高考复习相遇及追及问题

高考复习相遇及追及问题

‎2003年高考复习第十三节－－相遇及追及问题 教学目标：1、进一步理解和掌握相遇及追及问题的解题方法 ‎2、能灵活分析、解决相遇及追及问题 教学重点：物理过程的分析 教学难点：知识的灵活运用 一．相遇及追及问题 ‎　 1．特点：‎ ‎　　 追及问题是两个物体运动的问题。两个物体的速度相等往往是解题的关键，此时两物体间的距离可能最大，也可能最小。‎ ‎　 2．解题方法：‎ ‎　　 选同一坐标原点、同一正方向、同一计时起点，分别列出两个物体的位移方程及速度方程。‎ ‎　　 解题的关键是找出两物体间位移关系、速度关系。‎ ‎　　 当位移相等时，两物体相遇；两物体速度相等时，两物体相距最远或最近。这类问题如能选择好参照物，可使解题过程大大简化。巧用运动图象亦可使解题过程大大简化。‎ 例1、车从静正开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。‎ ‎　 解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t。当人追上车时，两者之间的位关系为：‎ ‎　　　　　 s人+s0=s车 即：　　　 v人t+ s0= at2／2‎ 由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。‎ 代入数据并整理得：‎ ‎　　　　　 t2－12t+50=0‎ ‎　　　　　 △=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0‎ 所以，人追不上车。‎ 在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速当于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。‎ ‎　　　 at′=6‎ t′=6s 在这段时间里，人、车的位移分别为：‎ ‎　　　　　 s人=v人t=6×6=36m ‎　　　　　 s车=at′2/2=1×62/2=18m ‎　　　　　 △s=s0+s车－s人=25+18－36=7m 练习：A、B两质点从同一位置沿同一方向同时开始运动，其v—t图线如图所示，则A、B相距最远的距离是______m，______s末B追上A，B追上A时的速度大小是_____m/s。‎ 解：9m；6s；12m/s ‎　 例2、甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车？‎ ‎　 分析：乙此追上甲车可能有两种不同情况：甲车停止前被追及和甲车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。‎ ‎　 解答：设经时间t追上。依题意：‎ ‎　　　　　　 v甲t-at2/2+L=v乙t ‎15t-t2/2+32=9t ‎　　　　　　 t=16s　　 t=-4s(舍去)‎ ‎　　　　甲车刹车的时间 ‎　　　　　　 t′=v0/a=15s ‎　　　　显然，甲车停止后乙再追上甲。‎ ‎　　　　甲车刹车的位移 ‎　　　　　　 s甲=v02/2a=152/2=112.5m ‎　　　　乙车的总位移 ‎　　　　　　 s乙=s甲+32=144.5m ‎　　　　　　 t=s乙/v乙=144.5/9=16.06s 二．避碰问题 两物体恰能“避碰”的条件是：两物体在同一位置时，两物体的相对速度为0。‎ 例、(《金版教程》P65 例3)为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离．已知某高速公路的最高限速v＝120km／h．假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t＝0.50s．刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重力的0.40倍．该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？取重力加速度g=10m／s2．(99·全国)‎ 解析：相遇时，若后车与前车速度相等，则不会出相危险。‎ 后车匀速运动的位移　　 s1=v0t=50/3 m 后车的加速度　　　　　 a=f/m=μg=4m/s2‎ 后车匀减速的位移　　　 s2=v02/2a=138.9m 汽车间距　　　　　　　 s=s1+s2=155.6m 三．求解追击问题的常用方法 ‎(《金版教程》P62)‎ ‎1、通过运动过程的分析，找到隐含条件，从而顺利列方程求解，例如：‎ ‎⑴、匀减速物体追赶同向匀速物体时，能追上或恰好追不上的临界条件：‎ 即将靠近时，追赶者速度等于被追赶者速度（即当追赶者速度大于被追赶者速度时，能追上；当追赶者速度小于被追赶者速度时，追不上）‎ ‎⑵、初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体时，追上前两者具有最大距离的条件：追赶者的速度等于被追赶者的速度。‎ ‎2．利用二次函数求极值的数学方法，根据物理现象，列方程求解。‎ ‎3．在追击问题中还常常用到求“面积”的方法，它可以达到化繁为简，化难为易，直观形象的效果。‎ 例1、甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4m／s的速度，a2=1m／s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。‎ 解法一：‎ 两车同时同向出发，开始一段由于甲车速度大于乙车速度，将使两车距离拉开，由于甲车作匀减速运动，乙车作加速运动，总有某一时刻两车速度相同，此时两车相距最远，随着甲车进一步减速，乙车进一步加速，动车速度大于甲车速度，使两车距离变小，当乙车追上甲车时．两车运动位移相同。‎ 当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为t1，两车速度为v 对甲车：　　 v=v1+a1t1‎ 对乙车：　　 v=v2+a2t1‎ 两式联立得　 t1=(v1-v2)/(a1-a2)=4s 此时两车相距 △s=s1-s2=(v1t1+a1t12/2)- (v2t1+a2t12/2)=24m 当乙车追上甲车时，两车位移均为s，运动时间为t．则：‎ ‎　　　　　　　 v1t+a1t2/2=v2t2+a2t2/2‎ 得　　　　　　 t=8s　 或t=0(出发时刻，舍去。)‎ 解法二：‎ 甲车位移　　　 s1= v1t+a1t2/2‎ 乙车位移　　　 s2= v2t2+a2t2/2‎ 某一时刻两车相距为△s ‎　　　　　　　 △s=s1-s2= (v1t+a1t2/2)-(v2t2+a2t2/2)‎ ‎　　　　　　　　 =12t-3t2/2‎ 当t=-b/2a时，即t=4s时，两车相距最远 ‎　　　　　　△s=12×4-3×42/2=24m 当两车相遇时，△s=0，即12t-3t2/2=0‎ ‎∴　　　　　　 t=8s　 或t=0(舍去)‎ 例2、《金版教程》P62 例8‎ 例3、(《金版教程》P52 例6)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？　 ‎ 解法一、利用二次函数极值法求解 设经过时间t汽车和自行车之间的距离ΔS，由如图1可得 ΔS = S自 - S汽 = ‎ v自t - at2 =6t -t2　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ 二次函数求极值的条件可知：‎ 当t= -=（s）= 2（s）时两车之间的距离有极大值，且ΔSma x =6×2 -×22 =6（m）‎ 解法二、利用分析法求解 自行车在追击汽车的前一阶段过程中，由于汽车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来越大；当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小，很显然，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。 ‎ 由上述分析可知当两车之间的距离最大时有 ‎ v汽 =at = v自 ‎ ‎　　 ∴ t ==（s）=2（s）‎ ‎　　 ∵ΔSma x = S自 - S汽 　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎∴ΔSma x = v自t - at2 =6×2 -×22 =6（m）　　　　　 ‎ 解法三、利用图象求解 Ⅱ θ 在同一V---t图中画出自行车和汽车的速度图线，如图2所示，其中Ⅰ表示自行车的速度图线，Ⅱ表示汽车的速度图线，自行车的位移S自等于图线Ⅰ与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移S汽 则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大，‎ 即：　　 ΔSma x =6t0 - t0×6　　　 （1）‎ 因为汽车的速度图线的斜率等于汽车的加速度大小 ‎∴tgθ==a ‎∴ t0 ==（s）=2（s）　（2）‎ 由上面（1）、（2）两式可得ΔSma x =6 （m）‎ 解法四、利用相对运动求解 选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v相初 = 6m/s，a相 = -3 m/s2， v相末 = 0 。 ‎ 由公式 2a相S相 = v相末2- v相初2 得 ‎　　　　　　 S相 == =6（m）‎ 练习：1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a1=20m/s2，B车晚3s启动，加速度a2=30m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？‎ 解一、两车速度相等时，相距最远。‎ ‎　　　　 a1t=a2(t-3)‎ 得　　　 t=9s ‎∴　　　 △s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=270m 解二、　 △s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=-5t2+90t-135=-5(t2-18t+27)‎ 二次项系数为负，有极大值。‎ ‎　　　　 △s=-5(t-9)2+270‎ 当t=9s时，△s有极大值 ‎　　　　 △s=270m 解三、用图象法求。‎ 作出v—t图如图。由图可知，在t=9s时相遇。△s即为图中斜三角形的面积。‎ ‎　　　　 △s=3×180/2=270m ‎2、A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v2=10m/s，A车在后，车速72km/h，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。‎ 解一：作物理情景示意图如图所示。‎ 对A：　　　 s1=v1t-at2/2 ①　　 v2=v1-at　 ②‎ 对B：　　　 s2=v2t　　　 ③‎ 且　　　　　 s1-s2=100m 由①、③得　 100=20t-at2/2-10t=10t-at2/2　 ④‎ 由②、④得　 t=20s　 a=0.5m/s2‎ 解二、利用平均速度公式。‎ ‎　　　　　　 s1=(v1+v2)t/2=15t ‎　　　　　s2=v2t=10t ‎　　　　　　 s1-s2=15t-10t=100‎ ‎∴　　　　　 t=20s 由v2=v1-at得 a=0.5m/s2‎ 解三、作出v—t图，如图。‎ 图中三角形面积表示A车车速由20m/s到10m/s时，A比B多之的位移，即s1-s2=100m。‎ ‎　　　 100=10×t/2　 ∴　　 t=20s ‎　　　 |a|=tgθ=1/2=0.5m/s2‎ 解四、以B车为参照物，用相对运动求解。‎ A相对于B车的初速度为10m/s，A以a减速，行驶100m后“停下”，跟B相遇而不相撞。‎ ‎　　　　　 vt2=v02-2as ‎0=102-2a100‎ a=0.5m/s2‎ v2=v1-at 得　　　 t=20s 教学后记：‎