高考新课标1全国卷理科数学试题及答案

高考新课标1全国卷理科数学试题及答案

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标1‎ 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）.‎ ‎. . . .‎ ‎2.（ ）.‎ ‎. . . .‎ ‎3.设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）.‎ ‎.是偶函数 .是奇函数 ‎.是奇函数 .是奇函数 ‎4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）.‎ ‎. . . .‎ ‎5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.‎ ‎. . . .‎ ‎6.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）.‎ ‎7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的（ ）.‎ ‎. . . .‎ ‎8.设，，且，则（ ）.‎ ‎. . . .‎ ‎9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：‎ ‎：， ：,‎ ‎：， ：.‎ 其中真命题是（ ）.‎ ‎.， .， .， .，‎ ‎10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则（ ）.‎ ‎. . . .‎ ‎11.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为（ ）.‎ ‎. . . .‎ ‎12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）.‎ ‎. . . .‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必 须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.的展开式中的系数为 .（用数字填写答案）‎ ‎14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；‎ 乙说：我没去过城市；‎ 丙说：我们三人去过同一个城市.‎ 由此可判断乙去过的城市为 .‎ ‎15.已知，，是圆上的三点，若，则与的夹角为 .‎ ‎16.已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，，，，其中为常数.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎（i）利用该正态分布，求；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（i）的结果，求.‎ 附：，若～，则，.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图三棱锥中，侧面为菱形，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦 点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且 ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若，且.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ 参考答案 一、选择题 ADCAD CDCBB CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）证明：由题意得 所以 又因为 所以 所以 ‎（2）解：假设存在，使得为等差数列.‎ 由（1）知 因为 所以 因为 所以 所以 故 所以是首项为1，公差为4的等差数列，‎ 是首项为3，公差为4的等差数列，‎ 所以 因此存在，使得为等差数列.‎ ‎18.解：‎ ‎（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数 ‎（2）（1）由（1）知，，从而 ‎（2）由（1）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为 依题意知，所以 ‎19.解：‎ ‎（1）连结，交于，连结.因为侧面为菱形，所以，且为与的中点.‎ 又，故 ‎（2）因为且为的中点，所以 又因为，所以 故，从而，，两两互相垂直.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系.‎ 因为，所以为等边三角形.又，则 ‎，，，‎ ‎，，‎ 设是平面的法向量，‎ 即 所以可取 设是平面的法向量，则 同理可取 则 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：‎ ‎（1）设，由条件知，，得 又，所以，‎ 故的方程为.‎ ‎（2）依题意设直线：‎ 将代入得 当，即时，‎ 从而 又点到直线的距离，所以的面积 设，则，‎ 因为，当且仅当，即时等号成立，且满足 所以当的面积最大时，的方程为 ‎.‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为，,‎ 由题意可得,‎ 故 ‎（2）由（1）知，从而等价于.‎ 设函数，则.‎ 所以当时，;当时, .‎ 故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为 ‎.‎ 设函数，则.‎ 所以当时，;当时，.故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为.‎ 综上，当时，,即.‎ ‎22.（1）由题设得，四点共面，所以 由已知得， ,所以 ‎（2）设，连接,则由,知 所以在上，又不是的直径，为中点，故 即所以,故.‎ 又，故由（1）知 所以为等边三角形。‎ ‎23.（1）曲线C的参数方程为 直线的普通方程为 ‎（2）在曲线C上任意取一点到的距离为 则其中为锐角。且 当时，‎ 当 ‎24.（1）由得，当且仅当时等号成立。‎ 故且当且仅当时等号成立。‎ 由于，从而不存在。‎