浙江省衢州市2021届高三上学期12月教学质量检测数学试题 Word版含答案

浙江省衢州市2021届高三上学期12月教学质量检测数学试题 Word版含答案

浙江省衢州市 2021 届高三上学期 12 月教学质量检测 数学试题 选择题部分 (共 54 分) 一、选择题：本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．设集合  0,2,4,6,8,10A  ，  4,8B  ，则 A B ð （ ） A． 4,8 B． 0,2,6 C． 0,2,6,10 D． 0,2,6,8,10 2． cos600 等于 ( ) A． 1 2 B． 3 2 C． 3 2  D． 1 2  3．直线 3 5 0x y   的倾斜角为（ ） A． 30  B． 60 C．120 D．150 4. 已知 1 84 x  ，则函数 2( ) logf x x 的值域是（ ） A．[ 3, 2]  B．[ 2,3] C．[ 3,3] D．[ 2,2] 5．圆心为 (1, 1) 且过原点的圆的一般方程是 ( ) A． 2 2 2 2 1 0x y x y     B． 2 2 2 2 1 0x y x y     C． 2 2 2 2 0x y x y    D． 2 2 2 2 0x y x y    6．设 a ， b  R ，且 a b ，则 ( ) A． 3 3a b B． 2 2a b C．| | | |a b D． 1a b  7．已知焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 13 x y m   的离心率为 1 2 ，则 (m  ) A．6 B． 6 C．4 D．2 8．已知实数 ,x y 满足约束条件 1 0 2 3 0 x x y x y         ，则 x y 的最小值是 ( ) A． 2 B． 1 C．1 D．2 9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．8 B．12 C．16 D．24 10．设 m 、 n 是两条不同的直线， 、  是两个不同的平面，则 ( ) A．若 / /m  ， / /n  ，则 / /m n B．若 / /m  ， / /m  ，则 / /  C．若 / /m n ， n  ，则 m  D．若 / /m  ，  ，则 m  11．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 , ,a b c ，已知 5a  ， 7b  ， 8c  ，则 (A C  ) A． 90 B．120 C．135 D．150 12．若实数 x ， y ， z 满足 0.54x  ， 5log 3y  ， sin 22z      ，则（ ） A． x z y  B． y z x  C． z x y  D． z y x  13．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，公差为 d ，已知 1 0a  ， 5 17S S ，则 ( ) A． 11 0da  B． 12 0da  C． 1 12 0a a  D． 1 11 0a a  14.过双曲线   2 2 2 2 1 0 0x y a ba b    ， 的右焦点 F ，作渐近线 by xa  的垂线与双曲线左右两支都相交， 则双曲线离心率 e的取值范围为（ ） A． 1 2， B． 1 2， C．  2  ， D．  2  ， 第 9 题 15. 设 A 、 B 、 C 三 点 不 共 线 ， 则 “ AB  与 AC  的 夹 角 是 钝 角 ” 是 “ AB AC BC    ” 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．对于无穷数列{ }na ，给出下列命题： ①若数列{ }na 既是等差数列，又是等比数列，则数列{ }na 是常数列． ②若等差数列{ }na 满足| | 2021na „ ，则数列{ }na 是常数列． ③若等比数列{ }na 满足| | 2021na „ ，则数列{ }na 是常数列． ④若各项为正数的等比数列{ }na 满足1 2021na„ „ ，则数列{ }na 是常数列． 其中正确的命题个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 17．已知 ( )f x 是 R 上的奇函数，当 0x  时， 2log ( 1),0 1( ) | 3|, 1 x xf x x x       ，则函数 1( ) 2y f x  的所 有零点之和是 ( ) A． 5 2 B．1 2 C． 2 1 D．5 2 18．如图，在三棱锥 S ABC 中，SA ABC平面 ， AB BC ， ,E F 是 SC 上两 个三等分点，记二面角 E AB F  的平面角为 ，则 tan （ ） A．有最大值 4 3 B．有最大值 3 4 C．有最小值 4 3 D．有最小值 3 4 非选择题部分（共 46 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分． 19．设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和，若 1 1a  ， 4 8a  ，则 3a  ， 5S  ． 20．若向量  1,1, xa ,  1,2,1b ,  1,1,1c ,满足条件   2 2   c a b ,则 x  . 21．如图，在 Rt ABC 中， 1,AC BC x  ，D 是斜边 AB 的中点，将 BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 CB AD ，则 x 的 取值范围是 . 22．若函数    2 2f x x ax ax a a    R 有四个不同的零点，则 a 的取值 范围是 三、解答题：本大题共 3 小题，共 31 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23. （本题满分 10 分）已知函数 ( ) sin( )sin 2f x x x        . （I）求 ( )6f  的值； （II）若 3( ) 10f    ， 0 3   .求 ( )6f   的值. 24．（本题满分 10 分）已知抛物线 2: 4C y x ，直线 l 与抛物线C 交 于 A ， B 两点， P 为线段 AB 中点． （Ⅰ）若 P 的纵坐标为5，求直线 l 的斜率； （Ⅱ）若  | | 4AB a a  ，求证：不论  4a a  取何值，当 P 点横坐标最小时，直线 l 过定点． 第 24 题图 25. （本题满分 11 分）已知二次函数   2f x ax bx c   ，且 1x  时，   1f x  ． （I）若 1,a b c  ，求实数 b 的取值范围； （II） a b c  的最大值； （III）求证：当 3x  时，   17f x  . （解析版） 选择题部分 (共 54 分) 一、选择题：本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.设集合  0,2,4,6,8,10A  ，  4,8B  则 AC B  （ ） A． 4,8 B． 0,2,6 C． 0,2,6,10 D． 0,2,6,8,10 答案：C 解析：由集合的定义 AC B   0,2,6,10 ，选 C 2． cos600 等于 ( ) A． 1 2 B． 3 2 C． 3 2  D． 1 2  答案：D 解析：   1cos600 cos240 cos 180 60 cos60 2             ，故选 D ． 3．直线 3 5 0x y   的倾斜角为 A． 30  B． 60 C．120 D．150 答案：D 解析：∵直线斜率为 3 3  ，倾斜角 的取值范围为 0 180 ， ， 3tan150 3    ，∴直线的倾斜角为 150 ．故 选 D． 4. 已知 1 84 x  ，则函数 2( ) logf x x 的值域是（ ） A．[ 3, 2]  B．[ 2,3] C．[ 3,3] D．[ 2,2] 答案：Ｂ 5．圆心为 (1, 1) 且过原点的圆的一般方程是 ( ) A． 2 2 2 2 1 0x y x y     B． 2 2 2 2 1 0x y x y     C． 2 2 2 2 0x y x y    D． 2 2 2 2 0x y x y    答案： D. 解析：根据题意，要求圆的圆心为 (1, 1) ，且过原点， 且其半径 2 21 ( 1) 2r     ， 则其标准方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y    ，变形可得其一般方程是 2 2 2 2 0x y x y    ． 6．设 a ， b R ，且 a b ，则 ( ) A． 3 3a b B． 2 2a b C．| | | |a b D． 1a b  答案： A 解析：不妨令 1a  ， 2b   ，显然 A 符合， B ， C ， D 均不符合，故选： A ． 解 2：由于函数 3( )f x x 在 R 上为增函数，由 a b 得 3 3a b ，故选 A . 7．已知焦点在 轴上的椭圆 2 2 13 x y m   的离心率为 1 2 ，则 (m  ) A．6 B． 6 C．4 D．2 答案：C 解析：法 1：焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 13 x y m   ，可得 a m ， 3c m  ， 椭圆的离心率为 1 2 ，可得： 3 1 2 m m   ，解得 4m  ． 法 2：  2 2 2 2 2 3 11 1 2 a bc be a a a m         ，所以 4m  故选： C ． 8．已知实数 x ， y 满足约束条件 1 0 2 3 0 x x y x y         ，则 x y 的最小值是 ( ) A． 2 B． 1 C．1 D．2 答案：A． 解析：作出实数 x ， y 满足约束条件 1 0 2 3 0 x x y x y         表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部， 由 0 2 3 0 x y x y       得  1, 1A   ， 设  ,z F x y x y   ，将直线 :l z x y  进行平移， 可得当l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值  1, 1 2z F      ． 故选：A． 9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．8 B．12 C．16 D．24 答案：A 解析：由题意可知几何体的直观图如图：底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面三角形的直角顶点， 几何体的体积为： 1 1 3 4 4 83 2      .故选： A ． 10．设 m 、 n 是两条不同的直线， 、  是两个不同的平面，则 ( ) A．若 / /m  ， / /n  ，则 / /m n B．若 / /m  ， / /m  ，则 / /  C．若 / /m n ， n  ，则 m  D．若 / /m  ，  ，则 m  答案：C 解析：对于 A ，若 / /m  ， / /n  ，则 / /m n ，或 m ， n 相交、异面，故不正确； 对于 B ，若 / /m  ， / /m  ，则 / /  或 ，  相交，故不正确； 对于 C ，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确； 对于 D ，若 / /m  ，  ，则 m 、  相交或平行，或 m  ，故不正确．故选 C ． 11．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 , ,a b c ，已知 5a  ， 7b  ， 8c  ，则 (A C  ) A． 90 B．120 C．135 D．150 答案： B. 解析：在 ABC 中， 5a Q ， 7b  ， 8c  ， 由余弦定理可得： 2 2 2 25 64 49 1cos 2 2 5 8 2 a c bB ac        ， b cQ ，故 B 为锐角，可得 60B   ， 180 60 120A C        ． 12．若实数 x ， y ， z 满足 0.54x  ， 5log 3y  ， sin 22z      ，则（ ） A． x z y  B． y z x  C． z x y  D． z y x  答案：D 解析： 0.54 2x   ， 5 50 log 3 log 5 1y    ， sin 2 cos2 02z        ， z y x   ，故选：D． 答案： B ． 13．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，公差为 d ，已知 1 0a  ， 5 17S S ，则 ( ) A． 11 0da  B． 12 0da  C． 1 12 0a a  D． 1 11 0a a  解析： 5 17S S ， 1 1 5 4 17 165 172 2a d a d     ，化为： 12 21 0a d  ． 21 12 1 1 1 2 2 2( 11 ) 021 21 441 ada a a a       ． 1( 0)a  ． 故选： B ． 14.过双曲线   2 2 2 2 1 0 0x y a ba b    ， 的右焦点 F ，作渐近线 by xa  的垂线与双曲线左右两支都相交， 则双曲线离心率 e的取值范围为（ ） A． 1 2， B．  1 2， C．  2  ， D．  2  ， 答案：C 解析：过双曲线的右焦点 F 作渐近线 by xa  的垂线，设垂足为 A ，因为直线 AF 与双曲线左右两支 都相交，所以 AF 与渐近线 by xa   必定有交点 B，因此，直线 by xa   的斜率要小于直线 AF 的斜 率，即 2 2 2 2 2b a b a e ea b          ，故选 C 15. 设 A 、 B 、 C 三 点 不 共 线 ， 则 “ AB  与 AC  的 夹 角 是 钝 角 ” 是 “ AB AC BC    ” 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解 析 ： 因 为 AB AC BC    ， 则 2 2 2 2AB AC AB AC BC        ， 则 2 2 22 cosc b bc A a   ， 即 2 2 2 22 cos 2 cosc b bc A c b bc A     ，解得 cos 0A  ，则 A 为钝角，故选 C． 16．对于无穷数列{ }na ，给出下列命题： ①若数列{ }na 既是等差数列，又是等比数列，则数列{ }na 是常数列． ②若等差数列{ }na 满足| | 2021na „ ，则数列{ }na 是常数列． ③若等比数列{ }na 满足| | 2021na „ ，则数列{ }na 是常数列． ④若各项为正数的等比数列{ }na 满足1 2021na„ „ ，则数列{ }na 是常数列． 其中正确的命题个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案： C ． 解析：对于①，若数列{ }na 既是等差数列又是等比数列，则数列{ }na 为常数列，且 0na  ，故①正 确； ②若等差数列{ }na 满足| | 2021na „ ，由于数列{ }na 为无穷数列， 又数列{ }na 为等差数列，若公差不为 0，则| |na 无上界，则数列{ }na 是常数列，故②正确； ③若等比数列{ }na 满足| | 2021na „ ，考虑 1( )2 n na  ，则数列{ }na 不一定是常数列，故③错误； ④若各项为正数的等比数列{ }na 满足1 2021na„ „ ，即 1 11 2021na q  „ „ ，可得 1 1a … ， 1q… ， 若 1q  ，则 na 无上界，故 1q  ，进而数列{ }na 是常数列，故④正确． 故选： C ． 17．已知 ( )f x 是 R 上的奇函数，当 0x  时， 2log ( 1),0 1( ) | 3|, 1 x xf x x x       ，则函数 1( ) 2y f x  的所 有零点之和是 ( ) A． 5 2 B．1 2 C． 2 1 D． 5 2 答案：A． 解析：法 1：根据题意，函数 1( ) 2y f x  的所有零点即方程 1( ) 2f x  的根， 当 0x  时，若 1( ) 2f x  ，则有 2 1log ( 1) (0 1)2x x    或 1| 3| ( 1)2x x   ，解得 2 1x   或 5 2 或 7 2 ， 当 0x  时 ， 若 1( ) 2f x  ， 有 1( ) ( ) 2f x f x     ， 即 2 1log ( 1) ( 1 0)2x x       或 1| 3| ( 1)2x x      ，此时无解；则函数 1( ) 2y f x  的所有零点之和是 5 7( 2 1) 5 22 2      ． 法 2：根据题意，函数 1( ) 2y f x  的所有零点即方程 1( ) 2f x  的根， 当 0x  时，若 1( ) 2f x  ，则有 2 1log ( 1) (0 1)2x x    或 1| 3| ( 1)2x x   ，解得 2 1x   或 5 2 或 7 2 ，且 ( ) 0f x  ，则当 0x  时，由 ( )f x 是 R 上的奇函数可知 ( ) 0f x  ，故 1( ) 2f x  无解，则函 数 1( ) 2y f x  的所有零点之和是 5 7( 2 1) 5 22 2      ． 18．如图，在三棱锥 S ABC 中， SA ABC 面 ， AB BC ，E、F 是 SC 上两个三等分点， 记二面角 E AB F  的平面角为 ，则 tan （ ） A．有最大值 4 3 B．有最大值 3 4 C．有最小值 4 3 D．有最小值 3 4 答案：B. 解析：法 1：以 B 为原点， BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，过 B 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AB a ，则     2 1 2,0,0 , 0,0,0 , , ,3 3 3A a B E a b c     , 1 2 1, ,3 3 3F a b c     ，  ,0,0BA a ， 2 1 2 3 3 3BE a b c      ， ， ， 1 2 1 3 3 3BF a b c      ， ， ， 设平面 ABE 的法向量  , ,n x y z ， 则 0 2 1 2 03 3 3 n BA ax n BE ax by cz            ，取 z b ，得  0, 2 ,n c b  ， 设平面 ABF 的法向量  , ,m x y z ， 则 0 1 2 1 03 3 3 m BA ax m BF ax by cz            . ，取 2z b ，得  0, ,2m c b  ， ∵二面角 E AB F  的平面角为 ， ∴    2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 4cos 4 4 54 4 2 c b c b c b c bc b c b           m n m n . ， ∴ 3tan 4   ． ∴ tan 有最大值 3 4 ． 故选：B． 法 2：分别作二面角 F AB C  和 E AB C  的平面角 （如图所示），设它们的大小分别为 1 2,  ，则所求二面角 F AB E  的大小为 1 2    . 设 , ,AB a BC b SA c   , 则有 1 2 23tan 1 3 c c bb    ， 2 1 3tan 2 2 3 c c bb    ， 所以 1 2tan 4tan  ，于是   1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 tan tan 3tan 3 3tan tan 11 tan tan 1 4tan 44tan tan                   当且仅当 2 2 14tan tan   ，即 2 1tan 2   时取等号. 此时 max 3tan 4   . 故选 B. 非选择题部分（共 46 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分。 19．设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和．若 1 1a  ， 4 8a  ，则 3a  ， 5S  ． 答案： 4 ， 31 解析：设等比数列{ }na 的公比为 q ， 1 1a  ， 4 8a  ， 3 8q  ，解得 2q  ． 则 2 3 2 4a   ， 5 5 1 2 311 2S   ，故答案为： 4 ， 31． 【另解】数感猜该等比数列为1,2,4,8,16, ，符合题意，则 3 4a  ， 5 31S  ． 20．若向量  1,1, xa ,  1,2,1b ,  1,1,1c ,满足条件   2 2   c a b ,则 x  2 . 21．如图，在 Rt ABC 中， 1,AC BC x  ， D 是斜边 AB 的中点，将 BCD 沿直线 CD 翻折，若在 翻折过程中存在某个位置，使得 CB AD ，则 x 的取值范围是 解析：法 1：由题意得， 2 1 2 xAD CD BD    ， BC x ，取 BC 中点 E ， 翻折前，在图 1 中，连接 ,DE CD ，则 1 1 2 2DE AC  ， 翻折后，在图 2 中，此时 CB AD ．  ,BC DE BC AD  ， BC  平面 ADE ，  BC AE DE BC ， ，又 BC AE ， E 为 BC 中点， 1AB AC  ，  211 4AE x  ， 2 1 2 xAD  ， 在 ADE 中：① 2 21 1 112 2 4 x x    ，② 2 21 1 112 2 4 x x    ，③ 0x  ； 由①②③可得 0 3x  ． 如图 3，翻折后，当 1B CD 与 ACD 在一个平面上， AD 与 1B C 交于 M ，且 1AD B C ， 1AD B D CD BD   ， 1CBD BCD B CD     ， 又 1 90CBD BCD B CD      ， 1 30CBD BCD B CD      ，  60A   ， tan60BC AC ，此时 3x  。综上， x 的取值范围为 0, 3 ，故选 A． 法 2：作 CE AB ，如图，BD CD DA  ，所以 CBD BCD ECA       ，则 90 2DCE     ， 若CB AD ，则 AD 平面 BCE ，所以存在某个位置， B 在底面的射影在直线 CE 上， 所以要求 90 2    ，即 30   ，所以 1 3tan 3x    ，所以 0 3x  22．函数    2 2 Rf x x ax ax a a     有四个不同的零点，则 a 的取值范围 解析：（1）若 0a  ，则   2f x x ，显然直线 y ax a  与 ( )f x 不可能有 4 个交点，不符合题意； 若 0a  ，作出   2 2f x x ax  的函数图象，则直线 y ax a  与  f x 的图象不可能有 4 个交点，不符合题意； 若 0a  ，作出  f x 的函数图象如图所示： 当 0 2x a  时，   2 2f x x ax   ， 设直线  1y k x  与  y f x 在  0,2a 上的函数图象相切，切点为  00 ,x y ， 则 0 2 0 0 0 0 0 2 2 2 x a k x ax y kx k y          ，解得 2 2 2 2 1k a a    ， 2 2 2 2 1a a a     ，解得 4a  ． 三、解答题：本大题共 3 小题，共 31 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 23. （本题满分 10 分）已知函数 ( ) sin( )sin 2f x x x        . （I）求 ( )6f  的值； （II）若 3( ) 10f    ，0 3   .求 ( )6f   的值. 解： 1( ) sin( )sin + sin cos sin22 2f x x x x x x          . （I）所以 1 3( ) sin6 2 3 4f      . （II）因为 1 3( ) sin 22 10f      ，所以 3sin 2 5   . 因为 0 3   ，所以 20 2 3   ， 又因为 3 3sin 2 5 2    ，所以 0 2 2   ，所以 4cos2 5   . 所以 1 1( ) sin2( ) sin(2 )6 2 6 2 3f             1 sin2 cos cos2 sin2 3 3         1 3 1 4 3 3 4 3 2 5 2 5 2 20             . 24．（本题满分 10 分）已知抛物线 2: 4C y x ，焦点 F ，直线l 与抛 物线C 交于 A ， B 两点，线段 AB 中点 P （Ⅰ）若 P 的纵坐标为5，求直线l 的斜率； （Ⅱ）若  | | 4AB a a  ，求证：不论  4a a  取何值，当 P 点横坐标最小时，直线 l 过定点。 第 24 题 解： （I）设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x    ，作差可得 2 2 1 2 1 24 4y y x x   ， 所以 1 2 1 2 1 2 4 4 2 10 5l y yk x x y y      （Ⅱ）设直线 l 的方程为 x ty m  ，联立 2 4y x ，可得 2 4 4 0y ty m   ，可得 1 2 4y y t  ， 1 2 4y y m  ， 则 2 2 2 2 1 2 1 2| | 1 ( ) 4 1 16 16MN t y y y y t t m a         ，可得 2 2 216(1 ) am tt   ， 则 2 2 2 2 1 2 1 2 2( ) 2 4 2 2(1 ) 2 2 2 28(1 ) 4 a ax x t y y m t m t at              … ， 当且仅当 2 2 2 2(1 )8(1 ) a tt   ，即 2 1 4 at   ，代入可得 1m  ，故直线过定点  1,0 25. （本题满分 11 分）已知二次函数   2f x ax bx c   ，且 1x  时，   1f x  ． （I）若 1,a b c  ，求实数 b 的取值范围 （II） a b c  的最大值 （III）求证：当 3x  时，   17f x  解： （I）   2f x x bx b   因为 1x  时，   1f x  故       1 1 1 1 1 1 1 0 1 f f f           ，解得 1 0b   ，故： 1x  时，   1f x  等价于     1 1 1 1 1 1 1 12 f f bf                 可解得：2 2 2 0b   （II）       1 1 0 f a b c f a b c f c           ，故解得：             1 1 2 0 2 1 1 2 0 f f fa f fb c f                                  1 1 2 0 1 1 02 2 1 1 1 1 2 02 2 f f f f fa b c f f f f f f                故       max 1 , 1 2 0 3f f f    （III）    2 6 3 8 03 3 x xf x ax bx c f f f                当 3x  时， 1, 13 3 x x   故      6 3 8 0 6 3 8 0 173 3 3 3 x x x xf x f f f f f f                             