2019版一轮复习理数通用版第九单元 不等式
第九单元 不等式
教材复习课 “不等式”相关基础知识一课过
不等式、一元二次不等式
[过双基]
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
a－b>0⇔a>b，
a－b＝0⇔a＝b，
a－b<0⇔a
1⇔a>ba∈R，b>0，
a
b
＝1⇔a＝ba∈R，b>0，
a
b<1⇔a0.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)．
3．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋
bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 (a＞
0)的根
有两相异实根 x1，x2
(x1＜x2)
有两相等实根 x1＝x2
＝－ b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞
0)的解集 {x|x>x2 或 xb>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.b
a>b＋1
a＋1
B．a＋1
a>b＋1
b
C．a＋1
b>b＋1
a D.2a＋b
a＋2b
>a
b
解析：选 C 由 a>b>0⇒0<1
a<1
b
⇒a＋1
b>b＋1
a
，故选 C.
2．设 M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M >N B．M ≥N
C．M＜N D．M≤N
解析：选 A 由题意知，M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝(a
－1)2＋2>0 恒成立，所以 M>N.
3．已知一元二次不等式 f(x)＞0 的解集为 xx＜－1 或 x＞1
2
，则 f(10x)＞0 的解集为( )
A．{x|x＜－1 或 x＞lg 2} B．{x|－1＜x＜lg 2}
C．{x|x＞－lg 2} D．{x|x＜－lg 2}
解析：选 C 一元二次不等式 f(x)＞0 的解集为 xx＜－1 或 x＞1
2
，则不等式 f(10x)＞0
可化为 10x＜－1 或 10x＞1
2
，解得 x＞lg 1
2
，即 x＞－lg 2，所以所求不等式的解集为{x|x＞－
lg 2}．
4．不等式－6x2＋2＜x 的解集是________．
解析：不等式－6x2＋2＜x 可化为 6x2＋x－2＞0，
即(3x＋2)(2x－1)＞0，
解不等式得 x<－2
3
或 x>1
2
，
所以该不等式的解集是 －∞，－2
3 ∪
1
2
，＋∞
.
答案： －∞，－2
3 ∪
1
2
，＋∞
[清易错]
1．在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，例如当 c≠0 时，有 a>b⇒ac2>bc2；
若无 c≠0 这个条件，a>b⇒ac2>bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
2．对于不等式 ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论 a＝0 时的情形．
3．当Δ<0 时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为 R 还是∅，要注意区别 a 的符号．
1．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0 对任何实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是
( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C.
－∞，－13
11 D.
－∞，－13
11 ∪(1，＋∞)
解析：选 C ①当 m＝－1 时，不等式为 2x－6<0，即 x<3，不符合题意．
②当 m≠－1 时，则 m＋1<0，
Δ<0，
解得 m<－13
11
，符合题意．
故实数 m 的取值范围为 －∞，－13
11 .
2．对于实数 a，b，c，有下列命题：
①若 a＞b，则 ac＜bc；
②若 ac2＞bc2，则 a＞b；
③若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2；
④若 c＞a＞b＞0，则 a
c－a
＞ b
c－b
；
⑤若 a＞b，1
a
＞1
b
，则 a＞0，b＜0.
其中真命题的序号是________．
解析：当 c＝0 时，若 a＞b，则 ac＝bc，故①为假命题；
若 ac2＞bc2，则 c≠0，c2＞0，故 a＞b，故②为真命题；
若 a＜b＜0，则 a2＞ab 且 ab＞b2，即 a2＞ab＞b2，故③为真命题；
若 c＞a＞b＞0，则c
a
＜c
b
，则c－a
a
＜c－b
b
，则 a
c－a
＞ b
c－b
，故④为真命题；
若 a＞b，1
a
＞1
b
，即b－a
ab >0，故 ab＜0，则 a＞0，b＜0，故⑤为真命题．
故②③④⑤为真命题．
答案：②③④⑤
3．若不等式 ax2－bx＋c＜0 的解集是(－2,3)，则不等式 bx2＋ax＋c＜0 的解集是
________．
解析：∵不等式 ax2－bx＋c＜0 的解集是(－2,3)，
∴a＞0，且对应方程 ax2－bx＋c＝0 的实数根是－2 和 3，
由根与系数的关系，得
c
a
＝－2×3，
b
a
＝－2＋3，
即c
a
＝－6，b
a
＝1，
∴b＞0，且a
b
＝1，c
b
＝－6，
∴不等式 bx2＋ax＋c＜0 可化为 x2＋x－6＜0，
解得－3＜x＜2，
∴该不等式的解集为(－3,2)．
答案：(－3,2)
简单的线性规划问题
[过双基]
1．一元二次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域
Ax＋By＋C＞0 不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧
的所有点组成的平面区域
包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划中的基本概念
名称 意义
约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组)
线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数 关于 x，y 的函数解析式，如 z＝2x＋3y 等
线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是
( )
解析：选 C 由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔ x－2y＋1≥0，
x＋y－3≤0
或 x－2y＋1≤0，
x＋y－3≥0.
结合
图形可知选 C.
2．(2017·全国卷Ⅰ)设 x，y 满足约束条件
x＋3y≤3，
x－y≥1，
y≥0，
则 z＝x＋y 的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：
选 D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线 y＝－x，当直线经过点
A(3,0)时，z＝x＋y 取得最大值，此时 zmax＝3＋0＝3.
3．在平面直角坐标系 xOy 中，P 为不等式组
y≤1，
x＋y－2≥0，
x－y－1≤0
所表示的平面区域上一
动点，则直线 OP 斜率的最大值为( )
A．2 B.1
3
C.1
2 D．1
解析：选 D 作出可行域如图中阴影部分所示，当点 P 位于 x＋y＝2，
y＝1
的交点(1,1)
时，(kOP)max＝1.
4．已知 z＝2x＋y，实数 x，y 满足
y≥x，
x＋y≤2，
x≥m，
且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 m
的值是( )
A.1
4 B.1
5
C.1
6 D.1
7
解析：选 A 根据题意画出如图所示的可行域如图中阴影部分所
示．
平移直线 l：2x＋y＝0，当 l 过点 A(m，m)时 z 最小，过点 B(1,1)
时 z 最大，由题意知，zmax＝4zmin，即 3＝4×3m，解得 m＝1
4.
[清易错]
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为 ax＋by＋
c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不
一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
实数 x，y 满足 xy≥0，
|x＋y|≤1，
使 z＝ax＋y 取得最大值的最优解有 2 个，则 z1＝ax＋y＋1 的
最小值为( )
A．0 B．－2
C．1 D．－1
解析：选 A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z＝ax＋y 取得最
大值的最优解有 2 个，∴－a＝1，a＝－1，∴当 x＝1，y＝0 或 x＝0，y＝－1 时，z＝ax＋y
＝－x＋y 有最小值－1，∴ax＋y＋1 的最小值是 0.
基本不等式
[过双基]
1．基本不等式 ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2)b
a
＋a
b
≥2(a，b 同号)；
(3)ab≤
a＋b
2 2(a，b∈R)；
(4)
a＋b
2 2≤a2＋b2
2
(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设 a＞0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋b
2
，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述
为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记：积定和最小)．
(2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是
q2
4 (简记：和定积最大)．
1．若实数 a，b 满足1
a
＋2
b
＝ ab，则 ab 的最小值为( )
A. 2 B．2
C．2 2 D．4
解析：选 C 由1
a
＋2
b
＝ ab，知 a＞0，b＞0，
所以 ab＝1
a
＋2
b
≥2 2
ab
，即 ab≥2 2，
当且仅当
1
a
＝2
b
，
1
a
＋2
b
＝ ab，
即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，
所以 ab 的最小值为 2 2.
2．已知直线 2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则1
a
＋1
b
的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．1
解析：选 C 由直线 2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)过点(1,2)，
可得 2a＋2b＝2，即 a＋b＝1.
则1
a
＋1
b
＝
1
a
＋1
b (a＋b)＝2＋a
b
＋b
a
≥2＋2 b
a
×a
b
＝4，当且仅当 a＝b＝1
2
时取等号．
∴1
a
＋1
b
的最小值为 4.
3．已知 x，y∈R 且 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围为________．
解析：根据题意知，2x＞0,2y＞0，
所以 1＝2x＋2y≥2 2x·2y＝2 2x＋y，
即 2x＋y≤1
4
＝2－2，x＋y≤－2，
所以 x＋y 的取值范围为(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
[清易错]
1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．
2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
1．在下列函数中，最小值等于 2 的函数是( )
A．y＝x＋1
x
B．y＝cos x＋ 1
cos x
02，故 B 错误；因为 x2＋2≥ 2，所以 y＝ x2＋2＋ 1
x2＋2
>2，故 C 错
误；因为 ex>0，所以 y＝ex＋4
ex
－2≥2 ex·4
ex
－2＝2，当且仅当 ex＝4
ex
，即 ex＝2 时等号成
立，故选 D.
2．(2017·天津高考)若 a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1
ab
的最小值为________．
解析：因为 ab>0，所以a4＋4b4＋1
ab
≥2 4a4b4＋1
ab
＝4a2b2＋1
ab
＝4ab＋ 1
ab
≥2 4ab· 1
ab
＝4，
当且仅当
a2＝2b2，
ab＝1
2
时取等号，故a4＋4b4＋1
ab
的最小值是 4.
答案：4
一、选择题
1．(2018·洛阳统考)已知 a<0，－1ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
解析：选 D ∵－1ab2>a.
2．下列不等式中正确的是( )
A．若 a∈R，则 a2＋9>6a
B．若 a，b∈R，则a＋b
ab
≥2
C．若 a>0，b>0，则 2lga＋b
2
≥lg a＋lg b
D．若 x∈R，则 x2＋ 1
x2＋1>1
解析：选 C ∵a2－6a＋9＝(a－3)2≥0，∴A 错误；显然 B 不正确；∵a>0，b>0，∴
a＋b
2
≥ ab.∴2lga＋b
2
≥2lg ab＝lg(ab)＝lg a＋lg b，∴C 正确；∵当 x＝0 时，x2＋ 1
x2＋1
＝1，
∴D 错误，故选 C.
3．若角α，β满足－π
2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A.
－3π
2
，3π
2 B.
－3π
2
，0
C. 0，3π
2 D.
－π
2
，0
解析：选 B ∵－π
2<α<π，－π
2<β<π，
∴－π<－β<π
2
，∴－3π
2 <α－β<3π
2 .
又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π
2 <α－β<0.
4．若关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且 x2－x1＝15，则 a＝
( )
A.5
2 B.7
2
C.15
4 D.15
2
解析：选 A 由条件知 x1，x2 为方程 x2－2ax－8a2＝0，(a>0)的两根，则 x1＋x2＝2a，
x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得 a＝5
2.
5．不等式组
y≤－x＋2，
y≤x－1，
y≥0
所表示的平面区域的面积为( )
A．1 B.1
2
C.1
3 D.1
4
解析：选 D 作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知 xB＝1，
xC＝2.由 y＝－x＋2，
y＝x－1，
得 yD＝1
2
，所以 S△BCD＝1
2
×(2－1)×1
2
＝1
4.
6．(2018·成都一诊)已知 x，y∈(0，＋∞)，且 log2x＋log2y＝2，则1
x
＋1
y
的最小值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选 D 1
x
＋1
y
＝x＋y
xy
≥2 xy
xy
＝ 2
xy
，当且仅当 x＝y 时取等号．∵log2x＋log2y＝log2(xy)
＝2，∴xy＝4.
∴1
x
＋1
y
≥ 2
xy
＝1.故1
x
＋1
y
的最小值为 1.
7．设变量 x，y 满足约束条件
3x＋y－6≥0，
x－y－2≤0，
y－3≤0，
则目标函数 z＝y－2x 的最小值为( )
A．－7 B．－4
C．1 D．2
解析：选 A 法一：将 z＝y－2x 化为 y＝2x＋z，作出可行域
和直线 y＝2x(如图所示)，当直线 y＝2x＋z 向右下方平移时，直
线 y＝2x＋z 在 y 轴上的截距 z 减小，数形结合知当直线 y＝2x＋z
经过点 A(5，3)时，z 取得最小值 3－10＝－7.
法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为 B(1,3)，C(2,0)，
A(5,3)，分别代入 z＝y－2x，得 z 的值为 1，－4，－7，故 z 的最小值为－7.
8．(2017·山东高考改编)若直线x
a
＋y
b
＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则 2a＋b 的最小值为
( )
A．4 B．3＋2 2
C．8 D．4 2
解析：选 C ∵直线x
a
＋y
b
＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，
∴1
a
＋2
b
＝1，∵a＞0，b＞0，
∴2a＋b＝(2a＋b)
1
a
＋2
b
＝4＋b
a
＋4a
b
≥4＋2 b
a·4a
b
＝8，
当且仅当b
a
＝4a
b
，即 a＝2，b＝4 时等号成立，
∴2a＋b 的最小值为 8.
二、填空题
9．(2018·沈阳模拟)已知实数 x，y 满足 x2＋y2－xy＝1，则 x＋y 的最大值为________．
解析：因为 x2＋y2－xy＝1，
所以 x2＋y2＝1＋xy.
所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×
x＋y
2 2，当且仅当 x＝y 时等号成立，
即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.
所以 x＋y 的最大值为 2.
答案：2
10．(2017·郑州二模)某校今年计划招聘女教师 a 名，男教师 b 名，若 a，b 满足不等式
组
2a－b≥5，
a－b≤2，
a＜7，
设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名，则 x＝________.
解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作
直线 l：b＋a＝0，平移直线 l，再由 a，b∈N，可知当 a＝6，b＝7
时，招聘的教师最多，此时 x＝a＋b＝13.
答案：13
11．一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙
长 18 m，则这个矩形的长为________ m，宽为________ m 时菜园面积最大．
解析：设矩形的长为 x m，宽为 y m．则 x＋2y＝30，所以 S＝xy＝1
2x·(2y)≤1
2
x＋2y
2 2
＝225
2
，当且仅当 x＝2y，即 x＝15，y＝15
2
时取等号．
答案：15 15
2
12．(2018·邯郸质检)若不等式组
x＋y－3≥0，
y≤kx＋3，
0≤x≤3
表示的平面区域为一个锐角三角形
及其内部，则实数 k 的取值范围是________．
解析：直线 y＝kx＋3 恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一
个锐角三角形及其内部，需要直线 y＝kx＋3 的斜率在 0 与 1 之间，即 k∈(0,1)．
答案：(0,1)
三、解答题
13．已知 f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于 a 的不等式 f(1)>0；
(2)若不等式 f(x)>b 的解集为(－1,3)，求实数 a，b 的值．
解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6
＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为 a2－6a－3<0，
解得 3－2 3b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0 的两根为－1,3，
故
－1＋3＝a6－a
3
，
－1×3＝－6－b
3
，
解得 a＝3± 3，
b＝－3.
14．(2018·济南一模)已知 x>0，y>0，且 2x＋5y＝20.
(1)求 u＝lg x＋lg y 的最大值；
(2)求1
x
＋1
y
的最小值．
解：(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得 2x＋5y≥2 10xy.
∵2x＋5y＝20，∴2 10xy≤20，即 xy≤10，当且仅当 2x＝5y 时等号成立．因此有
2x＋5y＝20，
2x＝5y，
解得 x＝5，
y＝2，
此时 xy 有最大值 10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当 x＝5，y＝2 时，u＝lg x＋lg y 有最大值 1.
(2)∵ x>0， y>0 ， ∴ 1
x
＋1
y
＝
1
x
＋1
y ·2x＋5y
20
＝ 1
20
7＋5y
x
＋2x
y ≥ 1
20
7＋2 5y
x ·2x
y ＝
7＋2 10
20
，
当且仅当5y
x
＝2x
y
时等号成立．
∴1
x
＋1
y
的最小值为7＋2 10
20
.
高考研究课一不等式性质、一元二次不等式
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
不等式性质 5 年 2 考 比较大小
一元二次不等式解法 5 年 8 考 与集合交汇命题考查解法
不等式恒成立问题 5 年 1 考 利用不等式恒成立求参数
不等式的性质及应用
[典例] 若1
a<1
b<0，给出下列不等式：① 1
a＋b< 1
ab
；②|a|＋b>0；③a－1
a>b－1
b
；④ln a2>ln
b2.其中正确的不等式是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
[解析] 法一：用“特值法”解题
因为1
a<1
b<0，故可取 a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为 ln a2
＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除 A、B、D，选 C.
法二：用“直接法”解题
由1
a<1
b<0，可知 b0，所以 1
a＋b< 1
ab
，故①正确；
②中，因为 b－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；
③中，因为 b－1
b>0，所以 a－1
a>b－1
b
，故③正确；
④中，因为 ba2>0，而 y＝ln x 在定
义域(0，＋∞)上为增函数，所以 ln b2>ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．
[答案] C
[方法技巧]
不等式性质应用问题的 3 大常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小
熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前
提条件．
(2)与充要条件相结合问题
用不等式的性质分别判断 p⇒q 和 q⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合问题
解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
[即时演练]
1．(2018·泰安调研)设 a，b∈R，若 p：a0，则 a
b2
＋ b
a2
与1
a
＋1
b
的大小关系是________．
解析： a
b2
＋ b
a2
－
1
a
＋1
b ＝a－b
b2
＋b－a
a2
＝(a－b)·
1
b2
－ 1
a2 ＝a＋ba－b2
a2b2 .
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴a＋ba－b2
a2b2
≥0.
∴ a
b2
＋ b
a2
≥1
a
＋1
b.
答案： a
b2
＋ b
a2
≥1
a
＋1
b
一元二次不等式的解法
[典例] 解下列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4；
(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
[解] (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.
解得－2≤x≤4
3
，
所以原不等式的解集为 x|－2≤x≤4
3 .
(2)原不等式等价于
x2－x－2＞0，
x2－x－2≤4
⇔ x2－x－2＞0，
x2－x－6≤0
⇔ x－2x＋1＞0，
x－3x＋2≤0
⇔ x＞2 或 x＜－1，
－2≤x≤3.
借助于数轴，如图所示，
故原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1 或 2＜x≤3}.
(3)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为 a＞0，所以 a x－1
a (x－1)＜0.
所以当 a＞1 时，解为1
a
＜x＜1；
当 a＝1 时，解集为∅；
当 0＜a＜1 时，解为 1＜x＜1
a.
综上，当 0＜a＜1 时，不等式的解集为 x|1＜x＜1
a ；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a＞1 时，不等式的解集为 x|1
a
＜x＜1 .
[方法技巧]
解一元二次不等式的 4 个步骤
[即时演练]
1．若(x－1)(x－2)＜2，则(x＋1)(x－3)的取值范围是( )
A．(0,3) B．[－4，－3)
C．[－4,0) D．(－3,4]
解析：选 C 解不等式(x－1)(x－2)＜2，可得 0＜x＜3，(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，由
二次函数的性质可得(x＋1)(x－3)的取值范围是[－4,0)．
2．(2018·昆明、玉溪统考)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－12ax 的解集为( )
A．{x|－21}
C．{x|03}
解析：选 C 由题意 a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，整理得 ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0
①，又不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－10，
g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，
解得 x<1 或 x>3.
故当 x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的 m∈[－1,1]，函数 f(x)的值恒大于零．
[方法技巧]
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁
当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，
根据原变量的取值范围列式求解．
1．(2014·全国卷Ⅰ)已知集合 A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则 A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
解析：选 A A＝{x|x≤－1 或 x≥3}，故 A∩B＝[－2，－1]．
2．(2014·全国卷Ⅱ)设集合 M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则 M∩N＝( )
A．{1} B．{2}
C．{0,1} D．{1,2}
解析：选 D N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又 M＝{0,1,2}，所以 M∩N＝{1,2}．
3．(2012·全国卷)已知集合 A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1b，c>d，则 ac>bd
B．若 ac>bc，则 a>b
C．若1
a<1
b<0，则|a|＋b<0
D．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d
解析：选 C 取 a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知 A 错误；当 c<0 时，ac>bc⇒a－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故 C 正确；取
a＝c＝2，b＝d＝1，可知 D 错误．
2．(2017·山东高考)若 a>b>0，且 ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋1
b< b
2a1，
因此 a＋1
b>log2(a＋b)> b
2a.
3．已知集合 M＝{x|x2－4x>0}，N＝{x|m0}＝{x|x>4 或 x<0}，N＝{x|m0，
∴x<－1 或 x>1.
5．不等式 f(x)＝ax2－x－c>0 的解集为{x|－21 时，
不等式的解集为[1，a]，此时只要 a≤3 即可，即 1a>ab，则实数 b 的取值范围是__________．
解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，
当 a>0 时，b2>1>b，
即 b2>1，
b<1，
解得 b<－1；
当 a<0 时，b2<11，
此式无解．
综上可得实数 b 的取值范围为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
10．关于 x 的不等式 x2－(t＋1)x＋t≥0 对一切实数 x 成立，则实数 t 的取值范围是
________．
解析：因为不等式 x2－(t＋1)x＋t≥0 对一切实数 x 成立，
所以Δ＝(t＋1)2－4t≤0，
整理得(t－1)2≤0，
解得 t＝1.
答案：{1}
11．已知函数 f(x)＝ x2＋ax，x≥0，
bx2－3x，x<0
为奇函数，则不等式 f(x)<4 的解集为________．
解析：当 x>0 时，－x<0，即 f(－x)＝bx2＋3x，因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
即－bx2－3x＝x2＋ax，可得 a＝－3，b＝－1，所以 f(x)＝ x2－3x，x≥0，
－x2－3x，x<0.
当 x≥0 时，
由 x2－3x<4，解得 0≤x<4；当 x<0 时，由－x2－3x<4，解得 x<0，所以不等式 f(x)<4 的解
集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
12．对一切实数 x，不等式 x2＋a|x|＋1≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
解析：当 x＝0 时，不等式恒成立，当 x≠0 时，将问题转化为－a≤ 1
|x|
＋|x|，由 1
|x|
＋|x|≥2，
故－a≤2，即 a≥－2.所以实数 a 的取值范围为[－2，＋∞)．
答案：[－2，＋∞)
三、解答题
13．已知 a∈R，解关于 x 的方程 ax2－(a＋2)x＋2＜0.
解：原不等式等价于(ax－2)(x－1)＜0.
(1)当 a＝0 时，原不等式为－(x－1)＜0，解得 x＞1.
即原不等式的解集为(1，＋∞)．
(2)若 a＞0，则原不等式可化为 x－2
a (x－1)＜0，
对应方程的根为 x＝1 或 x＝2
a.
当2
a
＞1，即 0＜a＜2 时，不等式的解为 1＜x＜2
a
；
当 a＝2 时，不等式的解集为∅；
当2
a
＜1，即 a＞2 时，不等式的解为2
a
＜x＜1.
(3)若 a＜0，则原不等式可化为 x－2
a (x－1)＞0，
所以2
a
＜1，所以不等式的解为 x＞1 或 x＜2
a.
综上，当 a＝0 时，不等式的解集为(1，＋∞)．
当 0＜a＜2 时，不等式的解集为 1，2
a .
当 a＝2 时，不等式的解集为∅.
当 a＞2 时，不等式的解集为
2
a
，1 .
当 a＜0 时，不等式的解集为 －∞，2
a ∪(1，＋∞)．
14．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 12 万元/辆，年销
售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每
辆车投入成本增加的比例为 x(00，
00，
00，
y>0，
2x＋y<6
所表示的平面区域内的整点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选 C 由不等式 2x＋y<6 得 y<6－2x，且 x>0，y>0，则当 x＝1 时，00；②当 a＞0 时，a＋b 有最小值，无最大值；③a2＋b2＞1；④当 a＞0
且 a≠1 时，b＋1
a－1
的取值范围是 －∞，－9
4 ∪
3
4
，＋∞
.
正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B 因为点 M(a，b)与点 N(0，－1)在直线 3x－4y＋5
＝0 的两侧，所以 9(3a－4b＋5)＜0，即 3a－4b＋5＜0，故①错误；
作出可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当 a>0 时，由图知，a
＋b 无最小值，也无最大值，故②错误；3a－4b＋5<0 表示的区域
是直线 3x－4y＋5＝0 的左上方，a2＋b2 表示阴影部分的点 M(a，b)
和原点间的距离的平方，则 d＞ 5
32＋－42
＝1，故③正确；b＋1
a－1
表示阴影部分的点 M(a，b)
和 B(1，－1)连线的斜率，由图象得b＋1
a－1
＞k1＝3
4
或b＋1
a－1
＜kAB＝
5
4
＋1
0－1
＝－9
4
，故④正确，故选
B.
二、填空题
9．(2017·北京高考)若 x，y 满足
x≤3，
x＋y≥2，
y≤x，
则 x＋2y 的最大值为________．
解析：不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以
点 A(1,1)，B(3,3)，C(3，－1)为顶点的三角形及其内部．
设 z＝x＋2y，当直线 z＝x＋2y 经过点 B 时，z 取得最大值，
所以 zmax＝3＋2×3＝9.
答案：9
10．(2018·沈阳质监)已知不等式组
x＋y－2≥0，
x－2≤0，
ax－y＋2≥0
表示的
平面区域的面积等于 3，则 a 的值为________．
解析：依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表
示的平面区域为△ABC，所以 S＝1
2
×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即 C(2,3)，
又点 C 在直线 ax－y＋2＝0 上，得 a＝1
2.
答案：1
2
11．点 P(x，y)在不等式组
x≥0，
x＋y≤3，
y≥x＋1
表示的平面区域内，若点 P(x，y)到直线 y＝
kx－1(k>0)的最大距离为 2 2，则实数 k＝________.
解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如
图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线 y＝kx－1(k>0)的距离最大，所以|0×k－3－1|
k2＋1
＝
2 2，又 k>0，得 k＝1.
答案：1
12．设 x，y 满足约束条件
3x－y－6≤0，
x－y＋2≥0，
x≥0，y≥0，
若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最
大值为 10，则 a2＋b2 的最小值为________．
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
易知当直线 z＝ax＋by 过点 A(4,6)时，取得最大值 10，即 2a＋3b＝5，
而 a2＋b2 表示原点(0,0)与直线 2a＋3b＝5 上的点的距离的平方，显
然 a2＋b2 的最小值为原点到直线 2a＋3b＝5 的距离的平方，又原点
到直线 2a＋3b＝5 的距离 d＝ 5
13
，所以 a2＋b2 的最小值为25
13.
答案：25
13
三、解答题
13．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广
告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下
表所示：
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时
长(分钟)
收视人次
(万)
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时
间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 x，y
表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解：(1)由已知，x，y 满足的数学关系式为
70x＋60y≤600，
5x＋5y≥30，
x≤2y，
x≥0，
y≥0，
即
7x＋6y≤60，
x＋y≥6，
x－2y≤0，
x≥0，
y≥0，
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z＝60x＋25y.
考虑 z＝60x＋25y，将它变形为 y＝－12
5 x＋ z
25
，这是斜率为－12
5
，随 z 变化的一族平行
直线. z
25
为直线在 y 轴上的截距，当 z
25
取得最大值时，z 的值最大．
又因为 x，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线 z＝60x＋25y 经过可行域上的点 M
时，截距 z
25
最大，即 z 最大．
解方程组 7x＋6y＝60，
x－2y＝0，
得点 M 的坐标为(6,3)．
所以电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多．
14．投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏
损，一投资人打算投资甲、乙两项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 50%
和 40%，可能的最大亏损率分别为 30%和 20%.投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求
确保可能的资金亏损不超过 2.4 万元．设甲、乙两个项目投资额分别为 x，y 万元．
(1)写出 x，y 满足的约束条件；
(2)求可能盈利的最大值(单位：万元)．
解：(1)x，y 满足约束条件为
x＋y≤10，
0.3x＋0.2y≤2.4，
x≥0，
y≥0，
(2)设目标函数 z＝0.5x＋0.4y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平
移直线 l0 ：0.5x＋0.4y＝0，当经过点 M 时，z＝0.5x＋0.4y 取得最大值．解方程组
x＋y＝10，
0.3x＋0.2y＝2.4，
得 x＝4，y＝6.此时 zmax＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(万元)．
1．已知 x，y 满足约束条件
x－y－2≤0，
5x－3y－12≥0，
y≤3，
当目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)
在该约束条件下取得最小值 1 时，(a－1)2＋(b－1)2 的最小值为( )
A. 1
10 B. 10
10
C.3 10
10 D. 9
10
解析：选 D 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，
把 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)化为 y＝－a
bx＋z
b
，
由图可知，当直线 y＝－a
bx＋z
b
过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值 1，
联立 x－y－2＝0，
5x－3y－12＝0，
解得 A(3,1)，
所以 3a＋b＝1，
因为 a＞0，b＞0，所以 0＜a＜1
3.
则(a－1)2＋(b－1)2＝(a－1)2＋9a2＝10a2－2a＋1＝10 a－ 1
10 2＋ 9
10.
则当 a＝ 1
10
时，(a－1)2＋(b－1)2 取得最小值，最小值为 9
10.
2．在平面直角坐标系中，点 P 是由不等式组
x≥0，
y≥0，
x＋y－4≥0
所确定的平面区域内的动
点，M，N 是圆 x2＋y2＝1 的一条直径的两端点，则 PM―→·PN―→的最小值为( )
A．4 B．2 2－1
C．4 2 D．7
解析：选 D 因为 M，N 是圆 x2＋y2＝1 的一条直径的两端点，所
以可设 M(a，b)，N(－a，－b)，则 a2＋b2＝1.设 P(x，y)，则 PM―→
· PN―→＝
(a－x，b－y)·(－a－x，－b－y)＝x2－a2＋y2－b2＝x2＋y2－1，设 z＝x2
＋y2，则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图
中阴影部分所示．则原点到直线 x＋y－4＝0 的距离最小，此时 d＝|0＋0－4|
2
＝2 2，则 z＝
d2＝8，则 PM―→
·P PN―→＝x2＋y2－1＝8－1＝7.
高考研究课三 基本不等式
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
基本不等式求最值 未考查
基本不等式的实际应用 未考查
利用基本不等式求最值
利用基本均值不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，
或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，高考对其考查的频率较低，但也要引起
重视.,常见的命题角度有：
1通过配凑法求最值；
2通过常值代换法求最值；
3通过消元法求最值.
角度一：通过配凑法求最值
1．(2018·泉州检测)已知 00，y>0， 4x
x＋3y
＋3y
x
＝ 4x
x＋3y
＋x＋3y
x
－1≥2 4x
x＋3y·x＋3y
x
－
1＝4－1＝3(当且仅当 x＝3y 时等号成立)．
3．若 b>a>1，且 3logab＋6logba＝11，则 a3＋ 2
b－1
的最小值为________．
解析：因为 b>a>1，所以 logab>1.又 3logab＋6logba＝3logab＋ 6
logab
＝11，解得 logab＝3，
即 a3＝b，所以 a3＋ 2
b－1
＝b＋ 2
b－1
＝b－1＋ 2
b－1
＋1≥2 2＋1(当且仅当 b＝ 2＋1 时等号成
立)，即 a3＋ 2
b－1
的最小值为 2 2＋1.
答案：2 2＋1
[方法技巧]
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一
正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指
满足等号成立的条件．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常
数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．
角度二：通过常值代换法求最值
4．(2017·日照二模)已知第一象限的点(a，b)在直线 2x＋3y－1＝0 上，则代数式2
a
＋3
b
的
最小值为( )
A．24 B．25
C．26 D．27
解析：选 B 因为第一象限的点(a，b)在直线 2x＋3y－1＝0 上，所以 2a＋3b－1＝0，
a>0，b>0，即 2a＋3b＝1，所以2
a
＋3
b
＝
2
a
＋3
b (2a＋3b)＝4＋9＋6b
a
＋6a
b
≥13＋2 6b
a ·6a
b
＝
25，当且仅当6b
a
＝6a
b
，即 a＝b＝1
5
时取等号，所以2
a
＋3
b
的最小值为 25.
5．已知正数 x，y 满足 x＋y＝1，则 4
x＋2
＋ 1
y＋1
的最小值为________．
解析：正数 x，y 满足 x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则 4
x＋2
＋ 1
y＋1
＝1
4
[x＋2＋y＋1]
4
x＋2
＋ 1
y＋1
＝1
4
5＋x＋2
y＋1
＋4y＋1
x＋2 ≥1
4
5＋2 x＋2
y＋1
·4y＋1
x＋2 ＝1
4
×(5＋4)＝9
4
，
当且仅当 x＝2y＝2
3
时， 取得最小值为9
4.
答案：9
4
6．已知 x>0，y>0，且 x＋16y＝xy，则 x＋y 的最小值为________．
解析：已知 x>0，y>0，且 x＋16y＝xy.
即16
x
＋1
y
＝1.
则 x＋y＝(x＋y)
16
x
＋1
y ＝16＋1＋16y
x
＋x
y
≥17＋2 16y
x ·x
y
＝25，当且仅当 x＝4y＝20
时等号成立，
所以 x＋y 的最小值为 25.
答案：25
[方法技巧]
将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．
角度三：通过消元法求最值
7．(2018·山西大学附中检测)已知函数 f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则a2＋b2
a－b
的最小
值为________．
解析：由函数 f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知 a>1>b>0，所以 lg a＝－lg b，b＝1
a
，
a－b＝a－1
a>0，则a2＋b2
a－b
＝a2＋
1
a 2
a－1
a
＝a－1
a
＋ 2
a－1
a
≥2 2(当且仅当 a－1
a
＝ 2
a－1
a
，即 a＝ 2＋ 6
2
时，等号成立)．
答案：2 2
[方法技巧]
利用给定条件变形，消去其中一元，变为一元变量函数，再配凑后使用基本不等式求
最值．
基本不等式的实际应用
[典例] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由形状
为长方形 A1B1C1D1 的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区 A1B1C1D1 的面积
为 4 000 m2，人行道的宽分别为 4 m 和 10 m(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1|
|B1C1|
＝x(x>1)，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)
的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计？
[解] (1)设休闲区的宽为 a m，则长为 ax m，
由 a2x＝4 000，得 a＝20 10
x .
则 S(x)＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·20 10
x
＋160
＝80 10 2 x＋ 5
x ＋4 160(x>1)．
(2)由(1)知，
S(x)＝80 10 2 x＋ 5
x ＋4 160≥80 10×2 2 x× 5
x
＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.
当且仅当 2 x＝ 5
x
，即 x＝2.5 时，等号成立，
此时 a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1 应设计为长 100 m，宽 40 m.
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，
转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基
本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
[即时演练]
1.如图，某城镇为适应旅游产业的需要，欲在一扇形 OAB(其中∠AOB
＝45°，扇形半径为 1)的草地上修建一个三角形人造湖 OMN(其中点 M 在
OA 上，点 N 在 AB 或 OB 上，∠OMN＝90°)，且沿湖边 OMN 修建休闲走
廊，现甲部门需要人造湖的面积最大，乙部门需要人造湖的走廊最长，请你设计出一个方
案，则该方案( )
A．只能满足甲部门，不能满足乙部门
B．只能满足乙部门，不能满足甲部门
C．可以同时满足两个部门
D．两个部门都不能满足
解析：选 C 当点 N 在 AB 上时，设 OM＝x，MN＝y，则 x2＋y2＝1，所以人造湖的
面 积 S ＝1
2 xy≤1
2 ·x2＋y2
2
＝ 1
4
，走 廊长 l ＝ 1＋ x＋ y ＝ 1＋ x＋y2 ＝ 1 ＋ 1＋2xy ≤1 ＋
1＋x2＋y2＝1＋ 2，上述两个不等式等号成立的条件均为 x＝y＝ 2
2
，即点 N 在点 B 处；
当点 N 在线段 OB 上时，人造湖的面积、休闲走廊长度的最大值显然也在点 B 处取得．
2．运货卡车以每小时 xkm 的速度匀速行驶 130 km，按交通法规限制 50≤x≤100(单位：
km/h)．假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 2＋ x2
360 升，司机的工资是每小时
14 元．
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解：(1)设所用时间为 t，则 t＝130
x (h)，
y＝130
x
×2× 2＋ x2
360 ＋14×130
x
，x∈[50,100]．
所以这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是
y＝130×18
x
＋2×130
360
x，x∈[50,100]．
(2)y＝130×18
x
＋2×130
360
x≥26 10，
当且仅当130×18
x
＝2×130
360
x，即 x＝18 10时等号成立．
故当 x＝18 10 km/h，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元．
一、选择题
1．“a>0，b>0”是“ab<
a＋b
2 2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 D 因为当 a>0，b>0 时，
a＋b
2 2≥ab，所以当 a＝b 时，“ab<
a＋b
2 2”不成
立，
当“ab<
a＋b
2 2”时，a，b 可以异号，所以“a>0，b>0”不一定成立，
故“a>0，b>0”是“ab<
a＋b
2 2”的既不充分也不必要条件．
2．已知向量 a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且 a∥b，若 x，y 均为正数，则3
x
＋2
y
的最小值是( )
A．24 B．8
C.8
3 D.5
3
解析：选 B ∵a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且 a∥b，
∴3(1－y)＝2x，即 2x＋3y＝3.
∴2
3x＋y＝1，
∴3
x
＋2
y
＝
3
x
＋2
y
2
3
x＋y ＝2＋2＋3y
x
＋4x
3y
≥4＋2 3y
x ·4x
3y
＝8，当且仅当 x＝3
4
，y＝1
2
时取
等号，
故3
x
＋2
y
的最小值是 8.
3．若直线 ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长为 4，则1
a
＋
1
b
的最小值为( )
A.3
2
＋ 2 B. 2
C.1
4 D.3
2
＋2 2
解析：选 A 因为直线 ax－by＋2＝0 被圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长为 4，圆
的圆心为(－1,2)，半径为 2，所以直线 ax－by＋2＝0 过圆心(－1,2)，则有 a＋2b＝2，所以1
a
＋1
b
＝1
2(a＋2b)
1
a
＋1
b ＝1
2
3＋2b
a
＋a
b ≥3
2
＋ 2，当且仅当2b
a
＝a
b
时，等号成立．故1
a
＋1
b
的最小
值为3
2
＋ 2.
4．(2018·开封摸底考试)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( )
A．3 B．4
C.9
2 D.11
2
解析：选 B 由题意得 x＋2y＝8－x·2y≥8－
x＋2y
2 2，当且仅当 x＝2y 时，等号成立，
整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又 x＋2y>0，所以 x＋2y≥4，
所以 x＋2y 的最小值为 4.
5．设 x>0，y>0 且 x＋4y＝40，则 lg x＋lg y 的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D．2
解析：选 D ∵x>0，y>0 且 x＋4y＝40，∴40≥2 x·4y，即 xy≤100，当且仅当 x＝4y
＝20 时取等号．
则 lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2，因此其最大值是 2.
6．不等式 x2＋2x1，b>2，则 2
a－1
＋
1
b－2
≥2 2
a－1
· 1
b－2
＝2 2
ab－2a－b＋2
＝2，当且仅当 2
a－1
＝ 1
b－2
，即 a＝b＝3 时，等
号成立，故 2
a－1
＋ 1
b－2
的最小值为 2.
8．(2018·洛阳统考)若正实数 x，y，z 满足 x2＋4y2＝z＋3xy，则当xy
z
取最大值时，1
x
＋ 1
2y
－1
z
的最大值为( )
A．2 B.3
2
C．1 D.1
2
解析：选 D ∵z＝x2 ＋4y2 －3xy，x，y，z∈(0，＋∞)，∴xy
z
＝ xy
x2＋4y2－3xy
＝
1
x
y
＋4y
x
－3
≤1(当且仅当 x＝2y 时等号成立)，此时1
x
＋ 1
2y
－1
z
＝1
y
－ 1
2y2
，令1
y
＝t>0，则1
x
＋ 1
2y
－1
z
＝t－1
2t2＝－1
2(t－1)2＋1
2
≤1
2(当且仅当 t＝1 时等号成立)．
二、填空题
9．已知 a>0，b>0，圆 C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5 关于直线 ax－by－1＝0 对称，则3
b
＋2
a
的
最小值为________．
解析：由 a>0，b>0，圆 C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5 关于直线 ax－by－1＝0 对称，可得 2a
＋b－1＝0，
所以3
b
＋2
a
＝
3
b
＋2
a (2a＋b)＝6a
b
＋2b
a
＋7≥2 6a
b ·2b
a
＋7＝4 3＋7，
当且仅当6a
b
＝2b
a
且 2a＋b－1＝0，即 a＝2－ 3，b＝2 3－3 时取等号．
故3
b
＋2
a
的最小值为 7＋4 3.
答案：7＋4 3
10．(2018·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2 017＝4 034，
则 1
a9
＋ 9
a2 009
的最小值为________．
解析：由等差数列的前 n 项和公式，得 S2 017＝2 017a1＋a2 017
2
＝4 034，则 a1＋a2 017＝4.
由等差数列的性质得 a9＋a2 009＝4，所以 1
a9
＋ 9
a2 009
＝1
4
4
a9
＋9×4
a2 009 ＝1
4
a9＋a2 009
a9
＋9a9＋a2 009
a2 009
＝1
4
a2 009
a9
＋ 9a9
a2 009 ＋10≥1
4
2 a2 009
a9
× 9a9
a2 009
＋10 ＝4，当且仅当 a2 009＝3a9 时等号成立．故 1
a9
＋ 9
a2 009
的最小值为 4.
答案：4
11.如图，动点 A 在函数 y＝1
x(x<0)的图象上，动点 B 在函数 y＝
2
x(x>0)的图象上，过点 A，B 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为
A1，A2，B1，B2，若|A1B1|＝4，则|A2B2|的最小值为________．
解析：设 A a，1
a ，B b，2
b ，a<0，b>0，因为|A1B1|＝4，所以 b
－a＝4，
故|A2B2|＝2
b
－1
a
＝1
4
[b＋－a]·
2
b
＋ 1
－a ＝1
4
3＋－2a
b
＋ b
－a ≥1
4(3＋2 2)，当且仅当 b2＝
2a2，即 a＝4－4 2，b＝8－4 2时，|A2B2|取得最小值3＋2 2
4 .
答案：3＋2 2
4
12．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/
次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是
________．
解析：由题意，一年购买600
x
次，则总运费与总存储费用之和为600
x
×6＋4x＝
4
900
x
＋x ≥8 900
x ·x＝240，当且仅当 x＝30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小
时 x 的值是 30.
答案：30
三、解答题
13．已知 x>0，y>0，且 x＋8y－xy＝0.
(1)当 x，y 分别为何值时，xy 取得最小值？
(2)当 x，y 分别为何值时，x＋y 取得最小值？
解：(1)∵x>0，y>0，且 x＋8y－xy＝0，
∴xy＝x＋8y≥4 2xy，当且仅当 x＝8y，即 x＝16，y＝2 时取等号，
∴xy≥32.
∴xy 的最小值为 32.
(2)∵x＋8y－xy＝0，∴8
x
＋1
y
＝1，
∴x＋y＝(x＋y)
8
x
＋1
y ＝9＋x
y
＋8y
x
≥9＋4 2，当且仅当x
y
＝8y
x
，即 y＝1＋2 2，x＝8＋
2 2时取等号．
因此 x＋y 的最小值为 9＋4 2.
14．某工地决定建造一批房型为长方体、房高为 2.5 m 的简易房，房的前后墙用 2.5 m
高的彩色钢板，两侧墙用 2.5 m 高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板
的高均为 2.5m．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)．已知彩色钢板每米单价为
450 元．复合钢板每米单价为 200 元，房的地面不需另买材料，房顶用其他材料建造，每平
方米材料费 200 元，每套房的材料费控制在 32 000 元以内．
(1)设房前面墙的长为 x(m)，两侧墙的长为 y(m)，建造一套房所需材料费为 P(元)，试
用 x，y 表示 P；
(2)试求一套简易房面积 S 的最大值是多少？当 S 最大时，前面墙的长度应设计为多少
米？
解：(1)依题得，P＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy，
即 P＝900x＋400y＋200xy.
(2)∵S＝xy，∴P＝900x＋400y＋200xy≥2 900×400S＋200S＝200S＋1 200 S，
又因为 P≤32 000，所以 200S＋1 200 S≤32 000，
解得 0< S≤10，
∴0y>z，且 1
x－y
＋ 1
y－z
≥ n
x－z(n∈N)恒成立，则 n 的最大值为________．
解析：因为 x>y>z，所以 x－y>0，y－z>0，x－z>0，不等式 1
x－y
＋ 1
y－z
≥ n
x－z
恒成立等
价于 n≤(x－z) 1
x－y
＋ 1
y－z
恒成立．因为 x－z＝(x－y)＋(y－z)≥2 x－yy－z， 1
x－y
＋
1
y－z
≥2 1
x－y
× 1
y－z
，所以(x－z) 1
x－y
＋ 1
y－z
≥2 x－yy－z·2 1
x－y
× 1
y－z
＝4(当且仅
当 x－y＝y－z 时等号成立)，则要使 n≤(x－z)· 1
x－y
＋ 1
y－z
恒成立，只需使 n≤4(n∈N)，故
n 的最大值为 4.
答案：4
