2020年湖南省怀化市中考数学真题

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2020年湖南省怀化市中考数学真题

湖南省怀化市 2020 年中考数学真题 一、选择题(每小题的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号填涂在答题卡的 相应位置上) 1.下列数中,是无理数的是( ) A. 3 B. 0 C. 1 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】 根据无理数的三种形式求解即可. 【详解】解:-3,0, 1 3 是有理数, 7 是无理数. 故选:D. 【点睛】本题考查了无理数的知识,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无 限不循环小数,③含有π的数. 2.下列运算正确的是( ) A. 2 3 5a a a  B. 6 2 4a a a  C. 3 3 3(2 ) 6ab a b D. 2 3 6a a a  【答案】B 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项,进而可得 答案. 【详解】解:A、 2a 与 3a 不是同类项,不能合并,所以本选项计算错误,不符合题意; B、 6 2 4a a a  ,所以本选项计算正确,符合题意; C、 3 3 3 3 32 8 6ab a b a b ,所以本选项计算错误,不符合题意; D、 2 3 5 6a a a a   ,所以本选项计算错误,不符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法和乘法以及积的乘方等运算法则,属于基本题型,熟练 掌握上述基础知识是关键. 3.《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著.其中 2016 年光明日报出版社 出版的《红楼梦》有 350 万字,则“350 万”用科学记数法表示为( ) A. 63.5 10 B. 70.35 10 C. 23.5 10 D. 4350 10 【答案】A 【解析】 【分析】 科学记数法的形式是: 10 na  ,其中1 a <10, n 为整数.所以 3.5a  , n 取决于原数小数点的移动 位数与移动方向,n 是小数点的移动位数,往左移动,n 为正整数,往右移动,n 为负整数。本题小数点往 左移动到 3 的后面,所以 6.n  【详解】解:350 万 4 2 4 6350 10 3.5 10 10 3.5 10 .       故选 .A 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数,关键是在理解科学记数法的基础上确定 好 ,a n 的值,同时掌握小数点移动对一个数的影响. 4. 若一个多边形的内角和为 1080°,则这个多边形的边数为【 】 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 多边形内角和定理. 【分析】设这个多边形的边数为 n,由 n 边形的内角和等于 180°(n﹣2),即可得方程 180(n﹣2)=1080, 解此方程即可求得答案:n=8.故选 C. 5.如图,已知直线 a ,b 被直线 c 所截,且 / /a b ,若 40   ,则  的度数为( ) A. 140 B. 50 C. 60 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据对顶角相等可得∠1 的度数,再根据平行线的性质可得  的度数. 【详解】解:∵  =40°, ∴∠1=  =40°, ∵a∥b, ∴  =∠1=40°, 故选:D. 【点睛】此题主要考查了对顶角相等和平行线的性质,关键是掌握两直线平行,同位角相等. 6.小明到某公司应聘,他想了解自己入职后的工资情况,他需要关注该公司所有员工工资的( ) A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意,结合该公司所有员工工资的情况,从统计量的角度分析可得答案. 【详解】解:根据题意,小明到某公司应聘,了解这家公司的员工的工资情况,就要全面的了解中间员工 的工资水平, 故最应该关注的数据是中位数, 故选:B. 【点睛】本题考查的是平均数,众数,中位数,方差的含义,以及在实际情境中统计意义,掌握以上知识 是解题的关键. 7.在 Rt ABC 中, 90B   , AD 平分 BAC ,交 BC 于点 D , DE AC ,垂足为点 E ,若 3BD  , 则 DE 的长为( ) A. 3 B. 3 2 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 证明△ABD≌△AED 即可得出 DE 的长. 【详解】∵DE⊥AC, ∴∠AED=∠B=90°, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠EAD, 又∵AD=AD, ∴△ABD≌△AED, ∴DE=BE=3, 故选:A. 【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质,角平分线的性质,掌握全等三角形的判定定理是解题关键. 8.已知一元二次方程 2 4 0x kx   有两个相等的实数根,则 k 的值为( ) A. 4k  B. 4k   C. 4k   D. 2k   【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可得方程的判别式△=0,进而可得关于 k 的方程,解方程即得答案. 【详解】解:由题意,得:  2 16 0k     ,解得: 4k   . 故选:C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,属于基础题型,熟知一元二次方程的根的判别式与方程 根的个数的关系是解题关键. 9.在矩形 ABCD 中, AC 、 BD 相交于点O ,若 AOB 的面积为 2,则矩形 ABCD 的面积为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 根据矩形的性质得到 OA=OB=OC=OD,推出 2ADO BCO CDO ABOS S S S       ,即可求出矩形 ABCD 的 面积. 【详解】∵四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC 、 BD 相交于点O , ∴AC=BD,且 OA=OB=OC=OD, ∴ 2ADO BCO CDO ABOS S S S       , ∴矩形 ABCD 的面积为 4 8ABOS  , 故选:C. 【点睛】此题考查矩形的性质:矩形的对角线相等,且互相平分,由此可以将矩形的;面积四等分,由此 可以解决问题,熟记矩形的性质定理是解题的关键. 10.在同一平面直角坐标系中,一次函数 1 1y k x b  与反比例函数 2 2 ( 0)ky xx   的图像如图所示、则当 1 2y y 时,自变量 x 的取值范围为( ) A. 1x  B. 3x  C. 0 1x  D. 1 3x  【答案】D 【解析】 【分析】 观察图像得到两个交点的横坐标,再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段,从而可得答案. 【详解】解:由图像可得:两个交点的横坐标分别是:1,3, 所以:当 1 2y y 时,  1 3x  , 故选 D. 【点睛】本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式,掌握数型结合的方法是解题的关键. 二、填空题(请将答案直接填写在答题卡的相应位置上) 11.代数式 1 1x  有意义,则 x 的取值范围是__. 【答案】x>1 【解析】 【分析】 根据被开方式大于零列式解答即可. 【详解】解:由题意得:x﹣1>0, 解得:x>1, 故答案为 x>1. 【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围,代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考 虑:①当代数式是整式时,字母可取全体实数;②当代数式是分式时,考虑分式的分母不能为 0;③当代数 式是二次根式时,被开方数为非负数. 12.若因式分解: 3x x  __________. 【答案】   1 1x x x  【解析】 【分析】 应用提取公因式法,公因式 x,再运用平方差公式,即可得解. 【详解】解:     3 2 1 1 1x x x x x x x      【点睛】此题主要考查运用提公因式进行因式分解,平方差公式的运用,熟练掌握即可解题. 13.某校招聘教师,其中一名教师的笔试成绩是 80 分,面试成绩是 60 分,综合成绩笔试占 60%,面试占 40%, 则该教师的综合成绩为_________分. 【答案】72 【解析】 【分析】 根据综合成绩笔试占 60%,面试占 40%,即综合成绩等于笔试成绩乘以 60%,加上面试成绩乘以 40%,即 可求解. 【详解】解:根据题意知,该名老师的综合成绩为80 60% 60 40%=72   (分) 故答案为:72. 【点睛】本题考查加权平均数及其计算,是中考的常考知识点,熟练掌握其计算方法是解题的关键. 14.如图,在 ABC 和 ADC 中, AB AD , BC DC , 130B   ,则 D ________º. 【答案】130 【解析】 【分析】 证明△ABC≌△ADC 即可. 【详解】∵ AB AD , BC DC ,AC=AC, ∴△ABC≌△ADC, ∴∠D=∠B=130°, 故答案为:130. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,掌握判定定理是解题关键. 15.如图是一个几何体的三视图,根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是________(结果保留 ). 【答案】24π cm² 【解析】 【分析】 根据三视图确定该几何体是圆柱体,再计算圆柱体的侧面积. 【详解】解:先由三视图确定该几何体是圆柱体,底面半径是 4÷2=2cm,高是 6cm, 圆柱的侧面展开图是一个长方形,长方形的长是圆柱的底面周长,长方形的宽是圆柱的高, 且底面周长为:2π×2=4π(cm), ∴这个圆柱的侧面积是 4π×6=24π(cm²). 故答案为:24π cm². 【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积,关键是根据三视图确定该几何体是圆 柱体. 16.如图, 1 1OB A△ , 1 2 2A B A△ , 2 3 3A B A△ ,…, 1n n nA B A△ ,都是一边在 x 轴上的等边三角形,点 1B , 2B , 3B ,…, nB 都在反比例函数 3 ( 0)y xx   的图象上,点 1A , 2A , 3A ,…, nA ,都在 x 轴上,则 nA 的坐标为________. 【答案】  2 ,0n 【解析】 【分析】 如图,过点 B1 作 B1C⊥x 轴于点 C,过点 B2 作 B2D⊥x 轴于点 D,过点 B3 作 B3E⊥x 轴于点 E,先在△OCB1 中,表示出 OC 和 B1C 的长度,表示出 B1 的坐标,代入反比例函数,求出 OC 的长度和 OA1 的长度,表示 出 A1 的坐标,同理可求得 A2、A3 的坐标,即可发现一般规律. 【详解】如图,过点 B1 作 B1C⊥x 轴于点 C,过点 B2 作 B2D⊥x 轴于点 D,过点 B3 作 B3E⊥x 轴于点 E, ∵△OA1B1 为等边三角形, ∴∠B1OC=60°, ∴ 1 1 B Ctan B OC= = 3OC ∠ ,B1C= 3 OC, 设 OC 的长度为 x,则 B1 的坐标为( , 3x x ),代入函数关系式可得: 23 3x  , 解得,x=1 或 x=-1(舍去), ∴OA1=2OC=2, ∴A1(2,0) 设 A1D 的长度为 y,同理,B2D 为 3 y,B2 的坐标表示为 2 , 3y y , 代入函数关系式可得 2 3 3y y  , 解得:y= 2 1 或 y= 2 1  (舍去) ∴A1D= 2 1 ,A1A2= 2 2 2 ,OA2= 2 2 2 2 2 2   ∴A2( 2 2 ,0) 设 A2E 的长度为 z,同理,B3E 为 3 z,B3 的坐标表示为 2 2 , 3z z , 代入函数关系式可得 2 2 3 3z z  , 解得:z= 3 2 或 z= 3 2  (舍去) ∴A2E= 3 2 ,A2A3= 2 3 2 2 ,OA3= 2 2 2 3 2 2 2 3   ∴A3( 2 3 ,0), 综上可得:An( 2 n ,0), 故答案为:  2 ,0n . 【点睛】本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角 三角形,灵活运用各类知识求出 A1、A2、A3 的坐标是解题的关键. 三、解答题 17.计算: 28 2 2cos45 | 2 2 |     【答案】 9 .4 【解析】 【分析】 按照公式 1 ( 0)p pa aa    、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算,最后计算加减 即可. 【详解】解:原式= 2 1 22 2+ 2 2 22 2     12 2+ 2 2 24     1 24   9 4  . 故答案为 9 .4 【点睛】本题主要考查实数的运算,解题的关键是掌握零指数幂、负指数幂公式、熟记特殊锐角三角函数 值及二次根式与绝对值的性质等. 18.先化简,再求值: 2 1 1 2 1 1 1 x x x x        ,然后从 1 ,0,1 中选择适当的数代入求值. 【答案】 2 2x+ ,1. 【解析】 【分析】 根据分式的运算法则进行运算求解,最后代入 0x  求值即可. 【详解】原式 1 1 2 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x x              1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2            x x x x x x x 2 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2          x x x x x 2 2x   . ∵x+1≠0 且 x-1≠0 且 x+2≠0, ∴x≠-1 且 x≠1 且 x≠-2, 当 0x  时,分母不为 0,代入: 原式 2 =10 2   . 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算,注意运算顺序为:先算乘除,再算加减,有括号先算括号内 的;另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为 0. 19.为了丰富学生们的课余生活,学校准备开展第二课堂,有四类课程可供选择,分别是“A.书画类、B.文 艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查,并根据调查结果 绘制了两幅不完整的统计图,请你根据图表信息回答下列问题: (1)本次被抽查的学生共有_____________名,扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为 ___________度; (2)请你将条形统计图补全; (3)若该校七年级共有 600 名学生,请根据上述调查结果估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有 多少名? (4)本次调查中抽中了七(1)班王芳和小颖两名学生,请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目 的概率. 【答案】(1)50,72;(2)见解析;(3)96 名;(4) 1 4 . 【解析】 【分析】 (1)用条形统计图中 D 类的人数除以扇形统计图中 D 类所占百分比即可求出被抽查的总人数,用条形统 计图中 A 类的人数除以总人数再乘以 360°即可求出扇形统计图中 A 类所占扇形的圆心角的度数; (2)用总人数减去其它三类人数即得 B 类人数,进而可补全条形统计图; (3)用 C 类人数除以总人数再乘以 600 即可求出结果; (4)先利用列表法求出所有等可能的结果数,再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数,然后 根据概率公式计算即可. 【详解】解:(1)本次被抽查的学生共有:20÷40%=50 名,扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的 度数为 10 360 7250     ; 故答案为:50,72; (2)B 类人数是:50-10-8-20=12 名,补全条形统计图如图所示: (3) 8 600 9650   名, 答:估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有 96 名; (4)所有可能的情况如下表所示: 由表格可得:共有 16 种等可能的结果,其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有 4 种, ∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率 4 1 16 4   . 【点睛】本题是统计与概率类综合题,主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次 事件的概率等知识,属于常考题型,正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键. 20.如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度,在距离古树 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为 30°,然后 向古树底端 C 步行 20 米到达点 B 处,测得古树顶端 D 的仰角为 45°,且点 A、B、C 在同一直线上求古树 CD 的高度.(已知: 2 1.414, 3 1.732  ,结果保留整数) 【答案】27 米 【解析】 【分析】 设 CB=CD=x,根据 tan30°= CD CA 即可得出答案. 【详解】解:由题意可知,AB=20,∠DAB=30°,∠C=90°,∠DBC=45°, ∵△BCD 是等腰直角三角形, ∴设 CB=CD=x, tan30°= 20 CD CD x CA AB CB x    = 3 3 , 解得 x=10 3 +10≈10×1.732+10=27.32≈27, ∴CD=27, 答:CD 的高度为 27 米. 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用,等腰三角形的性质,构造直角三角形是解题关键. 21.定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形. (1)下面四边形是垂等四边形的是____________(填序号) ①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形 (2)图形判定:如图 1,在四边形 ABCD 中, AD ∥ BC , AC BD ,过点 D 作 BD 垂线交 BC 的延长 线于点 E,且 45DBC  ,证明:四边形 ABCD 是垂等四边形. (3)由菱形面积公式易知性质:垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用:在图 2 中,面积为 24 的垂等四边形 ABCD 内接于⊙O 中, 60BCD   .求⊙O 的半径. 【答案】(1)④;(2)证明过程见解析;③4 【解析】 【分析】 (1)根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可; (2)根据已知条件可证明四边形 ACED 是平行四边形,即可得到 AC=DE,再根据等腰直角三角形的性质 即可得到结果; (3)过点 O 作OE BD ,根据面积公式可求得 BD 的长,根据垂径定理即可得到答案. 【详解】(1)①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等,故不是;②矩形对角线相等但不垂直;③ 菱形的对角线互相垂直但不相等;④正方形的对角线互相垂直且相等,故正方形是垂等四边形; (2)∵ AC BD , ED BD , ∴AC∥DE, 又∵ AD ∥ BC , ∴四边形 ADEC 是平行四边形, ∴AC=DE, 又∵ 45DBC  , ∴△BDE 是等腰直角三角形, ∴BD=DE, ∴BD=AC, ∴四边形 ABCD 是垂等四边形. (3)如图,过点 O 作OE BD , ∵四边形 ABCD 是垂等四边形, ∴AC=BD, 又∵垂等四边形的面积是 24,,根据垂等四边形的面积计算方法得: 4 3AC BD  , 又∵ 60BCD   , ∴ 60DOE   , 设半径为 r,根据垂径定理可得: 在△ODE 中,OD=r,DE= 2 3 , ∴ 2 3 4sin 60 3 2 DEr    , ∴ O 的半径为 4. 【点睛】本题主要考查了四边形性质与圆的垂径定理应用,准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的 关键. 22.某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共 20 台,已知甲型平板电脑进价 1600 元,售价 2000 元; 乙型平板电脑进价为 2500 元,售价 3000 元. (1)设该商店购进甲型平板电脑 x 台,请写出全部售出后该商店获利 y 与 x 之间函数表达式. (2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过 39200 元,全部售出所获利润不低于 8500 元,请设计出 所有采购方案,并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润. 【答案】(1)y=-100x+10000;(2)共有四种采购方案:①甲型电脑 12 台,乙型电脑 8 台,②甲型电脑 13 台,乙型电脑 7 台,③甲型电脑 14 台,乙型电脑 6 台,④甲型电脑 15 台,乙型电脑 5 台,采购甲型电脑 12 台,乙型电脑 8 台时商店获得最大利润,最大利润是 8800 元. 【解析】 【分析】 (1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可; (2)根据题意列不等式组,求出解集,根据解集即可得到四种采购方案,由(1)的函数关系式得到当 x 取最 小值时,y 有最大值,将 x=12 代入函数解析式求出结果即可. 【详解】(1)由题意得:y=(2000-1600)x+(3000-2500)(20-x)=-100x+10000, ∴全部售出后该商店获利 y 与 x 之间函数表达式为 y=-100x+10000; (2)由题意得: 1600 2500(20 ) 39200 400 500(20 ) 8500 x x x x        , 解得12 15x  , ∵x 为正整数, ∴x=12、13、14、15, 共有四种采购方案: ①甲型电脑 12 台,乙型电脑 8 台, ②甲型电脑 13 台,乙型电脑 7 台, ③甲型电脑 14 台,乙型电脑 6 台, ④甲型电脑 15 台,乙型电脑 5 台, ∵y=-100x+10000,且-100<0, ∴y 随 x 的增大而减小, ∴当 x 取最小值时,y 有最大值, 即 x=12 时,y 最大值= 100 12 10000 8800    , ∴采购甲型电脑 12 台,乙型电脑 8 台时商店获得最大利润,最大利润是 8800 元. 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用,不等式组的应用,方案问题的解决方法,正确理解题意,根据 题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键. 23.如图,在⊙O 中,AB 为直径,点 C 为圆上一点,延长 AB 到点 D,使 CD=CA,且 30D   . (1)求证: CD 是⊙O 的切线. (2)分别过 A、B 两点作直线 CD 的垂线,垂足分别为 E、F 两点,过 C 点作 AB 的垂线,垂足为点 G.求 证: 2CG AE BF  . 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)连接 OC,∠CAD=∠D=30°,由 OC=OA,进而得到∠OCA=∠CAD=30°,由三角形外角定理得到 ∠COD=∠A+∠OCA=60°,在△OCD 中由内角和定理可知∠OCD=90°即可证明; (2)证明 AC 是∠EAG 的角平分线,CB 是∠FCG 的角平分线,得到 CE=CG,CF=CG,再证明△AEC∽△CFB, 对应线段成比例即可求解. 【详解】解:(1)连接 OC,如下图所示: ∵CA=CD,且∠D=30°, ∴ ∠CAD=∠D=30°, ∵ OA=OC, ∴ ∠CAD=∠ACO=30°, ∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°, ∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°, ∴ OC⊥CD, ∴ CD 是⊙O 的切线. (2)连接 BC,如下图所示: ∵∠COB=60°,且 OC=OB, ∴△OCB 为等边三角形,∠CBG=60°, 又 CG⊥AD,∴∠CGB=90°, ∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°, 又∠GCD=60°, ∴CB 是∠GCD 的角平分线,且 BF⊥CD,BG⊥CG, ∴BF=BG, 又 BC=BC, ∴△BCG≌△BCF, ∴CF=CG. ∵∠D=30°,AE⊥ED,∠E=90°, ∴∠EAD=60°, 又∠CAD=30°, ∴AC 是∠EAG的角平分线,且 CE⊥AE,CG⊥AB ∴CE=CG, ∵∠E=∠BFC=90°,∠EAC=30°=∠BCF, ∴△AEC∽△CFB, ∴ AE CE CF BF  ,即   AE BF CF CE , 又 , CE CG CF CG , ∴ 2 AE BF CG . 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等,属于中考常考题 型,熟练掌握切线性质、角平分线性质是解决此题的关键. 24.如图所示,抛物线 2 2 3y x x   与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C,点 M 为抛物线的顶点. (1)求点 C 及顶点 M 的坐标. (2)若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点,连接 BN CN、 求 BCN△ 面积的最大值及此时点 N 的坐 标. (3)若点 D 是抛物线对称轴上的动点,点 G 是抛物线上的动点,是否存在以点 B、C、D、G 为顶点的四 边形是平行四边形.若存在,求出点 G 的坐标;若不存在,试说明理由. (4)直线 CM 交 x 轴于点 E,若点 P 是线段 EM 上的一个动点,是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与 ABC 相似.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) (0,-3),(1,-4);(2) 27 8 ,( 3 15,2 4  );(3) G 点坐标存在,为(2,-3)或(4,5)或(-2,1);(4) P 点坐 标存在,为 3 9( , )4 4   或 ( 1, 2)  . 【解析】 【分析】 (1)令抛物线解析式中 x=0 即可求出 C 点坐标,由公式 24( , )2 4 b ac b a a  即可求出顶点 M 坐标; (2)如下图所示,过 N 点作 x 轴的垂线交直线 BC 于 Q 点,设 N( 2, 2 3 n n n ),求出 BC 解析式,进而得 到 Q 点坐标,最后根据 =  BCN NQC NQBS S S 即可求解; (3)设 D 点坐标为(1,t),G 点坐标为( 2, 2 3m m m  ),然后分成①DG 是对角线;②DB 是对角线;③DC 是 对角线时三种情况进行讨论即可求解; (4)连接 AC,由 CE=CB 可知∠B=∠E,求出 MC 的解析式,设 P(x,-x-3),然后根据△PEO 相似△ABC,分 成 EO EP BA BC 和 EO EP BC BA 讨论即可求解. 【详解】解:(1)令 2 2 3y x x   中 x=0,此时 y=-3,故 C 点坐标为(0,-3), 又二次函数的顶点坐标为 24( , )2 4 b ac b a a  ,代入数据解得 M 点坐标为 (1, 4) , 故答案为:C 点坐标为(0,-3), M 点坐标为(1,-4); (2) 过 N 点作 x 轴的垂线交直线 BC 于 Q 点,连接 BN,CN,如下图所示: 令 2 2 3y x x   中 y=0,解得 B(3,0),A(-1,0), 设直线 BC 的解析式为: y ax b  ,代入 C(0,-3),B(3,0), ∴ 3 0 3      b a b ,解得 1 3     a b ,即直线 BC 的解析式为: 3y x  , 设 N 点坐标为( 2, 2 3 n n n ),故 Q 点坐标为 ( , 3)n n  ,其中 0 3n  , 则 1 1= = ( ) ( )2 2         BCN NQC NQB Q C B QS S S QN x x QN x x 1= ( + )2    Q C B QQN x x x x 1= ( )2   B CQN x x ,其中 , ,Q C Bx x x 分别表示 Q,C,B 三点的横坐标, 且 2 2( 3) ( 2 3) 3       QN n n n n n , 3 B Cx x , 故 2 2 21 3 9 3 3 27= ( 3 ) 3 ( )2 2 2 2 2 8           BCNS n n n n n ,其中 0 3n  , 当 3 2n  时, BCNS 有最大值为 27 8 , 此时 N 的坐标为( 3 15,2 4  ), 故答案为: BCNS 有最大值为 27 8 ,N 的坐标为( 3 15,2 4  ); (3) 设 D 点坐标为(1,t),G 点坐标为( 2, 2 3m m m  ),且 B(3,0),C(0,-3) 分类讨论: 情况①:当 DG 为对角线时,则另一对角线是 BC,由中点坐标公式可知: 线段 DG 的中点坐标为 ( , )2 2  D G D Gx x y y ,即 21 2 3( , )2 2    m t m m , 线段 BC 的中点坐标为 ( , )2 2  B C B Cx x y y ,即 3 0 0 3( , )2 2   , 此时 DG 的中点与 BC 的中点为同一个点, 故 2 1+ 3 2 2 2 3 3 2 2        m t m m ,解得 2 0    m t , 检验此时四边形 DCGB 为平行四边形,此时 G 坐标为(2,-3); 情况②:当 DB 为对角线时,则另一对角线是 GC,由中点坐标公式可知: 线段 DB 的中点坐标为 ( , )2 2  D B D Bx x y y ,即 1 3 0( , )2 2  t , 线段 GC 的中点坐标为 ( , )2 2  G C G Cx x y y ,即 20 2 3 3( , )2 2    m m m , 此时 DB 的中点与 GC 的中点为同一个点, 故 2 1+3 0 2 2 0 2 3 3 2 2        m t m m ,解得 4 2    m t , 检验此时四边形 DCBG 为平行四边形,此时 G 坐标为(4,5); 情况③:当 DC 为对角线时,则另一对角线是 GB,由中点坐标公式可知: 线段 DC 的中点坐标为 ( , )2 2  D C D Cx x y y ,即 1 0 3( , )2 2  t , 线段 GB 的中点坐标为 ( , )2 2  G B G Bx x y y ,即 23 2 3 0( , )2 2    m m m , 此时 DB 的中点与 GC 的中点为同一个点, 故 2 1+0 3 2 2 3 2 3 0 2 2        m t m m ,解得 2 8     m t , 检验此时四边形 DGCB 为平行四边形,此时 G 坐标为(-2,1); 综上所述,G 点坐标存在,为(2,-3)或(4,5)或(-2,1); (4) 连接 AC,OP,如下图所示, 设 MC 的解析式为:y=kx+m,代入 C(0,-3),M(1,-4) 即 3 4      m k m ,解得 1 3      k m ∴MC 的解析式为: 3y x   ,令 0y  ,求得 E 点坐标为(-3,0), ∴OE=OB=3,且 OC=OC, ∴CE=CB,即∠B=∠E, 设 P(x,-x-3),又∵P 点在线段 EC 上,∴-3
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