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线 折起，使得 P1，P2，P3，P4 四点重合为一点 P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是________(写 出所有正确命题的序号). ①该多面体是三棱锥；②平面 BAD⊥平面 BCD； ③平面 BAC⊥平面 ACD；④该多面体外接球的表面积为 5πa2. 【答案】①②③④ 【解析】将平面图形沿图中虚线折起.使得 P1，P2，P3，P4 四点重合为一点 P，从而得到一个多面体，则①由于( 2 a)2 ＋( 2 a)2＝4a2，∴该多面体是以 A，B，C，D 为顶点的三棱锥，①正确. ②∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，BP，CP⊂平面 BCD，∴AP⊥平面 BCD，∵AP⊂平面 BAD，∴平面 BAD⊥平面 BCD， 正确. ③与②同理，可得平面 BAC⊥平面 ACD，正确. ④该多面体外接球的半径为 5 2 a，表面积为 5πa2，正确. 【例 2】【2018 届江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】已知三棱锥 S ABC 的各顶点在一个表面 积为 4 的球面上，球心O 在 AB 上， SO  平面 ABC ， 2AC  ,则三棱锥 S ABC 的体积为__________. 【答案】 1 3 【解析】如图所示,设球的半径为 r,则 24 4r  ，解得 r=1. ∵OC2+OA2=2=AC2，∴OC⊥OA. ∵球心 O 在 AB 上，SO⊥平面 ABC， 则三棱锥的底面积： 1 2 1 12ABCS     ， 三棱锥的体积： 1 1 11 13 3 3ABCV S SO      . 故答案为： 1 3 . 【趁热打铁】【2018 届贵州省遵义航天高级中学高三第五次模拟】如图 1，在平面 ABCD 中，AB=AD=CD=1，BD= 2 , BD CD ,将其对角线 BD 折成四面体 A BCD ,如图 2，使平面 A BD  平面 BCD,若四面体 A BCD 的顶点 在同一球面上，则该球的体积为____________ 【答案】 8 2 3  【解析】因为 BD 中点 O 到 A距离为 2 2 ，O 到 C 距离为 6 2 ，所以 2 2 2 6 2 22 2R R R                  ， 体积为 34 8 2 3 3R  【例 3】有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为《追求 2017》的题目，请你解答此题：球 O 的球心 为点 O，球 O 内切于底面半径为 3 、高为 3 的圆锥，三棱锥 V﹣ABC 内接于球 O，已知 OA⊥OB，AC⊥BC，则三棱 锥 V﹣ABC 的体积的最大值为_____． 【答案】 2 2 12  【解析】圆锥的母线长为 3 9 =2 3 ，设球 O 的半径为 r，则 3 3 2 3 r r ， 解得 r=1． ∵OA⊥OB，OA=OB=1，∴AB= 2 ， ∵AC⊥BC，∴C 在以 AB 为直径的圆上， ∴平面 OAB⊥平面 ABC， ∴O 到平面 ABC 的距离为 2 2 ， 故 V 到平面 ABC 的最大距离为 2 12  ． 又 C 到 AB 的最大距离为 2 2 ， ∴三棱锥 V﹣ABC 的体积的最大值为 1 1 2 22 13 2 2 2          = 2 2 12  ． 故答案为： 2 2 12  ． 【趁热打铁】在封闭的直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA 1 =3,则 V 的最大值是 ( ) A.4π B. C.6π D. 【答案】B 【方法总结☆全面提升】 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有 关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等 于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球的内接长方体、 正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长. 2.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问 题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系． 3.球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为 d，常利用直角三角形建立量的关系，R2＝d2＋r2. 【规范示例☆避免陷阱】 【典例】如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，AB＝AC，侧面 BCC1B1 是半球底面圆的 内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为( ) A．2 B．1 C. 2 D. 2 2 【规范解答】基本法 根据题中给定条件寻求所求侧面边长与其他量之间关系． 由题意知，球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC 的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点，同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中点．设正方形 BCC1B1 边长为 x，Rt△OMC1 中，OM＝x 2 ，MC1＝x 2 ，OC1＝R＝ 1(R 为球的半径)， ∴ x 2 2＋ x 2 2＝1， 即 x＝ 2，则 AB＝AC＝1， ∴S 矩形 ABB1A1＝ 2×1＝ 2. 速解法 根据大圆的内接正方形寻求球半径与正方形边长的关系． 正方形 BCC1B1 所在的是大圆面， ∴B1C＝2，B1C2＝2BC2，∴BC＝ 2， 在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝1， ∴SABB1A1＝ 2×1＝ 2. 【反思提升】球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为 d，常利用直角三角形建立量的关系， 2 2 2R d r＝ ＋ . 【误区警示】(1)涉及球与棱柱、棱锥的相切、接问题时,一般先过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作 截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的 直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解. (2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 , , ,PA a PB b PC c   一般把有关元素 “补形”成为一个球内接长方体,根据 2 2 2 24R a b c   求解. 考向三 空间中的平行与垂直 【高考改编☆回顾基础】 1．【两线垂直的判断】【2017·全国卷Ⅲ改编】如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD＝CD，则 AC 与 BD 的位置关系是________． 【答案】垂直 【解析】取 AC 的中点 O，连接 DO，BO. 因为 AD＝CD，所以 AC⊥DO. 又由于△ABC 是正三角形，所以 AC⊥BO. 从而 AC⊥平面 DOB，故 AC⊥BD. 2. 【两线平行的判断】【2017·全国卷Ⅰ改编】如图，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则 直线 AB 与平面 MNQ 的位置关系是________． 【答案】平行 【解析】因为 M，Q 分别为对应棱的中点，所以有 AB∥MQ，又 AB 不在平面 MNQ 内，所以 AB∥平面 MNQ . 3.【两平面垂直位置关系】【2017·北京卷改编】如图，在三棱锥 PABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点，则平面 BDE 与平面 PAC 的位置关系是________．测试要点：两平面垂直位置关 系 【答案】垂直 4.【面面位置关系、充要条件】【2016·山东卷改编] 已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的__________________条件． 【答案】充分不必要 【解析】当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面 内的直线不一定有交点． 【命题预测☆看准方向】 高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式:一是对命题真假的判断,通常以选择题、填空题的形式考 查,难度不大,也不是高考的热点;二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明,常以柱体、锥体为载体,难度中档 偏难,是高考的热点.预计随着高考对能力要求的不断加强,今后对空间中平行、垂直关系及体积中的探索性问题 的考查会逐渐升温. 【典例分析☆提升能力】 【例 1】【2017 江苏，15】 如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面 ABD⊥平面 BCD, 点 E,F(E 与 A,D 不 重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EF⊥AD. 求证：（1）EF∥平面 ABC； （2）AD⊥AC. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【趁热打铁】已知四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，ABCD 是正方形，E 是 PA 的中点． (Ⅰ)求证：PC∥平面 EBD； (Ⅱ)求证：平面 PBC⊥平面 PCD. 【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)见解析 【解析】试题分析：（1）连 BD ，与 AC 交于 O ，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行； （2）证明 BC PCD 平面 ，即可证得平面 PBC  平面 PCD． 试题解析：(Ⅰ)连接 AC 交 BD 与 O，连接 EO, ∵E、O 分别为 PA、AC 的中点， ∴EO∥PC， ∵PC⊄ 平面 EBD，EO⊂平面 EBD ∴PC∥平面 EBD (Ⅱ)∵PD⊥平面 ABCD, BC⊂平面 ABCD， ∴PD⊥BC，∵ABCD 为正方形，∴BC⊥CD， ∵PD∩CD＝D, PD、CD⊂平面 PCD ∴BC⊥平面 PCD，又∵BC⊂平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PCD. 【例 2】在如图所示的几何体中,四边形 CDEF 为正方形,四边形 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AC= 3 ,AB=2BC=2,AC⊥ FB. (1)求证:AC⊥平面 FBC; (2)求四面体 F-BCD 的体积; (3)线段 AC 上是否存在点 M,使 EA∥平面 FDM?证明你的结论. 【答案】(1)证明：见解析.(2) (3)线段 AC 上存在点 M,使得 EA∥平面 FDM 成立. (3)解：线段 AC 上存在点 M,且 M 为 AC 中点时,有 EA∥平面 FDM.证明如下: 连接 CE,与 DF 交于点 N,取 AC 的中点 M,连接 MN,如图. 因为四边形 CDEF 为正方形,所以 N 为 CE 的中点. 所以 EA∥MN. 因为 MN⊂平面 FDM,EA⊄ 平面 FDM, 所以 EA∥平面 FDM. 所以线段 AC 上存在点 M,使得 EA∥平面 FDM 成立. 【趁热打铁】如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD= 2 ,E 为 CD 的中点,将△BCE 沿 BE 折起, 使得 CO⊥DE,其中点 O 在线段 DE 内. (1)求证:CO⊥平面 ABED; (2)求∠CEO(记为θ)多大时,三棱锥 C-AOE 的体积最大?最大值为多少? 【答案】(1)证明：见解析.(2)当θ= 时,三棱锥 C-AOE 的体积最大,最大值为 . 【解析】(1)证明：在直角梯形 ABCD 中,CD=2AB,E 为 CD 的中点,则 AB=DE. 又 AB∥DE,AD⊥AB,知 BE⊥CD. 在四棱锥 C-ABED 中,BE⊥DE,BE⊥CE,CE∩DE=E,CE,DE⊂平面 CDE,则 BE⊥平面 CDE. 因为 CO⊂平面 CDE,所以 BE⊥CO. 又 CO⊥DE,且 BE,DE 是平面 ABED 内两条相交直线,故 CO⊥平面 ABED. (2)解：由(1)知 CO⊥平面 ABED, 知三棱锥 C-AOE 的体积 V= S△AOE·OC= ×OE×AD×OC. 由直角梯形 ABCD 中,CD=2AB=4,AD= ,CE=2, 得三棱锥 C-AOE 中,OE=CE·cos θ=2cos θ, OC=CE·sin θ=2sin θ,V= sin 2θ≤ , 当且仅当 sin 2θ=1,θ∈ ,即θ= 时取等号 (此时 OE=

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