中考数学试题分类汇编考点36：相似三角形

中考数学试题分类汇编考点36：相似三角形

中考数学试题分类汇编：考点 36 相似三角形 一．选择题（共 28 小题） 1．（2018•重庆）制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方 米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大 后长方形广告牌的成本是（ ） A．360 元 B．720 元 C．1080 元 D．2160 元 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求 出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可． 【解答】解：3m×2m=6m2， ∴长方形广告牌的成本是 120÷6=20 元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍， 则面积扩大为原来的 9 倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是 54×20=1080m2， 故选：C． 2．（2018•玉林）两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（ ） A． ： B．2：3 C．4：9 D．8：27 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵两三角形的相似比是 2：3， ∴其面积之比是 4：9， 故选：C． 3．（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长 分别为 5cm，6cm 和 9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为 （ ） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得． 【解答】解：设另一个三角形的最长边长为 xcm， 根据题意，得： = ， 解得：x=4.5， 即另一个三角形的最长边长为 4.5cm， 故选：C． 4．（2018•内江）已知△ABC 与△A1B1C1 相似，且相似比为 1：3，则△ABC 与△ A1B1C1 的面积比为（ ） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可． 【解答】解：已知△ABC 与△A1B1C1 相似，且相似比为 1：3， 则△ABC 与△A1B1C1 的面积比为 1：9， 故选：D． 5．（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为 2，且△ABC 的面积为 16， 则△DEF 的面积为（ ） A．32 B．8 C．4 D．16 【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为 2，根据相似三角形的面积的比等于相似比 的平方，即可得△ABC 与△DEF 的面积比为 4，又由△ABC 的面积为 16，即可求 得△DEF 的面积． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为 2， ∴△ABC 与△DEF 的面积比为 4， ∵△ABC 的面积为 16， ∴△DEF 的面积为：16× =4． 故选：C． 6．（2017•重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为 1：2，则△ABC 与△DEF 的 面积比为（ ） A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为 1：2， ∴△ABC 与△DEF 的面积比为 1：4， 故选：A． 7．（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影 部分）与△ABC 相似的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°， A、C、D 图形中的钝角都不等于 135°， 由勾股定理得，BC= ，AC=2， 对应的图形 B 中的边长分别为 1 和 ， ∵ = ， ∴图 B 中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似， 故选：B． 8．（2018•广东）在△ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则△ADE 与 △ABC 的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【分析】由点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，可得出 DE 为△ABC 的中位线，进 而可得出 DE∥BC 及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE 与 △ABC 的面积之比． 【解答】解：∵点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ =（ ）2= ． 故选：C． 9．（2018•自贡）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若△ADE 的面积为 4，则△ABC 的面积为（ ） A．8 B．12 C．14 D．16 【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DE∥BC，DE= BC，再利用相似三角形 的判定与性质得出答案． 【解答】解：∵在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE∥BC，DE= BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵ = ， ∴ = ， ∵△ADE 的面积为 4， ∴△ABC 的面积为：16， 故选：D． 10．（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE： EC=3：1，连接 AE 交 BD 于点 F，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方 即可得出答案． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选：B． 11．（2018•随州）如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分， 则 的值为（ ） A．1 B． C． 1 D． 【分析】由 DE∥BC 可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合 S△ADE=S 四边形 BCED，可得出 = ，结合 BD=AB﹣AD 即可求出 的值，此题得解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴（ ）2= ． ∵S△ADE=S 四边形 BCED， ∴ = ， ∴ = = = ﹣1． 故选：C． 12．（2018•哈尔滨）如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线 段 AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定 正确的是（ ） A． = B． = C． = D． = 【分析】由 GE∥BD、GF∥AC 可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似 三角形的性质即可找出 = = ，此题得解． 【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC， ∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA， ∴ = ， = ， ∴ = = ． 故选：D． 13．（2018•遵义）如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10， 连接 AC、BD，以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E．若 DE=3，则 AD 的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】先求出 AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设 DF=x，AD= x，利用 勾股定理求出 BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论． 【解答】解：如图，在 Rt△ABC 中，AB=5，BC=10， ∴AC=5 过点 D 作 DF⊥AC 于 F， ∴∠AFD=∠CBA， ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠ACB， ∴△ADF∽△CAB， ∴ ， ∴ ， 设 DF=x，则 AD= x， 在 Rt△ABD 中，BD= = ， ∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°， ∴△DEF∽△DBA， ∴ ， ∴ ， ∴x=2， ∴AD= x=2 ， 故选：D． 14．（2018•扬州）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰 Rt△ABC 和等 腰 Rt△ADE，CD 与 BE、AE 分别交于点 P，M．对于下列结论： ①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ） A．①②③ B．① C．①② D．②③ 【分析】（1）由等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 三边份数关系可证； （2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD 即可； （3）2CB2 转化为 AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证． 【解答】解：由已知：AC= AB，AD= AE ∴ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴ ∴MP•MD=MA•ME 所以②正确 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD ∴P、E、D、A 四点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90° ∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP•CM ∵AC= AB ∴2CB2=CP•CM 所以③正确 故选：A． 15．（2018•贵港）如图，在△ABC 中，EF∥BC，AB=3AE，若 S 四边形 BCFE=16，则 S △ABC=（ ） A．16 B．18 C．20 D．24 【分析】由 EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则 S△ABC 的值． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AB=3AE， ∴AE：AB=1：3， ∴S△AEF：S△ABC=1：9， 设 S△AEF=x， ∵S 四边形 BCFE=16， ∴ = ， 解得：x=2， ∴S△ABC=18， 故选：B． 16．（2018•孝感）如图，△ABC 是等边三角形，△ABD 是等腰直角三角形，∠ BAD=90°，AE⊥BD 于点 E，连 CD 分别交 AE，AB 于点 F，G，过点 A 作 AH⊥CD 交 BD 于点 H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△ CBG；⑤AF=（ ﹣1）EF．其中正确结论的个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD 是等腰三角形且顶角∠ CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP 和∠FAG 度数，从而得出∠AGF 度数，据 此可判断；③证△ADF≌△BAH 即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证；⑤设 PF=x，则 AF=2x、AP= = x，设 EF=a，由△ADF≌△ BAH 知 BH=AF=2x，根据△ABE 是等腰直角三角形之 BE=AE=a+2x，据此得出 EH=a， 证△PAF∽△EAH 得 = ，从而得出 a 与 x 的关系即可判断． 【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD 是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°， 由∠AFG≠∠AGF 知 AF≠AG，故②错误； 记 AH 与 CD 的交点为 P， 由 AH⊥CD 且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF 和△BAH 中， ∵ ， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确； ∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确； 在 Rt△APF 中，设 PF=x，则 AF=2x、AP= = x， 设 EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x， △ABE 中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a， ∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴ = ，即 = ， 整理，得：2x2=（ ﹣1）ax， 由 x≠0 得 2x=（ ﹣1）a，即 AF=（ ﹣1）EF，故⑤正确； 故选：B． 17．（2018•泸州）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G，若 AE=3ED，DF=CF，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【分析】如图作，FN∥AD，交 AB 于 N，交 BE 于 M．设 DE=a，则 AE=3a，利用 平行线分线段成比例定理解决问题即可； 【解答】解：如图作，FN∥AD，交 AB 于 N，交 BE 于 M． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥CD，∵FN∥AD， ∴四边形 ANFD 是平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形 ANFD 是解析式， ∵AE=3DE，设 DE=a，则 AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN= a， ∴FM= a， ∵AE∥FM， ∴ = = = ， 故选：C． 18．（2018•临安区）如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，若 AD=4，DB=2，则 DE：BC 的值为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三 角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ = = = ． 故选：A． 19．（2018•恩施州）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点．已知 FG=2，则线段 AE 的长度为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据正方形的性质可得出 AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相 似三角形的性质可得出 = =2，结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度，由 CG∥AB、 AB=2CG 可得出 CG 为△EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的 长度，此题得解． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴ = =2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG 为△EAB 的中位线， ∴AE=2AG=12． 故选：D． 20．（2018•杭州）如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，DE∥BC，与边 AC 交于 点 E，连结 BE．记△ADE，△BCE 的面积分别为 S1，S2（ ） A．若 2AD＞AB，则 3S1＞2S2 B．若 2AD＞AB，则 3S1＜2S2 C．若 2AD＜AB，则 3S1＞2S2 D．若 2AD＜AB，则 3S1＜2S2 【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的 平方解答． 【解答】解：∵如图，在△ABC 中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ =（ ）2， ∴若 2AD＞AB，即 ＞ 时， ＞ ， 此时 3S1＞S2+S△BDE，而 S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定 3S1 与 2S2 的大小， 故选项 A 不符合题意，选项 B 不符合题意． 若 2AD＜AB，即 ＜ 时， ＜ ， 此时 3S1＜S2+S△BDE＜2S2， 故选项 C 不符合题意，选项 D 符合题意． 故选：D． 21．（2018•永州）如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，∠ADC=∠ACB， AD=2，BD=6，则边 AC 的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得 = ，即 AC2=AD•AB，由此即可解决 问题； 【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB， ∴△ADC∽△ACB， ∴ = ， ∴AC2=AD•AB=2×8=16， ∵AC＞0， ∴AC=4， 故选：B． 22．（2018•香坊区）如图，点 D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、AC、BC 上的点， 若 DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（ ） A． = B． = C． = D． = 【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴ ， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ， ∵EF∥AB， ∴ ， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴ ， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形 BDEF 是平行四边形， ∴DE=BF，EF=BD， ∴ ， ， ， ， ∴ 正确， 故选：C． 23．（2018•荆门）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E、F 为 CD 边的两个三 等分点，连接 AF、BE 交于点 G，则 S△EFG：S△ABG=（ ） A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题； 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD=AB，CD∥AB， ∵DE=EF=FC， ∴EF：AB=1：3， ∴△EFG∽△BAG， ∴ =（ ）2= ， 故选：C． 24．（2018•达州）如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE=CF= AC．连 接 DE，DF 并延长，分别交 AB，BC 于点 G，H，连接 GH，则 的值为（ ） A． B． C． D．1 【分析】首先证明 AG：AB=CH：BC=1：3，推出 GH∥AC，推出△BGH∽△BAC， 可得 = =（ ）2=（ ）2= ， = ，由此即可解决问题． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC，DC=AB， ∵AC=CA， ∴△ADC≌△CBA， ∴S△ADC=S△ABC， ∵AE=CF= AC，AG∥CD，CH∥AD， ∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3， ∴AG：AB=CH：BC=1：3， ∴GH∥AC， ∴△BGH∽△BAC， ∴ = =（ ）2=（ ）2= ， ∵ = ， ∴ = × = ， 故选：C． 25．（2018•南充）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，P 为 CD 的中点，连结 AP， 过点 B 作 BE⊥AP 于点 E，延长 CE 交 AD 于点 F，过点 C 作 CH⊥BE 于点 G，交 AB 于点 H，连接 HF．下列结论正确的是（ ） A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF•CF 【分析】首先证明 BH=AH，推出 EG=BG，推出 CE=CB，再证明△CEH≌△CBH， Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断． 【解答】解：连接 EH． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB， ∵BE⊥AP，CH⊥BE， ∴CH∥PA， ∴四边形 CPAH 是平行四边形， ∴CP=AH， ∵CP=PD=1， ∴AH=PC=1， ∴AH=BH， 在 Rt△ABE 中，∵AH=HB， ∴EH=HB，∵HC⊥BE， ∴BG=EG， ∴CB=CE=2，故选项 A 错误， ∵CH=CH，CB=CE，HB=HE， ∴△ABC≌△CEH， ∴∠CBH=∠CEH=90°， ∵HF=HF，HE=HA， ∴Rt△HFE≌Rt△HFA， ∴AF=EF，设 EF=AF=x， 在 Rt△CDF 中，有 22+（2﹣x）2=（2+x）2， ∴x= ， ∴EF= ，故 B 错误， ∵PA∥CH， ∴∠CEP=∠ECH=∠BCH， ∴cos∠CEP=cos∠BCH= = ，故 C 错误． ∵HF= ，EF= ，FC= ∴HF2=EF•FC，故 D 正确， 故选：D． 26．（2018•临沂）如图．利用标杆 BE 测量建筑物的高度．已知标杆 BE 高 1.2m， 测得 AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物 CD 的高是（ ） A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m 【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得 = ， 然后利用比例性质求出 CD 即可． 【解答】解：∵EB∥CD， ∴△ABE∽△ACD， ∴ = ，即 = ， ∴CD=10.5（米）． 故选：B． 27．（2018•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五 百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一 尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太 阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示： 1 丈=10 尺，1 尺=10 寸），则竹竿的长为（ ） A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【解答】解：设竹竿的长度为 x 尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15 尺，标杆长=一尺五寸=1.5 尺，影长五寸=0.5 尺， ∴ ，解得 x=45（尺）． 故选：B． 28．（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转 到 AC 位置，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为 B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m， 则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为（ ） A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m 【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD 知△ABO∽△CDO，据此得 = ， 将已知数据代入即可得． 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABO=∠CDO=90°， 又∵∠AOB=∠COD， ∴△ABO∽△CDO， 则 = ， ∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m， ∴ = ， 解得：CD=0.4， 故选：C． 二．填空题（共 7 小题） 29．（2018•邵阳）如图所示，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点， 连接 AE，交 CD 于点 F，连接 BF．写出图中任意一对相似三角形： △ADF∽△ ECF ． 【分析】利用平行四边形的性质得到 AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可 判断△ADF∽△ECF． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥CE， ∴△ADF∽△ECF． 故答案为△ADF∽△ECF． 30．（2018•北京）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角 线 AC 于点 F，若 AB=4，AD=3，则 CF 的长为 ． 【分析】根据矩形的性质可得出 AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE= ∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出 = =2，利用勾股定理可求出 AC 的长度，再结合 CF= •AC，即可求出 CF 的长． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD， ∴∠FAE=∠FCD， 又∵∠AFE=∠CFD， ∴△AFE∽△CFD， ∴ = =2． ∵AC= =5， ∴CF= •AC= ×5= ． 故答案为： ． 31．（2018•包头）如图，在▱ ABCD 中，AC 是一条对角线，EF∥BC，且 EF 与 AB 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，3AE=2EB，连接 DF．若 S△AEF=1，则 S△ADF 的值 为 ． 【分析】由 3AE=2EB 可设 AE=2a、BE=3a，根据 EF∥BC 得 =（ ）2= ， 结合 S△AEF=1 知 S△ADC=S△ABC= ，再由 = = 知 = ，继而根据 S△ADF= S △ADC 可得答案． 【解答】解：∵3AE=2EB， ∴可设 AE=2a、BE=3a， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴ =（ ）2=（ ）2= ， ∵S△AEF=1， ∴S△ABC= ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴S△ADC=S△ABC= ， ∵EF∥BC， ∴ = = = ， ∴ = = ， ∴S△ADF= S△ADC= × = ， 故答案为： ． 32．（2018•资阳）已知：如图，△ABC 的面积为 12，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，则四边形 BCED 的面积为 9 ． 【分析】设四边形 BCED 的面积为 x，则 S△ADE=12﹣x，由题意知 DE∥BC 且 DE= BC， 从而得 =（ ）2，据此建立关于 x 的方程，解之可得． 【解答】解：设四边形 BCED 的面积为 x，则 S△ADE=12﹣x， ∵点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥BC，且 DE= BC， ∴△ADE∽△ABC， 则 =（ ）2，即 = ， 解得：x=9， 即四边形 BCED 的面积为 9， 故答案为：9． 33．（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中 有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南 门几步面见木？” 用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步（“步”是古代的长度 单位）的正方形小城，东门 H 位于 GD 的中点，南门 K 位于 ED 的中点，出东门 15 步的 A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木（即点 D 在直 线 AC 上）？请你计算 KC 的长为 步． 【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得 = ，然后利用比 例性质可求出 CK 的长． 【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15， ∵AH∥DK， ∴∠CDK=∠A， 而∠CKD=∠AHD， ∴△CDK∽△DAH， ∴ = ，即 = ， ∴CK= ． 答：KC 的长为 步． 故答案为 ． 34．（2018•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有 勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直 角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形 边长最大是多少步？”该问题的答案是 步． 【分析】如图 1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式 可得结论；如图 2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值． 【解答】解：如图 1，∵四边形 CDEF 是正方形， ∴CD=ED，DE∥CF， 设 ED=x，则 CD=x，AD=12﹣x， ∵DE∥CF， ∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴ ， ∴ ， x= ， 如图 2，四边形 DGFE 是正方形， 过 C 作 CP⊥AB 于 P，交 DG 于 Q， 设 ED=x， S△ABC= AC•BC= AB•CP， 12×5=13CP， CP= ， 同理得：△CDG∽△CAB， ∴ ， ∴ ， x= ， ∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 （步）， 故答案为： ． 35．（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE 与 BC 相交于点 D，∠B=∠C=90°， 测得 BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽 AB= 100 m． 【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的 大致距离 AB． 【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴ ， ， 解得：AB= （米）． 故答案为：100． 三．解答题（共 15 小题） 36．（2018•张家界）如图，点 P 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点，且 AB=4，点 M 为 上一个动点（不与 A，B 重合），射线 PM 与⊙O 交于点 N（不与 M 重合） （1）当 M 在什么位置时，△MAB 的面积最大，并求岀这个最大值； （2）求证：△PAN∽△PMB． 【分析】（1）当 M 在弧 AB 中点时，三角形 MAB 面积最大，此时 OM 与 AB 垂 直，求出此时三角形面积最大值即可； （2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得 证． 【解答】解：（1）当点 M 在 的中点处时，△MAB 面积最大，此时 OM⊥AB， ∵OM= AB= ×4=2， ∴S△ABM= AB•OM= ×4×2=4； （2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P， ∴△PAN∽△PMB． 37．（2018•株洲）如图，在 Rt△ABM 和 Rt△ADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD，其中 AM=AN． （1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND； （2）线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT= ，求 tan∠ABM 的值． 【分析】（1）利用 HL 证明即可； （2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得 由 AT= ，推出 ，在 Rt △ABM 中，tan∠ABM= ． 【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90° ∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）． （2）由 Rt△ABM≌Rt△AND 易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM ∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90° ∴∠DAM=∠AND ∴ND∥AM ∴△DNT∽△AMT ∴ ∵AT= ， ∴ ∵Rt△ABM ∴tan∠ABM= ． 38．（2018•大庆）如图，AB 是⊙O 的直径，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合），作 EC⊥OB，交⊙O 于点 C，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线 于点 P，作 AF⊥PC 于点 F，连接 CB． （1）求证：AC 平分∠FAB； （2）求证：BC2=CE•CP； （3）当 AB=4 且 = 时，求劣弧 的长度． 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）只要证明△CBE∽△CPB，可得 = 解决问题； （3）作 BM⊥PF 于 M．则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用 相似三角形的性质求出 BM，求出 tan∠BCM 的值即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°， ∵∠BCP=∠BCE， ∴∠ACF=∠ACE，即 AC 平分∠FAB． （2）证明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∵PF 是⊙O 的切线，CE⊥AB， ∴∠OCP=∠CEB=90°， ∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°， ∴∠BCE=∠BCP， ∵CD 是直径， ∴∠CBD=∠CBP=90°， ∴△CBE∽△CPB， ∴ = ， ∴BC2=CE•CP； （3）解：作 BM⊥PF 于 M．则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a， ∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°， ∴∠MCB=∠PBM， ∵CD 是直径，BM⊥PC， ∴∠CMB=∠BMP=90°， ∴△BMC∽△PMB， ∴ = ， ∴BM2=CM•PM=3a2， ∴BM= a， ∴tan∠BCM= = ， ∴∠BCM=30°， ∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120° ∴ 的长= = π． 39．（2018•江西）如图，在△ABC 中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD 是∠ ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E，求 AE 的长． 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出 BC=CD=4，证 △AEB∽△CED，得出比例式，求出 AE=2CE，即可得出答案． 【解答】解：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∵AB∥CD， ∴∠D=∠ABD， ∴∠D=∠CBD， ∴BC=CD， ∵BC=4， ∴CD=4， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴ = ， ∴ = ， ∴AE=2CE， ∵AC=6=AE+CE， ∴AE=4． 40．（2018•上海）已知：如图，正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上一点，BE⊥AP， DF⊥AP，垂足分别是点 E、F． （1）求证：EF=AE﹣BE； （2）联结 BF，如课 = ．求证：EF=EP． 【分析】（1）利用正方形的性质得 AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等 得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则 BE=AF，然后利用等线段代换可得到 结论； （2）利用 = 和 AF=BE 得到 = ，则可判定 Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4= ∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断 EF=EP． 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵BE⊥AP，DF⊥AP， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE 和△DAF 中 ， ∴△ABE≌△DAF， ∴BE=AF， ∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE； （2）如图，∵ = ， 而 AF=BE， ∴ = ， ∴ = ， ∴Rt△BEF∽Rt△DFA， ∴∠4=∠3， 而∠1=∠3， ∴∠4=∠1， ∵∠5=∠1， ∴∠4=∠5， 即 BE 平分∠FBP， 而 BE⊥EP， ∴EF=EP． 41．（2018•东营）如图，CD 是⊙O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上． （1）求证：∠CAD=∠BDC； （2）若 BD= AD，AC=3，求 CD 的长． 【分析】（1）连接 OD，由 OB=OD 可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直 径所对的圆周角等于 180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC； （2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB 可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质 结合 BD= AD、AC=3，即可求出 CD 的长． 【解答】（1）证明：连接 OD，如图所示． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB． ∵CD 是⊙O 的切线，OD 是⊙O 的半径， ∴∠ODB+∠BDC=90°． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠OBD+∠CAD=90°， ∴∠CAD=∠BDC． （2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB， ∴△CDB∽△CAD， ∴ = ． ∵BD= AD， ∴ = ， ∴ = ， 又∵AC=3， ∴CD=2． 42．（2018•南京）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE．过点 A 作 AF⊥DE，垂足为 F，⊙O 经过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G． （1）求证：△AFG∽△DFC； （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，AE=1，求⊙O 的半径． 【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD； （2）首先证明 CG 是直径，求出 CG 即可解决问题； 【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，∠ADC=90°， ∴∠CDF+∠ADF=90°， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD=90°， ∴∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠DAF=∠CDF， ∵四边形 GFCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠FCD+∠DGF=180°， ∵∠FGA+∠DGF=180°， ∴∠FGA=∠FCD， ∴△AFG∽△DFC． （2）解：如图，连接 CG． ∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF， ∴△EDA∽△ADF， ∴ = ，即 = ， ∵△AFG∽△DFC， ∴ = ， ∴ = ， 在正方形 ABCD 中，DA=DC， ∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3， ∴CG= =5， ∵∠CDG=90°， ∴CG 是⊙O 的直径， ∴⊙O 的半径为 ． 43．（2018•滨州）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD⊥CD 于点 D， 且 AC 平分∠DAB，求证： （1）直线 DC 是⊙O 的切线； （2）AC2=2AD•AO． 【分析】（1）连接 OC，由 OA=OC、AC 平分∠DAB 知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据 此知 OC∥AD，根据 AD⊥DC 即可得证； （2）连接 BC，证△DAC∽△CAB 即可得． 【解答】解：（1）如图，连接 OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC 平分∠DAB， ∴∠OAC=∠DAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， 又∵AD⊥CD， ∴OC⊥DC， ∴DC 是⊙O 的切线； （2）连接 BC， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴AB=2AO，∠ACB=90°， ∵AD⊥DC， ∴∠ADC=∠ACB=90°， 又∵∠DAC=∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴ = ，即 AC2=AB•AD， ∵AB=2AO， ∴AC2=2AD•AO． 44．（2018•十堰）如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D， 交 AC 于点 E，过点 D 作 FG⊥AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G． （1）求证：FG 是⊙O 的切线； （2）若 tanC=2，求 的值． 【分析】（1）欲证明 FG 是⊙O 的切线，只要证明 OD⊥FG； （2）由△GDB∽△GAD，设 BG=a．可得 = = = ，推出 DG=2a，AG=4a， 由此即可解决问题； 【解答】（1）证明：连接 AD、OD． ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴CD=BD， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴FG 是⊙O 的切线． （2）解：∵tanC= =2，BD=CD， ∴BD：AD=1：2， ∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠GDB=∠GAD， ∵∠G=∠G， ∴△GDB∽△GAD，设 BG=a． ∴ = = = ， ∴DG=2a，AG=4a， ∴BG：GA=1：4． 45．（2018•杭州）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点 E． （1）求证：△BDE∽△CAD． （2）若 AB=13，BC=10，求线段 DE 的长． 【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题； （2）利用面积法： •AD•BD= •AB•DE 求解即可； 【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC，∠B=∠C， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=∠ADC， ∴△BDE∽△CAD． （2）∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， 在 Rt△ADB 中，AD= = =12， ∵ •AD•BD= •AB•DE， ∴DE= ． 46．（2018•烟台）如图，已知 D，E 分别为△ABC 的边 AB，BC 上两点，点 A，C， E 在⊙D 上，点 B，D 在⊙E 上．F 为 上一点，连接 FE 并延长交 AC 的延长线于 点 N，交 AB 于点 M． （1）若∠EBD 为α，请将∠CAD 用含α的代数式表示； （2）若 EM=MB，请说明当∠CAD 为多少度时，直线 EF 为⊙D 的切线； （3）在（2）的条件下，若 AD= ，求 的值． 【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD= ∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论； （2）设∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根据切线的性质知：∠DEF=90°， 所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°； （3）由（2）得：∠CAD=45°；根据（1）的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE 是 等边三角形，得 CD=CE=DE=EF=AD= ，求 EM=1，MF=EF﹣EM= ﹣1，根据三 角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE= ，代入化简可得结论． 【解答】解：（1）连接 CD、DE，⊙E 中，∵ED=EB， ∴∠EDB=∠EBD=α， ∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α， ⊙D 中，∵DC=DE=AD， ∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α， △ACB 中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°， ∴∠CAD= = ； （2）设∠MBE=x， ∵EM=MB， ∴∠EMB=∠MBE=x， 当 EF 为⊙D 的切线时，∠DEF=90°， ∴∠CED+∠MEB=90°， ∴∠CED=∠DCE=90°﹣x， △ACB 中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°， ∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴， ∴∠CAD=45°； （3）由（2）得：∠CAD=45°； 由（1）得：∠CAD= ； ∴∠MBE=30°， ∴∠CED=2∠MBE=60°， ∵CD=DE， ∴△CDE 是等边三角形， ∴CD=CE=DE=EF=AD= ， Rt△DEM 中，∠EDM=30°，DE= ， ∴EM=1，MF=EF﹣EM= ﹣1， △ACB 中，∠NCB=45°+30°=75°， △CNE 中，∠CEN=∠BEF=30°， ∴∠CNE=75°， ∴∠CNE=∠NCB=75°， ∴EN=CE= ， ∴ = = =2+ ． 47．（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测 量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸 边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线 上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所 示．请根据相关测量信息，求河宽 AB． 【分析】由 BC∥DE，可得 = ，构建方程即可解决问题． 【解答】解：∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴ = ， ∴ = ， ∴AB=17（m）， 经检验：AB=17 是分式方程的解， 答：河宽 AB 的长为 17 米． 48．（2018•济宁）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点， 连接 DF，过点 E 作 EH⊥DF，垂足为 H，EH 的延长线交 DC 于点 G． （1）猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明你的结论； （2）过点 H 作 MN∥CD，分别交 AD，BC 于点 M，N，若正方形 ABCD 的边长为 10，点 P 是 MN 上一点，求△PDC 周长的最小值． 【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF 即可； （2）作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK； 【解答】解：（1）结论：CF=2DG． 理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°， ∵DE=AE， ∴AD=CD=2DE， ∵EG⊥DF， ∴∠DHG=90°， ∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°， ∴∠CDF=∠DEG， ∴△DEG∽△CDF， ∴ = = ， ∴CF=2DG． （2）作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK． 由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ，DH= = ， ∴EH=2DH=2 ， ∴HM= =2， ∴DM=CN=NK= =1， 在 Rt△DCK 中，DK= = =2 ， ∴△PCD 的周长的最小值为 10+2 ． 49．（2018•聊城）如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，连接 AE，过 B 点 作 BH⊥AE，垂足为点 H，延长 BH 交 CD 于点 F，连接 AF． （1）求证：AE=BF． （2）若正方形边长是 5，BE=2，求 AF 的长． 【分析】（1）根据 ASA 证明△ABE≌△BCF，可得结论； （2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则 CF=BE=2，最后利用勾股定理可得 AF 的 长． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵BH⊥AE， ∴∠BHE=90°， ∴∠AEB+∠EBH=90°， ∴∠BAE=∠EBH， 在△ABE 和△BCF 中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE=BF； （2）解：∵AB=BC=5， 由（1）得：△ABE≌△BCF， ∴CF=BE=2， ∴DF=5﹣2=3， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD=5，∠ADF=90°， 由勾股定理得：AF= = = = ． 50．（2018•乌鲁木齐）如图，AG 是∠HAF 的平分线，点 E 在 AF 上，以 AE 为直 径的⊙O 交 AG 于点 D，过点 D 作 AH 的垂线，垂足为点 C，交 AF 于点 B． （1）求证：直线 BC 是⊙O 的切线； （2）若 AC=2CD，设⊙O 的半径为 r，求 BD 的长度． 【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得 OD∥AC，证明 OD⊥ CB，可得结论； （2）在 Rt△ACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= a，证明△ACD∽△ADE，表示 a= ，由平行线分线段成比例定理得： ，代入可得结论． 【解答】（1）证明：连接 OD， ∵AG 是∠HAF 的平分线， ∴∠CAD=∠BAD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC， ∵∠ACD=90°， ∴∠ODB=∠ACD=90°，即 OD⊥CB， ∵D 在⊙O 上， ∴直线 BC 是⊙O 的切线；（4 分） （2）解：在 Rt△ACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= a， 连接 DE， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE=90°， 由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°， ∴△ACD∽△ADE， ∴ ， 即 ， ∴a= ， 由（1）知：OD∥AC， ∴ ，即 ， ∵a= ，解得 BD= r．（10 分）