人教a版数学【选修1-1】作业：模块综合检测（b）（含答案）

人教a版数学【选修1-1】作业：模块综合检测（b）（含答案）

模块综合检测(B) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．已知命题“p：x≥4 或 x≤0”，命题“q：x∈Z”，如果“p 且 q”与“非 q”同时 为假命题，则满足条件的 x 为( ) A．{x|x≥3 或 x≤－1，x∉Z} B．{x|－1≤x≤3，x∉Z} C．{－1,0,1,2,3} D．{1,2,3} 2．“a>0”是“|a|>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知 2x＋y＝0 是双曲线 x2－λy2＝1 的一条渐近线，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D．2 4．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x2 4 －y2 12 ＝1 B.x2 12 －y2 4 ＝1 C.x2 10 －y2 6 ＝1 D.x2 6 －y2 10 ＝1 5．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x2 3 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的 另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A．2 3 B．6 C．4 3 D．12 6．过点(2，－2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x2 2 －y2 4 ＝1 B.x2 4 －y2 2 ＝1 C.y2 4 －x2 2 ＝1 D.y2 2 －x2 4 ＝1 7．曲线 y＝x3－3x2＋1 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 8．函数 f(x)＝x2－2ln x 的单调递减区间是( ) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(－∞，－1]，(0,1) D．[－1,0)，(0,1] 9．已知椭圆 x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A．3 2 B．2 3 C. 30 3 D.3 2 6 10．设曲线 y＝x＋1 x－1 在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a 等于( ) A．2 B.1 2 C．－1 2 D．－2 11．若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的 图象可能是( ) 12．已知函数 f(x)的导函数 f′(x)＝4x3－4x，且 f(x)的图象过点(0，－5)，当函数 f(x)取 得极小值－6 时，x 的值应为( ) A．0 B．－1 C．±1 D．1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．已知双曲线 x2－y2 3 ＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________． 14．点 P 是曲线 y＝x2－ln x 上任意一点，则 P 到直线 y＝x－2 的距离的最小值是 ________． 15．给出如下三种说法： ①四个实数 a，b，c，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad＝bc. ②命题“若 x≥3 且 y≥2，则 x－y≥1”为假命题． ③若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题． 其中正确说法的序号为________． 16．双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)的两个焦点 F1、F2，若 P 为双曲线上一点，且|PF1|＝ 2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)命题 p：方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负实数根，命题 q：方程 4x2＋4(m －2)x＋1＝0 无实数根．若“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题，求 m 的取值范围． 18．(12 分)F1，F2 是椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2 中 的∠F1QF2 的外角平分线引垂线，垂足为 P，求点 P 的轨迹． 19.(12 分)若 r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知∀x∈R，r(x)为假命题且 s(x) 为真命题，求实数 m 的取值范围． 20．(12 分)已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)的一个顶点为 A(0,1)，离心率为 2 2 ，过点 B(0， －2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C，D 两点，右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF2 的面积． 21.(12 分)已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点 P(0,2)，且在点 M(－1，f(－1))处的 切线方程为 6x－y＋7＝0. (1)求函数 y＝f(x)的解析式； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间． 22．(12 分)已知 f(x)＝2 3x3－2ax2－3x (a∈R)， (1)若 f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数 a 的取值范围； (2)试讨论 y＝f(x)在(－1,1)内的极值点的个数． 模块综合检测(B) 答案 1．D 2．A [因为|a|>0⇔a>0 或 a<0，所以 a>0⇒|a|>0，但|a|>0  a>0，所以“a>0”是“|a|>0” 的充分不必要条件．] 3．C 4．A [由题意知 c＝4，焦点在 x 轴上， 又 e＝c a ＝2，∴a＝2， ∴b2＝c2－a2＝42－22＝12， ∴双曲线方程为x2 4 －y2 12 ＝1.] 5．C [设椭圆的另一焦点为 F，由椭圆的定义知 |BA|＋|BF|＝2 3，且|CF|＋|AC|＝2 3， 所以△ABC 的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC| ＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4 3.] 6．D [与双曲线x2 2 －y2＝1 有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x2 2 －y2＝λ， 由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y2 2 －x2 4 ＝1.] 7．B [y′＝3x2－6x，∴k＝y′|x＝1＝－3， ∴切线方程为 y＋1＝－3(x－1)， ∴y＝－3x＋2.] 8．A [由题意知 x>0， 若 f′(x)＝2x－2 x ＝2x2－1 x ≤0，则 00)，则经过该点的切线的 斜率为 k＝2x0－1 x0 ，根据题意得，2x0－1 x0 ＝1，∴x0＝1 或 x0＝－1 2 ，又∵x0>0，∴x0＝1，此 时 y0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2| 2 ＝ 2. 15．①② 解析 对①，a，b，c，d 成等比数列，则 ad＝bc，反之不一定，故①正确；对②，令 x＝5，y＝6，则 x－y＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p∧q 假时，p，q 至少 有一个为假命题，故③错误． 16．(1,3] 解析 设|PF2|＝m， 则 2a＝||PF1|－|PF2||＝m， 2c＝|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＝3m. ∴e＝c a ＝2c 2a ≤3，又 e>1， ∴离心率的取值范围为(1,3]． 17．解 命题 p：方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负实根⇔ Δ＝m2－4>0 m>0 ⇔m>2. 命题 q：方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根 ⇔Δ′＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0 ⇔12 m≤1 或 m≥3 或 m≤2 1b>0)，F1，F2 是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F1QF2 中的∠F1QF2 的外角平分线(如图)，连结 PO， 过 F2 作 F2P⊥QP 于 P 并延长交 F1Q 的延长线于 H，则 P 是 F2H 的中点，且|F2Q|＝|QH|， 因此|PO|＝1 2|F1H|＝1 2(|F1Q|＋|QH|) ＝1 2(|F1Q|＋|F2Q|)＝a， ∴点 P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与 x 轴的 交点)． 19．解 由于 sin x＋cos x＝ 2sin x＋π 4 ∈[－ 2， 2]， ∀x∈R，r(x)为假命题即 sin x＋cos x>m 恒不成立． ∴m≥ 2. ① 又对∀x∈R，s(x)为真命题． ∴x2＋mx＋1>0 对 x∈R 恒成立． 则Δ＝m2－4<0，即－20， ∴直线与椭圆有两个公共点， 设为 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－16 9 x1x2＝2 3 ， ∴|CD|＝ 1＋－22|x1－x2| ＝ 5· x1＋x22－4x1x2 ＝ 5· －16 9 2－4×2 3 ＝10 9 2， 又点 F2 到直线 BF1 的距离 d＝4 5 5 ， 故 S△CDF2＝1 2|CD|·d＝4 9 10. 21．解 (1)由 f(x)的图象经过 P(0,2)知 d＝2， ∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2， f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由在点 M(－1，f(－1))处的切线方程是 6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0， 即 f(－1)＝1，f′(－1)＝6. ∴ 3－2b＋c＝6， －1＋b－c＋2＝1， 即 b－c＝0， 2b－c＝－3， 解得 b＝c＝－3. 故所求的解析式是 f(x)＝x3－3x2－3x＋2. (2)f′(x)＝3x2－6x－3，令 3x2－6x－3＝0， 即 x2－2x－1＝0. 解得 x1＝1－ 2，x2＝1＋ 2. 当 x<1－ 2或 x>1＋ 2时，f′(x)>0. 当 1－ 21 4 时，∵ f′－1＝4 a－1 4 >0 f′1＝－4 a＋1 4 <0 ， ∴存在 x0∈(－1,1)，使 f′(x0)＝0， ∵f′(x)＝2x2－4ax－3 开口向上， ∴在(－1，x0)内，f′(x)>0，在(x0,1)内，f′(x)<0， 即 f(x)在(－1，x0)内单调递增，在(x0,1)内单调递减， ∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点． 当 a<－1 4 时，∵ f′－1＝4 a－1 4 <0 f′1＝－4 a＋1 4 >0 ， ∴存在 x0∈(－1,1)使 f′(x0)＝0. ∵f′(x)＝2x2－4ax－3 开口向上， ∴在(－1，x0)内 f′(x)<0， 在(x0,1)内 f′(x)>0. 即 f(x)在(－1，x0)内单调递减，在(x0,1)内单调递增， ∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点． 当－1 4 ≤a≤1 4 时，由(1)知 f(x)在(－1,1)内递减，没有极值点． 综上，当 a>1 4 或 a<－1 4 时，f(x)在(－1，1)内的极值点的个数为 1，当－1 4 ≤a≤1 4 时，f(x) 在(－1，1)内的极值点的个数为 0.