新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：4-2-4 积化和差与和差化积公式 课件（97张）

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2.4　积化和差与和差化积公式 必备知识·自主学习 导 思 1.积化和差公式与两角和差公 式有怎样的关系? 2.和差化积公式与积化和差公 式有怎样的关系? 积化和差、和差化积公式 (1)积化和差公式 sin αcos β= [sin(α+β)+sin(α-β)], cos αsin β= [sin(α+β)-sin(α-β)], cos αcos β= [cos(α+β)+cos(α-β)], sin αsin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)]. 1 2 1 2 1 2 1 2 (2)和差化积公式 sin x+sin y=2sin cos , sin x-sin y=2cos sin , cos x+cos y=2cos cos , cos x-cos y=-2sin sin . x y 2  x y 2  x y 2  x y 2  x y 2  x y 2  x y 2  x y 2  【思考】 　(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的? 提示:两角和与差的正弦、余弦公式. 　(2)和差化积公式是如何推导出来的? 提示:如果令x=α+β,y=α-β ,则α= ,β= ,从而可以由积化和差 公式得到和差化积公式. x y 2  x y 2  【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)sin xsin y= [cos(x-y)-cos(x+y)].(　　) (2)cos α+cos β=2cos cos .(　　) (3)已知α-β= ,cos α+cos β= , 则cos = .(　　) 1 2 2   2   2   3  1 5 3 15 提示:(1)√.积化和差公式. (2)√.和差化积公式. (3)√.因为α-β= ,cos α+cos β=2cos cos =2cos cos = , 所以cos = . 2   3  1 5 3 15 2   2   6  2   2.若cos xcos y+sin xsin y= ,sin 2x+sin 2y= ,则sin(x+y)=(　　)　　 A. B. C. D. 1 2 2 3 1 2 1 3 3 2 2 3 【解析】选D.因为cos xcos y+sin xsin y= , 所以cos(x-y)= , 因为sin 2x+sin 2y= , 所以2sin(x+y)cos(x-y)= , 所以2sin(x+y)· = , 所以sin(x+y)= . 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 2 3 2 3 3.(教材二次开发:例题改编) =________.  【解析】原式= 答案: sin 35 sin 25 cos 35 cos 25     35 25 35 252sin cos 32 2 tan 30 .35 25 35 25 32cos cos2 2           3 3 关键能力·合作学习 类型一　利用积化和差、和差化积公式化简、求值、证明(数学运算、逻辑推 理) 　角度1　利用积化和差、和差化积公式化简求值  【典例】求下列各式的值: (1)sin +sin ; (2)cos -cos ; (3)cos273°+cos247°+cos 73°cos 47°; (4)2cos cos +cos +cos . ( )3    ( )3    ( )4    ( )4    9 13  13  5 13  3 13  【思路导引】 (1)利用和差化积公式,进行化简所求表达式. (2)利用和差化积公式,进行化简所求表达式. (3)利用配方法,结合积化和差公式,化简求得表达式的值. (4)利用积化和差公式、诱导公式,化简求得表达式的值. 【解析】(1)sin +sin =2sin cos α= cos α. (2)cos -cos =-2sin sin φ=- sin φ. (3)cos273°+cos247°+cos 73°cos 47° = -cos 73°cos 47° =4cos2 60°·cos213°- =cos213°+ -cos213°+ = . ( )3    ( )3    ( )4    ( )4    3  3 4  2 2(cos 73 cos 47 )  1 (cos 120 cos 26 )2   1 4 1 2 3 4   9 5 34 2cos cos cos cos13 13 13 13 9 9 5 3cos( ) cos( ) cos cos13 13 13 13 13 13 10 8 5 3cos cos cos cos13 13 13 13 10 8 8 10cos cos cos( ) cos( )13 13 13 13 10 8 8 10cos cos cos cos 0.13 13 13 13                                           【变式探究】 　本题考查三角函数式的化简求值问题,同时考查数学运算与逻辑推理的核心 素养. 若把本例(3)改为 试求其值. 【解析】 1 cos 80 sin 40 sin 80   ， 1 cos 80 2cos 40 cos 80 sin 40 sin 80 2sin 40 cos 40 sin 80 cos 40 (cos 40 cos 80 ) cos 40 2cos 60 cos 20 sin 80 sin 80 cos 40 cos 20 2cos 30 cos 10 2cos 30 3.cos 10 cos 10                           　角度2　利用积化和差、和差化积公式证明恒等式  【典例】证明:(1) (2) 【思路导引】(1)利用和差化积公式证明左边式子等于右边式子即可; (2)利用和差角公式展开,之后再利用和差化积公式化简整理得到结果. sin A 2sin 3A sin 5A sin 3A sin 3A 2sin 5A sin 7A sin 5A     ； cos A cos(120 B) cos(120 B) A Btan .sin B sin(120 A) sin(120 A) 2         【证明】 (1)         sin A sin 5A 2sin 3A sin 3A sin 7A 2sin 5A 2sin 3Acos 2A 2sin 3A 2sin 5Acos 2A 2sin 5A 2sin 3A cos 2A 1 2sin 5A cos 2A 1 sin 3A .sin 5A           左边 右边 (2) cos A 2cos 120 cos B sin B 2cos 120 sin A A B B A2sin sincos A cos B 2 2 A B B Asin B sin A 2cos sin2 2 A Btan .2             左边 右边 【解题策略】　(1)套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式,为了能够把三 角函数式化为积的形式,有时需要把常数首先化为某个角的三角函数,然后再化 积,有时函数不同名,要先化为同名再化积,化积的结果能求值则尽量求出值来. (2)在运用积化和差求值时,尽量出现特殊角,同时注意互余角、互补角的三角 函数间的关系. 总之,在进行化简求值时要看角的形式,通过看角之间的差别与联系,把角进行 合理的拆分,通过“凑角法”对“已知角”与“未知角”建立联系,合理选择和、 差角,辅助角,积化和差与和差化积公式等方法进行. 【题组训练】 1.已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)·sin(α-β)等于(　　)　　　 A.- B. C.-a D.aa 2 a 2 【解析】选C.sin(α+β)sin(α-β) =(sin αcos β+cos αsin β)(sin αcos β-cos αsin β) =sin2αcos2β-cos2αsin2β =(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β) =cos2β-cos2α=-a. 2.证明: 【证明】方法一: 3x x 2sin xtan tan .2 2 cos x cos 2x    3x xsin sin3x x 2 2tan tan 3x x2 2 cos cos2 2 3x x 3x xsin cos cos sin2 2 2 2 3x xcos cos2 2 3x xsin( ) sinx 2sin x2 2 .3x x 3x x cos x cos 2xcos cos cos cos2 2 2 2             方法二: 3x xsin( )2sin x sin x 2 2 3x x 3x xcos x cos 2x cos cos cos cos2 2 2 2 3x x 3x xsin cos cos sin2 2 2 2 3x xcos cos2 2 3x xsin sin 3x x2 2 tan tan .3x x 2 2cos cos2 2            【补偿训练】 　　证明下列恒等式.           cos cos1 tan .sin sin 2 1sin[ x y ]sin x sin y 22 .1sin x y sin[ x y ]2            【证明】   2sin sincos cos 2 21 sin sin 2sin cos2 2 sin sin2 2 tan .2cos cos2 2                                      x y x y2cos sinsin x sin y 2 22 x y x ysin x y 2sin cos2 2 1sin[ x y ]2 .1sin[ x y ]2            类型二　利用积化和差、和差化积公式解决三角函数问题(逻辑推理) 【典例】已知函数f(x)= 与g(x)=cos2x+a(1+cos x)-cos x-3的图象 在(0,π)内至少有一个公共点,求a的取值范围. 四 步 内容 理 解 题 意 条件:①已知f(x)= ; ②已知g(x)=cos2x+a(1+cos x)-cos x-3; ③f(x)与g(x)的图象在(0,π)内至少有一个公共点. 结论:求满足条件的a的取值范围. 5sin x 12 x 22sin 2  5sin x 12 x 22sin 2  四 步 内容 思 路 探 求 由和差化积公式将sin -sin 化简为 2cos sin x,再利用和差角公式将sin x换成 sin 展开化简,再利用积化和差化简,最后,参变 量分 离出a后利用基本不等式求解. 5x 2 x 2 3x 2 x x( )2 2  四 步 内容 书 写 表 达 因为函数f(x)= 与g(x)=cos2x+a(1+cos x)-cos x-3的图 象在 (0,π)内至少有一个公共点, 所以 =cos2x+a(1+cos x)-cos x-3在(0,π)内至少有一 个解, 即sin x-sin = 所以 5sin x 12 x 22sin 2  5sin x 12 x 22sin 2  5 2 x 2 2x2sin [cos x a(1 cos x) cos x 3]2     ， 23 x2cos xsin x 2sin [cos x a(1 cos x) cos x 3]2 2      ， 四 步 内容 书 写 表 达 2cos xcos =cos2x+a(1+cos x)-cos x-3, cos 2x+cos x=cos2x+a(1+cos x)-cos x-3, 所以a=(1+cos x)+ , 令1+cos x=t,t∈(0,2), 所以a≥2,当且仅当x= 时等号成立,所以a的取值范围是[2,+∞). 注意书写的规范性:注意换元后的新元的取值范围,这也是本题的易 错 之处. 3 2 x 2 1 1 cosx 2  【解题策略】 (1)利用积化和差、和差化积公式,一定要清楚这些公式的形式特征,理解公式 间的关系. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到的类型: ①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c或 y=Acos(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值); ②形如y=asin2x+bsin x+c或y=acos2x+bcos x+c的三角函数,可先设sin x=t或 cos x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值). 【题组训练】 　求函数 的最值.  2f x cos(x ) cos(x ),x [ , ]3 6 2 2          【解析】   5 6 2cos cos( ) cos cos sin sin .12 4 6 4 6 4 6 4 5 6 2f x 2cos(x ) cos cos(x ).4 12 2 4                   所以 2cos(x ) cos(x )3 6 2 2(x ) (x ) (x ) (x )3 6 3 62cos[ ]cos[2 2               ]， 因为x∈ 所以 所以 所以f(x)的最大值为 ,最小值为 [ , ],2 2   3x [ , ].4 4 4      2cos(x ) [ ,1],4 2    6 2 2  6 2 2 1 3( ) .2 2 2    【拓展延伸】 　　积化和差与和差化积公式在三角形中的应用 涉及三角形的有关问题时,在化简过程中要注意隐含条件A+B=π-C及 的利用,要注意运用三角恒等变换(切化弦、常值代换、引入 辅助角、和差化积与积化和差、角的代换)来解决问题. A B C 2 2 2    【典例】若△ABC的三个内角A,B,C满足cos 2A-cos 2B=2sin2C,试判断△ABC的 形状. 【思路导引】利用和差化积公式得到sin(A-B)+sin(A+B)=0,化简得到2sin A cos B=0,进而求得答案. 【解析】cos 2A-cos 2B =-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin2C, 所以sin(A-B)+sin(A+B)=0, sin(A-B)+sin(A+B)=2sin Acos B=0, 所以cos B=0,所以B= ,故△ABC为直角三角形. 2  【解题策略】 判定三角形形状的基本思路 对已知三角恒等式进行化简变形,可以把三角函数关系式最终化成角之间的关 系,利用角之间的关系判定形状,在变形时注意合理利用内角和公式及其变形. 【拓展训练】 　　　已知A+B+C=π,求证:sin A+sin B+ sin C=4cos cos cos .A 2 B 2 C 2 【证明】因为A+B+C=π, 所以C=π-（A+B）, = , 所以 C 3 A B 2 2   A B A B A B2sin (cos cos )2 2 2 A B A B2sin 2cos cos2 2 2 C A B A B C2sin( ) 2cos cos 4cos cos cos .2 2 2 2 2 2 2           A B A Bsin A sin B sin C 2sin cos sin(A B)2 2 A B A B A B A B2sin cos 2sin cos2 2 2 2            类型三　积化和差与和差化积公式在最值方面的应用(逻辑推理) 【典例】1.(2020·洛阳高一检测)函数f(x)= 则f(x)的最小正周期和最大值分别为(　 　) A.π, 　　 B.π, 　　 C.2π, 　　 D.2π, 2.在△ABC中,若B=30°,求cos Asin C的取值范围. 3(1 cos 2x) 3cos( x)cos( x) ,3 6 2 2       1 4 1 2 1 3 2  3 2 【思路导引】1.利用积化和差公式化简并整理成正弦型函数再求解; 2.利用积化和差公式将两个角的两种名称改为两个角的一种名称,然后分析求 解. 【解析】1.选B.f(x) 所以最小正周期为π,最大值为 . cos( x x) cos( x x)3 6 6 3 2 3(1 cos 2x) 3 1 3cos(2x ) cos 2x2 2 2 6 2 1 3 1sin 2x cos 2x sin(2x )4 4 2 3                      ， 1 2 2.由题意得 因为B=30°,所以-150°C- , 故2A+C≠C- . 所以2A+C+C- =π⇒A+C= . 3 2 3 2 1 2 3 2 (C )3  3  3  3  2 3  (2) =2sin A+2sin C=2sin A+2sin =2sin A+2× cos A-2× sin A =3sin A+ cos A =2 sin , 因为A∈ ,故当A+ = 时,2 sin 有最大值2 , 所以m≥2 ,即实数m的最小值为2 . 1 2 BD BDm r r   2( A)3   3 2 1( )2  3 3 (A )6  (0, )2  6  2  3 (A )6  3 3 3 备选类型　三角恒等式的一个推广(逻辑推理、数学运算) 【典例】求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值. 【思路导引】本题中涉及到的角是非特殊的角,通常利用积化和差与和差化积 公式进行计算化简. 【解析】令a=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°, b=cos220°+sin250°+cos20°sin 50°, 于是a+b=2+sin 70°,a-b=-cos 40°+cos 100°+sin(-30°) =-2sin 70°·sin 30°- =-sin 70°- ,两式相加可得a= , 故sin2 20°+cos2 50°+sin 20°cos 50°= . 1 2 1 2 3 4 3 4 【解题策略】 　三角恒等式的一个推广 若x+y=k·360°+60°(k∈Z), 则sin2x+sin2y+sin xsin y为定值 ; 若x+y=k·360°+120°(k∈Z), 则sin2x+sin2y-sin xsin y为定值 . 3 4 3 4 【跟踪训练】 　cos 2α-cos αcos(60°+α)+sin 2(30°-α)的值为(　　)　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 1 2 3 2 3 4 1 4 【解析】选C.原式=cos α·cos α-cos αcos(60°+α)+ sin(30°-α)·sin(30°-α) =1+ cos 2α- cos (60°+2α)- - cos (60°-2α) = - [cos (60°+2α)+cos (60°-2α)]+ cos 2α = - ×2cos 60°cos 2α+ cos 2α= . 1 2 1 2 1 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1.sin 37.5°cos 7.5°=(　　)　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 【解析】选C.原式= [sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)] = (sin 45°+sin 30°)= 课堂检测·素养达标 2 2 2 4 2 1 4  2 2 4  1 2 1 2 1 2 1 2 1.2 2 2 4  ＋（ ＋ ）＝ 2.函数f(x)=2sin ·sin 的最大值是(　　) A. B. C.- D.- 【解析】选A. 即f(x)的最大值为 . x 2 x( )3 2   1 2 3 2 1 2 2 3   x xf x 2sin sin( )2 3 2   1 x x x x2 ( )[cos( ) cos( )] cos cos(x )2 2 3 2 2 3 2 3 3 1 1 1cos(x ) 12 3 2 2                        ， 1 2 3.(教材二次开发:练习改编)(2020·吴忠高一检测)已知α,β均为锐角,且sin 2α=2sin 2β,则(　　) A.tan(α+β)=3tan(α-β) B.tan(α+β)=2tan(α-β) C.3tan(α+β)=tan(α-β) D.3tan(α+β)=2tan(α-β) 【解析】选A.因为sin 2α=2sin 2β, 所以 即tan(α+β)=3tan(α-β). tan( ) sin( )cos( ) tan( ) cos( )sin( )            1 (sin 2 sin 2 ) 3sin 22 31 sin 2(sin 2 sin 2 )2         ， 4.sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°=________. 【解析】sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50° 答案: 1 1[sin(20 70 ) sin(20 70 )] [cos 10 50 cos 10 502 2 1 1(sin 90 sin 50 ) (cos 40 cos 60 )2 2 1 1 1 1 1 1 1sin50 cos 40 sin 50 sin 50 .4 4 2 4 2 2 4                            （ ） （ ）] 1 4 5.如果A+B+C=π,求证:cos A+cos B+cos C=1+4 【证明】因为A+B+C=π, 所以C= 所以 A B Csin sin sin .2 2 2 C A B(A B) 2 2 2      ， ， 2 A B A B cos A cos B cos C 2cos cos cos(A B)2 2 A B A B A B A B A B A B2cos cos (2cos 1) 2cos (cos cos ) 12 2 2 2 2 2 A B A B A B C2cos [ 2sin sin( )] 1 1 4sin sin sin .2 2 2 2 2 2                          课时素养评价 三十二　积化和差与和差化积公式 【基础通关—水平一】(15分钟　30分) 1.求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80 °=(　　) A. 　　 B. C. 　 D.11 2 2 2 3 2 【解析】选C.sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80° =2sin 30°cos(-10°)+sin 60°-sin 80° =2× ×sin 80°+ -sin 80°= .1 2 3 2 3 2 【补偿训练】 cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°的值为________. 【解析】原式=cos 40°+cos 80°+cos 60°-cos 20° =2cos cos +cos60°-cos20° =2cos60°·cos +cos60°-cos20°=cos60°= . 答案: 40 80 2    40 80 2    ( 20 )  1 2 1 2 2.在△ABC中sin C= ,则此三角形的形状是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 sin A sin B cos A cos B   【解析】选C.因为C=π-(A+B), 所以sin C=sin(A+B)= , 所以 所以2cos2 =1,即cos(A+B)=0, 所以A+B= ,所以C= . 故此三角形为直角三角形. sin A sin B cos A cos B   A B A B2sin cosA B A B 2 22sin cos A B A B2 2 2cos cos2 2        ， A B 2  2  2  3.函数y=sin cos x的最大值为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.1 D. (x )6  1 2 1 4 2 2 【解析】选B.因为 max y sin(x )cos x6 1[sin(x x) sin(x x)]2 6 6 1 1 1 1 1 1 1[sin(2x ) ] sin(2x ) y .2 6 2 2 6 4 2 4 4                   ，所以 4.函数y=cos x+cos 的最大值是________. 【解析】 所以ymax= . 答案:   (x )3  y 2cos(x )cos 3cos(x )6 6 6       ， 3 3 5.已知sin α+sin β= ,cos α+cos β= ,求tan 的值. 【解析】由sin α+sin β= ,cos α+cos β= 得, 两式相除得 1 3 1 4 ( )  1 3 1 412sin cos2 2 4 12cos cos2 2 3           ， ， 2 2 3tan 2 4 32tan 2 242 4tan( ) .3 71 tan 1 ( )2 4              ， 则 【能力进阶——水平二】 (30分钟　60分) 一、单选题(每小题5分,共20分) 1.若sin α+sin β= (cos β-cos α)且α∈(0,π),β∈(0,π),则 α-β等于 (　　) A.- π　　　B.- 　　　C. 　　　D. π 3 3 2 3 3  3  2 3 【解析】选D. 因为α,β∈(0,π), 所以sin α+sin β>0. 所以cos β-cos α>0,cos β>cos α, 又在(0,π)上,y=cos x是减函数. 所以β<α,所以0<α-β<π,由原式可知2sin ·2   3cos ( 2sin sin )2 3 2 2 tan 32 2 3 2 .3               ＝ ， 所以 ＝ ，所以 ＝ ， 所以 ＝ 2.在△ABC中,若B=45°,则cos Asin C的取值范围是 (　　) 2 2 2 2A.[ 1,1] B.[ , ]4 4 2 2 2 2 2C.[ 1, ] D.[ , ]4 4 4     【解析】选B.在△ABC中B=45°, 所以 因为-1≤ ≤1, 所以 ≤cos Asin C≤ . 1cos Asin C [sin(A C) sin(A C)]2 1 2 1[sin B sin(A C)] sin(A C)2 4 2           ， sin(A C) 2 2 4  2+2 4 3.函数f(x)= 是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的非奇非偶函数 D.最小正周期为π的非奇非偶函数 5sin(x )cos(x )12 12  ＋ 【解析】选D. 所以T= =π,f(x)为非奇非偶函数. 1f (x) [sin(2x ) sin2 3 2 1 1 1[sin(2x ) 1] sin(2x )2 3 2 3 2     ＝ ＋ ＋ ] ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ， 2 2  【补偿训练】 已知函数f(x)=g(x)cos ,若函数f(x)是周期为π的偶函数,则g(x)可以 是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.cos x B.sin x C.cos D.sin (x )4  (x )4  (x )4  【解析】选D.当g(x)=cos x时,f(x)= 此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π; 当g(x)=sin x时,f(x)= 此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π; 此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π; 此时f(x)是偶函数,周期为π. 1 2cos xcos(x ) cos(2x )4 2 4 4      ， 1 2sin xcos(x ) sin(2x )4 2 4 4      ， 1 1g(x) cos(x ) f (x) cos(x )cos(x ) sin 2x ,4 4 4 2 2          当 时， 1 1g(x) sin(x ) f (x) sin(x )cos(x ) sin(2x ) cos 2x4 4 4 2 2 2           当 时， ， 4.(2020·长沙高二检测)在△ABC中, sin A+sin Bsin C的最大值为 (　　) A. + B.2 C. D. 2 2 1 2 3 5 【解析】选B. sin A+sin Bsin C= sin A+ 当且仅当sin B=sin C= ,sin A= 时,等号成立,因此 sin A+ sin Bsin C的最大值为2. 22 cos(B C) cos(B C) 1 cos A2sin A2 2 1 1 1 12sin A cos A 2 22 2 4 2             ， 6 3 2 2 3 2 【误区警示】注意三角形中三角之间的关系,要充分利用这一关系实现多变角 转化为一变角形式. 二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错 的得0分) 5.设函数f(x)=sin +cos ,则 (　　) A.y=f(x)的最小值为- ,其周期为π B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为 C.y=f(x)在 单调递增,其图象关于直线x= 对称 D.y=f(x)在 单调递减,其图象关于直线x= 对称 (2x )4  (2x )4  2 2  (0 )2 ， 4  (0 )2 ， 2  【解析】选AD. 所以y=f(x)在 内单调递减,周期为π, 又f = cos π=- 是最小值, 所以函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称. f (x) 2sin(2x ) 2sin(2x ) 2cos 2x4 4 2   ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ， (0 )2 ， ( )2  22 2  6.满足sin 3x=cos x的x的值是 (　　) A. B. C. D. 8  4  3  2  【解析】选AB.由题意可得sin 3x-sin =0,由和差化积公式可得 则方程的根满足: 整理可得 即方程的根为 【光速解题】将选项A,B,C,D依次代入条件等式中进行检验即可. ( x)2   3x ( x) 3x ( x)2 22cos sin 02 2       ， 3x ( x) 3x ( x)2 2k k2 2 2          或 ， kx x k2 8 4       或 ， k{x | x x k k Z}.2 8 4        或 ， 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.已知A+B= ,那么1+ (cos 2A+cos 2B)的最大值是________,最小值是 ________. 【解题指南】利用和差化积公式进行化简的方法首先化简所求式子,然后根据 已知角及角对应三角函数值的范围求解. 2 3  1 2 【解析】因为A+B= ,所以1+ (cos 2A+cos 2B) =1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos cos(A-B) =1- cos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时, 原式取得最大值 ; 当cos(A-B)=1时,原式取得最小值 . 答案: 　 2 3  1 2 2 3  1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 8.(2020·温州高一检测)函数 的值域是________.  【解析】 答案: y sin(x ) sinx(x [0, ])3 2      y sin(x ) sin x 2cos(x ) sin cos(x ).3 6 6 6 2x [0, x [ , ].2 6 6 3 1 3y [ , ].2 2                    因为 ]，所以 故 1 3[ , ]2 2  四、解答题(每小题10分,共20分) 9.求下列各式的值: (1)cos +cos -2sin cos ; (2)sin 138°-cos 12°+sin 54°. 8  3 8  4  8  【解析】   31 cos cos 2sin cos8 8 4 8 3 3 8 8 8 82cos cos 2cos2 2 8 2cos cos 2cos4 8 8 2cos 2cos 0.8 8                      (2)sin 138°-cos 12°+sin 54° =sin 42°-cos 12°+sin 54° =sin 42°-sin 78°+sin 54° =-2cos 60°sin 18°+sin 54° =sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18° 2cos 36 sin 18 cos 18 cos 36 sin 36 cos 18 cos 18 2cos 36 sin 36 sin 72 1 .2cos 18 2cos 18 2              10.已知A,B,C是△ABC的三个内角,y= ,若任意交换两个角 的位置,y的值是否变化?并证明你的结论. A2cosA 2tan A B C2 sin cos2 2 ＋ ＋ 【解析】不变.因为A,B,C是△ABC的三个内角, 所以A+B+C=π, 所以 因此,任意交换两个角的位置,y的值不变. A B C .2 2 2   ＋＝ B C2sinA 2y tan B C B C2 cos cos2 2 B C B C2(sin cos cos sin )A 2 2 2 2tan B C2 2cos cos2 2 A B Ctan tan tan .2 2 2  ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ 【创新迁移】形如 的符号叫二阶行列式,现规定 =a11a22-a21a12, 如果f(θ)= ,0<θ<π,求θ的值. 11 12 21 22 a a a a 11 12 21 22 a a a a cos cos 2 2 2 3 37 1 sin sin 23     ＝ 【解析】因为 所以f(θ)= 因为 所以 2 2 2 2 ,3 21 2    cos cos 3 7sin sin 3   7cos sin sin cos3 3 3 1 2cos sin sin( )2 2 3 2          ＝ ＝ ＝ ＝ ， 2 3 3 3        ， .3 4 12     ＝ ，所以 ＝