九年级数学上册第二十四章圆24.2.1点与圆（2） 四点共圆条件4

九年级数学上册第二十四章圆24.2.1点与圆（2） 四点共圆条件4

第 24 章 24.2.1点与圆（2） 四点共圆条件 4 四个学生正在做投圈游戏 , 这样的队形对每个人公平吗 ? 探究四点共圆的条件 投圈游戏 A A B 忆一忆 A B C O 我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过四个点能作一个圆吗？ 不一定 1. 四点在一条直线上不能作圆 3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能做不出一个圆 2. 三点在同一直线上 , 另一点不在这条直线上不能做圆 想一想 图中给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！ A B C D A B C D A B C D A B C D 试一试 分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系？证明你的发现 . ∠ A ＋∠ C=180° ∠ B ＋∠ D=180° 发现 ：过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和为 180°. A B C D A B C D 量一量 ∵四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形 同理 所以圆内接四边形的相对两角之和为 180°. B C D A · O ∴弧 BAD 和弧 BCD 所对圆心角之和是 360°. ∴ 即当四边形的两对角和是 180° 时，其四个顶点在同一个圆上 连结 OB 、 OD 证一证 如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其两个相对的内角之间有上面的关系吗？ · A B C D O 其相对的两个内角之和不等于 180°. · A B C D E F O 试结合图说明其中的道理？ 探一探 有 所以 连接 AC 并延长交⊙ O 与点 C´ ，连接 BC´ 和 DC´ · A B C D O C ´ 又因为点 Ｃ ／ 在⊙ Ｏ 上 所以 ∠ A+∠BCD ＞∠ BC’D+∠A 说 明 由上面的探究，试归纳出判断过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件 . 连接 AC 交⊙ O 与点 C´ ，连接 BC´ 和 DC´ · A B C D E F O C ´ 有 所以 四边形相对的两个内角互补 , 四点共圆 . 又因为点 Ｃ ／ 在⊙ Ｏ 上 所以∠ A +∠ BC / D ＞∠ BCD + ∠ A. 1 、已知四边形 ABCD 四个顶点都在⊙ O 上，如果∠ A= 115° ，∠ B= 30° ， 那么∠ C=_____, ∠D=______. 2 、在（ 1 ）矩形、（ 2 ）平行四边形、（ 3 ）等腰梯形、（ 4 ）菱形中能过 四个顶点作圆的有 ________________________. 3 、如图所示， A 、 B 、 C 三点在⊙ O 上，∠ BOC= 100° ，则∠ BAC=_______ 度，∠ BDC= 度 . 65° 150° （ 1 ） 、（ 3 ） 50° 130° 练一练 4 如图 ,A 、 B 、 C 、 D 、都是⊙ O 上的点 , 则正确的选项是（ ） (A)∠1+∠2 ＞∠ A (B) ∠1+∠2=∠A (C) ∠1+∠2 ＜∠ A (D) 不能确定 B 4 如图 ,A 、 B 、 C 、 D 、都是⊙ O 上的点 , 则正确的选项是（ ） (A)∠1+∠2 ＞∠ A (B) ∠1+∠2=∠A (C) ∠1+∠2 ＜∠ A (D) 不能确定 B 这节课你有什么收获？ 一个方法：分类讨论的方法。 一个条件：四点共圆的条件。 归纳反思 在这种图形中， A 、 B 、 C 、 D 四点能共圆又需要满足什么条件呢？ 课外探究