新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：2-4 积化和差与和差化积公式 课件（96张）
2.4 积化和差与和差化积公式
必备知识·自主学习
积化和差、和差化积公式
(1)积化和差公式
sin αcos β= [sin(α+β)+sin(α-β)],
cos αsin β= [sin(α+β)-sin(α-β)],
cos αcos β= [cos(α+β)+cos(α-β)],
sin αsin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)].
导思 1.积化和差公式与两角和差公式有怎样的关系?
2.和差化积公式与积化和差公式有怎样的关系?
1
2
1
2
1
2
1
2
(2)和差化积公式
sin x+sin y=2sin cos ,
sin x-sin y=2cos sin ,
cos x+cos y=2cos cos ,
cos x-cos y=-2sin sin .
x y
2
x y
2
x y
2
x y
2
x y
2
x y
2
x y
2
x y
2
【思考】
(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?
提示:两角和与差的正弦、余弦公式.
(2)和差化积公式是如何推导出来的?
提示:如果令x=α+β,y=α-β ,则α= ,β= ,从而可以由积化和差公
式得到和差化积公式.
x y
2
x y
2
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)sin xsin y= [cos(x-y)-cos(x+y)]. ( )
(2)cos α+cos β=2cos cos .( )
(3)已知α-β= ,cos α+cos β= ,
则cos ( )
1
2
2
2
3
1
5
3 .2 15
提示:(1)√.积化和差公式.
(2)√.和差化积公式.
(3)√.因为α-β= ,cos α+cos β=2cos cos
=2cos cos
所以cos =
3
2
2
2
2
1
6 5
，
3 .15
2.若cos xcos y+sin xsin y= ,sin 2x+sin 2y= ,则sin(x+y)=( ) 1
2
2
3
1 1 3 2A. B. C. D.2 3 2 3
【解析】选D.因为cos xcos y+sin xsin y= ,
所以cos(x-y)= ,
因为sin 2x+sin 2y= ,
所以2sin(x+y)cos(x-y)= ,
所以2sin(x+y)· = ,
所以sin(x+y)= .
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
2
3
3.(教材二次开发:例题改编) =________.
【解析】原式=
答案:
sin 35 sin 25
cos 35 cos 25
35 25 35 252sin cos 32 2 tan 30 .35 25 35 25 32cos cos2 2
3
3
关键能力·合作学习
类型一 利用积化和差、和差化积公式化简、求值、证明(数学运算、逻辑推理)
【题组训练】
角度1 利用积化和差、和差化积公式化简求值
【典例】求下列各式的值:
(1)sin +sin ;
(2)cos -cos ;
(3)cos273°+cos247°+cos 73°cos 47°;
(4)2cos cos +cos +cos .
( )3
( )3
( )4
( )4
9
13
13
5
13
3
13
【思路导引】
(1)利用和差化积公式,进行化简所求表达式.
(2)利用和差化积公式,进行化简所求表达式.
(3)利用配方法,结合积化和差公式,化简求得表达式的值.
(4)利用积化和差公式、诱导公式,化简求得表达式的值.
【解析】(1)sin +sin
=2sin cos α= cos α.
(2)cos -cos
=-2sin sin φ=- sin φ.
( )3
( )3
3
3
( )4
( )4
4
2
(3)cos273°+cos247°+cos 73°cos 47°
=(cos 73°+cos 47°)2 -cos 73°cos 47°
=4cos2 60°·cos213°-
=cos213°+ -cos213°+ = .
1 (cos 120 cos 26 )2
1
4
1
2
3
4
9 5 34 2cos cos cos cos13 13 13 13
9 9 5 3cos( ) cos( ) cos cos13 13 13 13 13 13
10 8 5 3cos cos cos cos13 13 13 13
10 8 8 10cos cos cos( ) cos( )13 13 13 13
10 8 8 10cos cos cos cos 0.13 13 13 13
【变式探究】
本题考查三角函数式的化简求值问题,同时考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
若把本例(3)改为 ,试求其值.1 cos 80
sin 40 sin 80
【解析】 1 cos 80 2cos 40 cos 80
sin 40 sin 80 2sin 40 cos 40 sin 80
cos 40 (cos 40 cos 80 )
sin 80
cos 40 2cos 60 cos 20 cos 40 cos 20
sin 80 cos 10
2cos 30 cos 10 2cos 30 3.cos 10
角度2 利用积化和差、和差化积公式证明恒等式
【典例】证明:(1)
(2)
【思路导引】(1)利用和差化积公式证明左边式子等于右边式子即可;
(2)利用和差角公式展开,之后再利用和差化积公式化简整理得到结果.
sin A 2sin 3A sin 5A sin 3A
sin 3A 2sin 5A sin 7A sin 5A
；
cos A cos(120 B) cos(120 B) A Btan .sin B sin(120 A) sin(120 A) 2
【证明】(1)左边=
(2)左边=
sin A sin 5A 2sin 3A
sin 3A sin 7A 2sin 5A
2sin 3A cos 2A 12sin 3Acos 2A 2sin 3A
2sin 5Acos 2A 2sin 5A 2sin 5A cos 2A 1
sin 3A .sin 5A
右边
cos A 2cos 120 cos B
sin B 2cos 120 sin A
A B B A2sin sincos A cos B 2 2
A B B Asin B sin A 2cos sin2 2
A Btan .2
右边
【解题策略】
(1)套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式,为了能够把三角函数式化为积
的形式,有时需要把常数首先化为某个角的三角函数,然后再化积,有时函数不
同名,要先化为同名再化积,化积的结果能求值则尽量求出值来.
(2)在运用积化和差求值时,尽量出现特殊角,同时注意互余角、互补角的三角
函数间的关系.
总之,在进行化简求值时要看角的形式,通过看角之间的差别与联系,把角进行
合理的拆分,通过“凑角法”对“已知角”与“未知角”建立联系,合理选择和、
差角,辅助角,积化和差与和差化积公式等方法进行.
【题组训练】
1.已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)·sin(α-β)等于 ( )
A.- B. C.-a D.a
【解析】选C.sin(α+β)sin(α-β)
=(sin αcos β+cos αsin β)(sin αcos β-cos αsin β)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β
=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)
=cos2β-cos2α=-a.
a
2
a
2
2.证明: 3x x 2sin xtan tan .2 2 cos x cos 2x
【证明】方法一:
3x xsin sin3x x 2 2tan tan 3x x2 2 cos cos2 2
3x x 3x xsin cos cos sin2 2 2 2
3x xcos cos2 2
3x xsin( ) sinx 2sin x2 2 .3x x 3x x cos x cos 2xcos cos cos cos2 2 2 2
方法二:
3x xsin( )2sin x sin x 2 2
3x x 3x xcos x cos 2x cos cos cos cos2 2 2 2
3x x 3x xsin cos cos sin2 2 2 2
3x xcos cos2 2
3x xsin sin 3x x2 2 tan tan .3x x 2 2cos cos2 2
【补偿训练】
证明下列恒等式.
cos cos1 tan .sin sin 2
1sin[ x y ]sin x sin y 22 .1sin x y sin[ x y ]2
【证明】(1)
2sin sincos cos 2 2
sin sin 2sin cos2 2
sin sin2 2 tan .2cos cos2 2
x y x y2cos sinsin x sin y 2 22 x y x ysin x y 2sin cos2 2
1sin[ x y ]2 .1[sin x y ]2
类型二 利用积化和差、和差化积公式解决三角函数问题(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)= 与g(x)=cos2x+a(1+cos x)-cos x-3
的图象在(0,π)内至少有一个公共点,求a的取值范围.
5sin x 12
x 22sin 2
【解题策略】
(1)利用积化和差、和差化积公式,一定要清楚这些公式的形式特征,理解公式
间的关系.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到的类型:
①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c或
y=Acos(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
②形如y=asin2x+bsin x+c或y=acos2x+bcos x+c的三角函数,可先设sin x=t或
cos x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
【跟踪训练】
求函数f(x)= 的最值.2cos(x ) cos(x ),x [ , ]3 6 2 2
【解析】cos +cos =
cos =cos =cos cos -sin sin =
所以f(x)=2cos
因为x∈ ,
所以x+
所以cos ∈
所以f(x)的最大值为 ,最小值为 ×
2(x )3
(x )6
2 2(x ) (x ) (x ) (x )3 6 3 62cos[ ]cos[ ]2 2
，
5
12
( )4 6
4
4
6
6
6 2 .4
5 6 2(x ) cos cos(x ).4 12 2 4
[ , ]2 2
3[ , ].4 4 4
(x )4
2[ ,1],2
6 2
4
6 2
4
2 1 3( ) .2 2
【拓展延伸】
积化和差与和差化积公式在三角形中的应用
涉及三角形的有关问题时,在化简过程中要注意隐含条件A+B=π-C及
的利用,要注意运用三角恒等变换(切化弦、常值代换、引入辅助角、和差化积
与积化和差、角的代换)来解决问题.
A B C
2 2 2
【典例】若△ABC的三个内角A,B,C满足cos 2A-cos 2B=2sin2C,试判断△ABC
的形状.
【思路导引】利用和差化积公式得到sin(A-B)+sin(A+B)=0,化简得到
2sin Acos B=0,进而求得答案.
【解析】cos 2A-cos 2B
=-2sin(A+B)si(A-B)=2sin2C,
所以sin(A-B)+sin(A+B)=0,
sin(A-B)+sin(A+B)=2sin Acos B=0,
所以cos B=0,所以B= ,故△ABC为直角三角形.
2
【解题策略】
判定三角形形状的基本思路
对已知三角恒等式进行化简变形,可以把三角函数关系式最终化成角之间的关
系,利用角之间的关系判定形状,在变形时注意合理利用内角和公式及其变形.
【拓展训练】
已知A+B+C=π,求证:sin A+sin B+sin C= A B C4cos cos cos .2 2 2
【证明】因为A+B+C=π,
所以C=π-(A+B),
所以sin A+sin B+sin C=2sin cos +sin(A+B)=2sin cos
+2sin cos
=2sin
=2sin ×2cos cos =2sin ×2cos cos
=4cos cos cos .
C A B
2 2 2
，
A B
2
A B
2
A B
2
A B
2
A B
2
A B
2
A B A B A B(cos cos )2 2 2
A B
2
A
2
B
2
C( )2 2
A
2
B
2
A
2
B
2
C
2
类型三 积化和差与和差化积公式在最值方面的应用(逻辑推理)
【典例】1.(2020·洛阳高一检测)函数f(x)=
则f(x)的最小正周期和最大值分别为 ( )
A.π, B.π, C.2π, D.2π,
2.在△ABC中,若B=30°,求cos Asin C的取值范围.
3 1 cos 2x 3cos( x)cos( x) ,3 6 2 2
1
4
1
2
1 3
2
3
2
【思路导引】1.利用积化和差公式化简并整理成正弦型函数再求解;
2.利用积化和差公式将两个角的两种名称改为两个角的一种名称,然后分析求
解.
【解析】1.选B.f(x)
所以最小正周期为π,最大值为 .
cos( x x) cos( x x) 3 1 cos 2x 33 6 6 3
2 2 2
1 3cos(2x ) cos 2x2 6 2
1 3 1sin 2x cos 2x sin(2x )4 4 2 3
，
1
2
2.由题意得cos Asin C=
因为B=30°,所以-150°
C- ,
故2A+C≠C- .
所以2A+C+C- =π⇒A+C= .
3
2
3
2
1
2
3
2
(C ),3
3
3
3
2
3
(2)m≥
=2sin A+2sin C=2sin A+2sin
=2sin A+2× cos A-2× sin A
=3sin A+ cos A
=2 sin
因为A∈ ,故当A+ 时,2 sin 有最大值2 ,
所以m≥2 ,即实数m的最小值为2 .
1 2
BD BD
r r
2( A)3
3
2
1( )2
3
3 (A ),6
(0, )2
6 2
3 (A )6
3 3
3
备选类型 三角恒等式的一个推广(逻辑推理、数学运算)
【典例】求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.
【思路导引】本题中涉及到的角是非特殊的角,通常利用积化和差与和差化积
公式进行计算化简.
【解析】令a=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°,
b=cos220°+sin250°+cos20°sin 50°,
于是a+b=2+sin 70°,a-b=-cos 40°+cos 100°+
sin(-30°)=-2sin 70°·sin 30°- =-sin 70°- ,
两式相加可得a= ,故sin2 20°+cos2 50°+sin 20°cos 50°= .
1
2
1
2
3
4
3
4
【解题策略】
三角恒等式的一个推广
若x+y=k·360°+60°(k∈Z),
则sin2x+sin2y+sin xsin y为定值 ;
若x+y=k·360°+120°(k∈Z),
则sin2x+sin2y-sin xsin y为定值 .
3
4
3
4
【跟踪训练】
cos 2α-cos αcos(60°+α)+sin 2(30°-α)的值为 ( )
A. B. C. D. 1
2
3
4
3
2
1
4
【解析】选C.原式=cos α·cos α-cos αcos(60°+α)+
sin(30°-α)·sin(30°-α)
=1+ cos 2α- cos (60°+2α)- - cos (60°-2α)
= - [cos (60°+2α)+cos (60°-2α)]+ cos 2α
= - ×2cos 60°cos 2α+ cos 2α= .
1
2
1
2
1
4
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
1.sin 37.5°cos 7.5°= ( )
【解析】选C.原式= [sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]
= (sin 45°+sin 30°)=
课堂检测·素养达标
2 2 2 1 2 2A. B. C. D.2 4 4 4
＋ ＋
1
2
1
2
1 2 1 2 1( ) .2 2 2 4
＋＋ ＝
2.函数f(x)=2sin ·sin 的最大值是 ( )
【解析】选A.f(x)=2sin ·sin
即f(x)的最大值为 .
x
2
x( )3 2
1 3 1 2A. B. C. D.2 2 2 3
x
2
x( )3 2
1 x x x x2 ( )[cos( ) cos( )]2 2 3 2 2 3 2
1 1 1cos cos(x ) cos(x ) 13 3 2 3 2 2
，
1
2
3.(教材二次开发:练习改编)(2020·吴忠高一检测)已知α,β均为锐角,
且sin 2α=2sin 2β,则( )
A.tan(α+β)=3tan(α-β)
B.tan(α+β)=2tan(α-β)
C.3tan(α+β)=tan(α-β)
D.3tan(α+β)=2tan(α-β)
【解析】选A.因为sin 2α=2sin 2β,
所以
即tan(α+β)=3tan(α-β).
tan( ) sin( )cos( )
tan( ) cos( )sin( )
1 (sin 2 sin 2 ) 3sin 22 31 sin 2(sin 2 sin 2 )2
，
4.sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°=________.
【解析】sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°
答案:
1 1[sin(20 70 ) sin(20 70 )] [cos(10 50 ) cos(10 50 )]2 2
1 1sin (90 sin 50 ) cos (40 cos 60 )2 2
1 1 1 1 1 1sin50 cos 40 sin 50 sin 504 2 2 4 2 2
1.4
1
4
5.如果A+B+C=π,求证:cos A+cos B+cos C=1+ A B C4sin sin sin .2 2 2
【证明】因为A+B+C=π,
所以C=π- C A B(A B) 2 2 2
， ，
2
A B A Bcos A cos B cos C 2cos cos cos(A B)2 2
A B A B A B2cos cos (2cos 1)2 2 2
A B A B A B2cos (cos cos ) 12 2 2
A B A B2cos [ 2sin sin( )] 12 2 2
A B C1 4sin sin sin .2 2 2
所以
三十二 积化和差与和差化积公式
【基础通关一水平一】(15分钟 30分)
1.求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80 °=( )
【解析】选C.sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°
=2sin 30°cos(-10°)+sin 60°-sin 80°
=2× ×sin 80°+ -sin 80°= .
课时素养评价
1 2 3A. B. C. D.12 2 2
1
2
3
2
3
2
【补偿训练】
cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°的值为_______.
【解析】原式=cos 40°+cos 80°+cos 60°-cos 20°
=2cos cos +cos60°-cos20°
=2cos60°·cos(-20°)+cos60°-cos20°=cos60°= .
答案:
40 80
2
40 80
2
1
2
1
2
2.在△ABC中sin C= ,则此三角形的形状是 ( )
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
sin A sin B
cos A cos B
【解析】选C.因为C=π-(A+B),
所以sin C=sin(A+B)=
所以
所以2cos2 =1,即cos(A+B)=0,
所以A+B= ,所以C= .
故此三角形为直角三角形.
sin A sin B
cos A cos B
，
A B A B2sin cosA B A B 2 22sin cos A B A B2 2 2cos cos2 2
，
A B
2
2
2
3.函数y=sin cos x的最大值为 ( )
【解析】选B.因为y=sin cos x
(x )6
1 1 2A. B. C.1 D.2 4 2
(x )6
max
1[sin(x x) sin(x x)]2 6 6
1 1 1 1[sin(2x ) ] sin(2x )2 6 2 2 6 4
1 1 1y .2 4 4
，
所以
4.函数y=cos x+cos 的最大值是_______.
【解析】y=2cos
所以ymax= .
答案:
(x )3
(x )cos 3cos(x )6 6 6
，
3
3
5.已知sin α+sin β= ,cos α+cos β= ,求tan(α+β)的值.1
4
1
3
【解析】由sin α+sin β= ,cos α+cos β= 得,
2sin cos
2cos cos
两式相除得tan
则tan
1
4
1
3
2
1
2 4
，
2
1
2 3
，
3
2 4
，
2 2
32tan 2 242 4( ) .3 71 tan 1 ( )2 4
【能力进阶一水平二】(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若sin α+sin β= (cos β-cos α)且α∈(0,π),β∈(0,π),
则α-β等于 ( )
3
3
2 2A. B. C. D.3 3 3 3
【解析】选D. 因为α,β∈(0,π),
所以sin α+sin β>0.
所以cos β-cos α>0,cos β>cos α,
又在(0,π)上,y=cos x是减函数.
所以β<α,所以0<α-β<π,由原式可知2sin
所以tan = ,所以
所以α-β=
3cos ( 2sin sin )2 2 3 2 2
＝ ，
2
3 2 3
＝ ，
2 .3
2.在△ABC中,若B=45°,则cos Asin C的取值范围是 ( )
【解析】选B.在△ABC中B=45°,
所以cos Asin C=
因为-1≤sin(A-C)≤1,
所以 ≤cos Asin C≤
2 2 2 2A.[ 1,1] B.[ , ]4 4
2 2 2 2 2C.[ 1, ] D.[ , ]4 4 4
1[sin(A C) sin(A C)]2
1 2 1[sin B sin(A C)] sin(A C)2 4 2
，
2 2
4
2 2.4
3.函数f(x)= 是 ( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
【解析】选D.f(x)=
所以T= =π,f(x)为非奇非偶函数.
5sin(x )cos(x )12 12
＋
1 1 1 1[sin(2x ) sin ] [sin(2x ) 1] sin(2x )2 3 2 2 3 2 3 2
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，
2
2
【补偿训练】
已知函数f(x)=g(x)cos ,若函数f(x)是周期为π的偶函数,
则g(x)可以是 ( )
A.cos x B.sin x
C.cos D.sin
(x )4
(x )4
(x )4
【解析】选D.当g(x)=cos x时,
f(x)=cos xcos =
此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
当g(x)=sin x时,f(x)=
此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
(x )4
1 2cos(2x )2 4 4
，
1 2sin xcos(x ) sin(2x )4 2 4 4
，
当g(x)=cos 时,
f(x)=cos cos =- sin 2x+ ,
此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
当g(x)=sin 时,
f(x)=sin cos
此时f(x)是偶函数,周期为π.
(x )4
(x )4
(x )4
1
2
1
2
(x )4
(x )4
(x )4
1 1sin(2x ) cos 2x2 2 2
，
4.(2020·长沙高二检测)在△ABC中, sin A+sin Bsin C的最大值
为 ( )
2
1A. 2 B.2 C. 3 D. 52
【解析】选B. sin A+sin Bsin C= sin A+
当且仅当sin B=sin C= ,sin A= 时,等号成立,因此 sin A+
sin Bsin C的最大值为2.
2 2
cos(B C) cos(B C) 1 cos A2sin A2 2
1 1 1 12sin A cos A 2 22 2 4 2
，
6
3
2 2
3 2
【误区警示】注意三角形中三角之间的关系,要充分利用这一关系实现多变角
转化为一变角形式.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.设函数f(x)=sin +cos ,则 ( )
A.y=f(x)的最小值为- ,其周期为π
B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为
C.y=f(x)在 单调递增,其图象关于直线x= 对称
D.y=f(x)在 单调递减,其图象关于直线x= 对称
(2x )4
＋ (2x )4
＋
2
(0 )2
，
(0 )2
，
2
4
2
【解析】选AD.f(x)=
所以y=f(x)在 内单调递减,周期为π,
又f = cos π=- 是最小值,
所以函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称.
2sin(2x )4 4
＋ ＋
2sin(2x ) 2cos 2x2
＝ ＋ ＝ ，
(0 )2
，
( )2
2 2
2
6.满足sin 3x=cos x的x的值是 ( )
【解析】选AB.由题意可得sin 3x-sin =0,由和差化积公式可得
则方程的根满足:
整理可得x= π+ 或x=kπ+ ,
即方程的根为
A. B. C. D.8 4 3 2
( x)2
3x ( x) 3x ( x)2 22cos sin 02 2
，
3x ( x) 3x ( x)2 2k k2 2 2
或 ，
k
2 8
4
k{x | x x k k Z}.2 8 4
或 ，
【光速解题】将选项A,B,C,D依次代入条件等式中进行检验即可.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知A+B= ,那么1+ (cos 2A+cos 2B)的最大值是_______,最小值是
_______.
【解题指南】利用和差化积公式进行化简的方法首先化简所求式子,然后根据
已知角及角对应三角函数值的范围求解.
2
3
1
2
【解析】因为A+B= ,所以1+ (cos 2A+cos 2B)
=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos cos(A-B)
=1- cos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时,
原式取得最大值 ;
当cos(A-B)=1时,原式取得最小值 .
答案:
2
3
1
2
2
3
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
8.(2020·温州高一检测)函数y= 的值域是_______.
【解析】y=sin -sin x=2cos
因为x∈ ,所以
故y∈
答案:
sin(x ) sinx(x [0, ])3 2
(x )3
(x ) sin cos(x ).6 6 6
[0, ]2
2x [ , ].6 6 3
1 3[ , ].2 2
1 3[ , ]2 2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列各式的值:
(1)
(2)sin 138°-cos 12°+sin 54°.
3cos cos 2sin cos8 8 4 8
；
【解析】(1) 3cos cos 2sin cos8 8 4 8
3 3
8 8 8 82cos cos 2cos2 2 8
2cos cos 2cos4 8 8
2cos 2cos 0.8 8
(2)sin 138°-cos 12°+sin 54°
=sin 42°-cos 12°+sin 54°
=sin 42°-sin 78°+sin 54°
=-2cos 60°sin 18°+sin 54°
=sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°
2cos 36 sin 18 cos 18 cos 36 sin 36 2cos 36 si n 36
cos 18 cos 18 2cos 18
sin 72 1 .2cos 18 2
10.已知A,B,C是△ABC的三个内角,y=tan 若任意交换两
个角的位置,y的值是否变化?并证明你的结论.
A2cosA 2
A B C2 sin cos2 2
＋ ，
＋
【解析】不变.因为A,B,C是△ABC的三个内角,
所以A+B+C=π,
因此,任意交换两个角的位置,y的值不变.
A B C .2 2 2
＋＝
B C2sinA 2y tan B C B C2 cos cos2 2
B C B C2(sin cos cos sin )A 2 2 2 2tan B C2 2cos cos2 2
A B Ctan tan tan .2 2 2
＋
所以 ＝ ＋ ＋ ＋
＋
＝ ＋
＝ ＋ ＋
【创新迁移】
形如 的符号叫二阶行列式,现规定 =a11a22-a21a12,
如果f(θ)= 0<θ<π,求θ的值.
11 12
21 22
a a
a a
11 12
21 22
a a
a a
cos cos 2 2 23
37 1sin sin 23
＝ ，
【解析】因为
所以f(θ)= =cos θsin -sin θcos
2 2 2 2
3 21 2
＝ ，
cos cos 3
7sin sin 3
7
3
3
3 1 2cos sin sin( )2 2 3 2
2
3 3 3
.3 4 12
＝ ＝ ＝ ，
因为 ，
所以 ＝ ，所以 ＝
