高中物理必修2学案
目 录
第五章 机械能及其守恒定律……………………………………1
§5.1 追寻守恒量 功功率………………………………………1
§5.2 重力势能 探究弹性势能的表达式………………………5
§5.3 探究功与物体速度变化的关系 动能和动能定理………9
§5.4 机械能守恒定律……………………………………………12
5. 阶段测试………………………………………………………17
第六章 曲线运动…………………………………………………24
§6.1 曲线运动……………………………………………………24
§6.2. 运动的合成与分解…………………………………………27
§6.3 平抛物体的运动……………………………………………33
§6.4匀速圆周运动………………………………………………37
§6.5 圆周运动中的临界问题……………………………………46
6.阶段测试…………………………………………………………51
第七章 万有引力…………………………………………………71
§7.1 行星的运动 太阳与行星间的引力………………………71
§7.2 万有引力理论的成就………………………………………75
§7.3 宇宙航行……………………………………………………81
7.阶段测试………………………………………………………85
第六章 机械能及其守恒定律
§5.1 追寻守恒量 功 功率
【学习目标】
⒈ 正确理解能量守恒的思想以及功和功率的概念。
⒉ 会利用功和功率的公式解释有关现象和进行计算。
【自主学习】
⒈.在物理学中规定 叫做力对物体做了功.功等于 ，它的计算公式
是 ，国际单位制单位是 ，用符号 来表示.
2.在下列各种情况中，所做的功各是多少？
（1）手用向前的力 F推质量为 m的小车，没有推动，手做功为 .
（2）手托一个重为 25 N 的铅球，平移 3 m，手对铅球做的功为 . （3）
一只质量为 m的苹果，从高为 h的树上落下，重力做功为 .
3. 叫做功率.它是用来表示物体 的物理量.功率的计算公式是 ，它的国际
单位制单位是 ，符号是 .
4.举重运动员在 5 s 内将 1500 N 的杠铃匀速举高了 2 m，则可知他对杠铃做的功为 ，功率
是 .
5.两个体重相同的人甲和乙一起从一楼上到三楼，甲是跑步上楼，乙是慢步上楼.甲、乙两人所做的功 W 甲
W 乙，他们的功率 P 甲 P 乙.（填“大于”“小于”或“等于”）
⒍汽车以恒定功率起动，先做加速度越来越 的加速运动，直到速度达到最大值，最后做
运动。
⒎汽车匀加速起动，先做匀加速运动，直到 ，再做加速度越来
的加速运动，直到速度达到最大值，最后做 运动。
【典型例题】
例题 ⒈ 关于摩擦力做功下列说法中正确的是 ﹝ ﹞
A 滑动摩擦力总是对物体做负功。 B滑动摩擦力可以对物体做正功。
C静摩擦力对物体不做功。
D静摩擦力可以对物体做正功，也可以做负功。
例题 ⒉如图，质量相同的球先后沿光滑的倾角分别为θ=30°，60°斜面下滑，达到最低点时，重力的即时
功率是否相等？（设初始高度相同）
例题 3、质量 m=4.0×103kg 的汽车，发动机的额定功率为 P=40kW，汽车从静止以加速度 a=0.5m/s2匀加速
行驶，行驶时所受阻力恒为 F=2.0×103N，则汽车匀加速行驶的最长时间为多少？汽车可能达到的最大速
度为多少？
【针对训练】
⒈下面的四个实例中，叙述错误的是（ ）
A.叉车举起货物，叉车做了功
B.燃烧的气体使火箭起飞，燃烧的气体做了功
C.起重机挂着货物，沿水平方向匀速移动，起重机对货物做了功
D.马拉动圆木，马做了功
⒉.水平路面上有一个重 500 N 的小车，在 100 N 的水平拉力作用下，匀速向前移动了 5 m，则在这一过
程中（ ）
A.车受到的阻力为 600 N
B.车受到的阻力为 500 N
C.拉力对车做功是 500 J
D.重力对车做功为 2500 J
⒊关于功率，下列说法正确的是（ ）
A.力对物体做的功越多，功率就越大
B.做功时间短的机械功率大
C.完成相同的功，用的时间越长，功率越大
D.功率大的机械在单位时间里做的功多
⒋关于两物体间的作用力和反作用力的做功情况是（ ）
A 作用力做功，反作用力一定做功。 B作用力做正功，反作用力一 定做负功。
C 作用力和反作用力可能都做负功。
D 作用力和反作用力做的功一定大小相等，且两者代数和为零。
⒌甲、已两车的额定功率之比是 1：2，当两车以各自的额定功率行驶时，可判定（ ）：
A两车装的货物质量之比 1：2 B 在相同时间内，两车做功之比 2：1
C 两车行驰的速度比 1：2 D 速度相同时，两车的牵引力比 1：2
【能力训练】
⒈质量为 M的物体从高处由静止下落，若不计空气阻力，在第 2S 内和第 3S 内重力做的功之比（ ）
A 2：3 B 1：1 C 1：3 D 3：5
⒉竖直上抛一物体，物体又落回原处，已知空气阻力的大小正比于物体的速度（ ）
A 上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功。
B 上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功。
C 上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率。
D 上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率。
⒊设飞机飞行中所受阻力与速度的平方成正比，如果飞机以速度 V 匀速飞行时，其发动机功率为 P，则
飞机以 2P 匀速飞行时，其发动机的功率为：（ ）
A 2P B 4P C 8P D 无法确定
t
v
O
v0
0.5v0
t
v
O
v0
0.5v0
t
v
O
v0
0.5v0
t
v
O
v0
0.5v0
⒋大小相等的水平拉力分别作用于原来静止﹑质量分别为 M1和 M2的物体上，使 A 沿光滑水平面运动了 L，
使 B 沿粗糙水平面运动了相同的位移，则拉力 F 对 A﹑B做的功 W1和 W2相比较（ ）
A1> W1>W2 B W1
W2，P1=P2
⒏质量为 2t 的农用汽车，发动机额定功率为 30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为
54km/h．若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到 v=36km/h 时刻，汽车的瞬时加速度是多大?
⒐.如图所示，一位杂技演员骑摩托车沿竖直面内的一个固定圆轨道做特技表演，他控制车的速率始终保
持在 20m/s，人与车的总质量为 100kg，轨道对车的阻力大小是轨道对车压力的 0.1 倍．已知车通过最低点
A时发动机的即时功率为 9kW，求车通过最高点 B时发动机的瞬时功率．
⒑ 电动机通过一绳吊起一质量为 8 ㎏的物体，绳的拉力
不能超过 120N，电动机的功率不能超过 1200W，要将此物体
有静止起用最快的方式吊高 90m(已知此物体在被吊高接近 90m
时刚好开始以最大速度匀速上升)所需时间为多少？
【学后反思】
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参考答案
典型例题
B
A
⒈ BD ⒉ 不相等 ⒊ 20S 20m/S
针对训练
⒈ C ⒉ C ⒊ D ⒋ C ⒌ D
能力训练
⒈ D ⒉ BC ⒊ B ⒋ C ⒌ CD ⒍ C ⒎ D ⒏ 0.5m/S
⒐ 5000W ⒑ 10S
§5.2 重力势能 探究弹性势能的表达式
【学习目标】
⒈掌握重力势能及重力做功的特点。
⒉知道弹性势能。
⒊会探究弹性势能表达式的方法。
【自主学习】
⒈物体运动时，重力对它做的功只跟它的 和 的位置有关，而跟物体运动的
无关，重力功的公式为 WG= 。
⒉物体由于被举高而具有的 叫做物体的重力势能，常用 EP表示，表达式 EP=
，是 量。
⒊重力势能具有相对性，选择不同 ，物体的重力势能的数值是不同的，但重力势能
的差值是 。
⒋重力做正功时，重力势能 ，克服重力做功时，重力势能 ，
重力做功与重力势能变化的关系是 。
⒌弹性势能的大小与 和 有关。
⒍弹力做功与弹性势能变化的关系是 。
【典型例题】
例题⒈ 如图所示，一个质量为 M 的物体，置于水平地面上，其上表面竖直固定着一根轻弹簧，弹簧长为 L
劲度系数为 k，现用手拉着上端的 P 点缓慢向上移动，直到物体离开地面一段距离 L，在这一过程中，P
点的位移(开始时弹簧处于原长)是 H，这时物体重力势能增加量为多少？
例题⒉ 弹簧的弹力 F=KX，试利用平均力推导出弹簧的弹簧势能的表达式 EP=KL2/2(规定弹簧原长时的弹性
势能为零)
P
例题⒊ 在水平地面上放一竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为 2.0Kg 的木块相连，若在木块上再作用一
个竖直向下的力 F，使木块缓慢向下移动 0.10m，力 F 做功 2.5J，此时木块再次处于平衡状态，力 F 的大
小为 50N，如图所示，则
⑴在木块下降 0.1m 的过程中弹性势能的增加量？
⑵弹簧的劲度系数？
【针对训练】
⒈关于重力势能的下列说法中正确的是（ ）
A．重力势能的大小只由重物本身决定
B．重力势能恒大于零
C．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零
D．重力势能实际上是物体和地球所共有的
2．关于重力势能与重力做功，下列说法中正确的是（ ）
A．物体克服重力做的功等于重力势能的增加
B. 在同一高度，将物体以初速度 V0向不同的方向抛出到落地过程中，重力做的功相等，物体所减少的
重力势能一定相等
C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
D．用手托住一个物体匀速上举时，手的支持力做的功等于克服重力做的功与物体所增加的重力势能之
和
⒊一实心的正方体铁块与一实心的正方体木块质量相等，将它们放在水平地面上，下列结论正确的是
（ ）
A．铁块的重力势能大于木块的重力势能 B 铁块的重力势能等于木块的重力势能 C．铁块的重力势
能小于木块的重力势能 D．上述三种情况都有可能
⒋当物体克服重力做功时，物体的（ ）
A 重力势能一定减少，机械能可能不变 B 重力势能一定增加，机械能一定增加
C 重力势能一定增加，动能可能不变 D 重力势能一定减少，动能可能减少
【能力训练】
⒈离地面高度(不为零)相同的两物体甲和已，已知 M 甲>M 已，则(以地面为零势面) （ ）
F
A 甲物体的势能大 B 已物体的势能大
C 甲.已两物体的势能相等 D 不能判断
⒉用绳子吊起质量为 M 的物体，当物体以加速度 a 匀加速上升 H 的高度时，物体增加的重力势能为（ ）
A MgH B HgH+Mga C M(g-a) D Mga
⒊沿高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面向上拉同一个物体到顶端，在下列说法中正确的是
（ ）
A 沿坡度小，长度大的斜面上升克服重力做的功多
B 沿坡度大，粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多
C 沿坡度长，粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多
D 以上几种情况下克服重力所做的功一样多
⒋如图所示，质量为 M 的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹
簧上端将物体缓缓提高 H，则人做的功（ ）
A 等于 MgH B 大于 MgH C 小于 MgH D 无法确定
⒌一物体静止在升降机的地板上在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做
的功等于（ ）
A 物体势能的增加量 B 物体动能的增加量
C 物体动能的增加量加上物体势能的增加量
D 物体动能的增加量加上克服重力所做的功
⒍质量为 100g 的球从 1.8m 的高处落到水平板上，又弹回到 1.25m 的高度，在整个过程中重力对小球做
的功？球的重力势能变化了多少？
⒎地面上平铺 N 块砖，每块砖的质量为 M，厚度为 H，如将砖一块一块的叠放起来，至少要做多少功？
⒏ 在课本上的实验过程中，如何保证橡皮条第 1，第 2，第 3，……第 N 次实验时做的功依次为 W，2W，
3W，……NW？
⒐探究实验中若做出的 W-V 图象，如图所示，怎样
才能证明 W∝V2？
0
⒑如图所示，劲度系数为 K1 的轻弹簧两端分别与质量为 M1和
M2的物体栓接，劲度系数为 K2的轻弹簧上端与物体 M2 栓接，下端压在桌面上（不拴接），
整个系统处于平衡状态，现施力将物块 M1 缓缓地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端
刚脱离桌面，在此过程中，物块 M2的重力势能增加了多少？
【学后反思】
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参考答案
典型例题
⒈ MgH-(Mg)
2
/K ⒉ 略 ⒊ 4.5J 500N/m
针对训练
⒈ D ⒉ AB ⒊ C ⒋ C
能力训练
W
V
M1
M2
F
⒈ A ⒉ A ⒊ D ⒋ B ⒌ CD ⒍ 0.55J 0.55J ⒎ n(n-1)MgH/2
⒏ 略 ⒐ 略 ⒑ M2(M1+M2)g
2
/K2
§5.3 探究功与物体速度变化的关系 动能和动能定理
【学习目标】
⒈知道探究功与物体速度变化的关系的方法。
⒉正确理解动能和动能定理，掌握动能定理的解题方法。
【自主学习】
⒈在探究功与速度变化的关系实验中，为什么要平衡摩擦力？怎样平衡摩擦力？
⒉通过探究实验得到力对物体做的功与物体获得的速度的关系是
⒊一个物体具有的动能与物体的 和 两个因素有关， 和
越大，动能就越大。
⒋动能定理的表达式为 ，其中 W 应该为 。
⒌利用动能定理解题的基本步骤是什么？
【典型例题】
例题 ⒈如图所示，将质量 m=2kg 的一块石头从离地面 H=2m 高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入
泥中 h=5cm 深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取 10m/s2）
h
H
例题⒉ 如图所示，半径 R＝1m 的 1/4 圆弧导轨与水平面相接，从圆弧导轨顶端 A，静止释放一个质量为
m＝20g 的小木块，测得其滑至底端 B时速度 VB＝3m／s，以后沿水平导轨滑行 BC＝3m 而停止．
求：（1）在圆弧轨道上克服摩擦力做的功?
（2）BC段轨道的动摩擦因数为多少?
例题⒊一辆汽车的质量为 5×10
3
㎏，该汽车从静止开始以恒定的功率在平直公路上行驶，经过 40S，前进
400m 速度达到最大值，如果汽车受的阻力始终为车重的 0.05 倍，问车的最大速度是多少？(取 g=10m/s²)
【针对训练】
⒈质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能（ ）
A.与它通过的位移成正比 B.与它通过位移的平方成正比
C.与它运动的时间成正比 D.与它运动时间的平方成正比
⒉质量 m = 2kg 的滑块，以 4m/s 的初速在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起作用一向右的水平力，
经过一段时间，滑块的速度方向变为向右、大小为 4m／s，则在这段时间内水平力做功为（ ）
A．0 B．8J C．16J D．20J
⒊ 质量为 m 的跳水运动员，从离地面高 h 的跳台上以速度 1v 斜向上跳起，跳起高度离跳台为 H，最后以速
度 1v 进入水中，不计空气阻力，则运动员起跳时所做的功（ ）
A.
2
1
1
2
mv B.mgH C. mgh mgH D．
2
1
1
2
mv mgh
⒋某人用手将 1kg 物体由静止向上提起 1m，这时物体的速度为 2m/s（g 取10 2m s/ ），则下列说法正确
的是（ ）
A. 手对物体做功 12J B. 合外力做功 2J
C. 合外力做功 12J D. 物体克服重力做功 10J
【能力训练】
1. 甲乙两物体质量的比 M1:M2=3:1,速度的比 V1:V2=1:3，在相同的阻力作用下逐渐停下，则它们的位移比
S1:S2是（ ）
A. 1：1 B. 1：3 C. 3：1 D. 4：1
⒉ 一子弹以速度 v 飞行恰好射穿一块铜板，若子弹的速度是原来的 3 倍，那么可射穿上述铜板的数目为
（ ）
A. 3 块 B. 6 块 C. 9 块 D. 12 块
⒊ 质量不等但有相同动能的两物体，在摩擦系数相同的水平地面上滑行直到停止，则
A. 质量大的物体滑行距离大 B. 质量小的物体滑行距离大
C. 它们滑行的距离一样大 D. 它们克服摩擦力所做的功一样多
⒋在水平面上有一质量为 M的物体，受到水平力 F的作用从静止开始运动，通过距离 s撤去力 F，这以后
又通过距离 S停止下来，则在这个过程中（ ）
A.它所受的摩擦力大小为 F B.它所受的摩擦力大小为 F/2
C.力 F 对物体做的功为 Fs D.力 F 对物体做的功为零
⒌质量为 M 的汽车在平直公路上以速度 V0开始加速行驶，经过时间 t，前进距离 s后，速度达到最大值 VM
设在这一过程中汽车发动机的功率恒为 p0，汽车所受的阻力恒为 f0。在这段时间内汽车发动机所做的功为
（ ）
A. p0t B. f0vmt C .f0s D.
⒍一辆汽车以 6m/S 的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行⒊6m，如果改为 8m/S 的速度行驶，同样情
况下急刹车后能滑行的距离为（ ）
A ⒍4m B ⒌6m C ⒎2m D ⒑8m
⒎一个单摆小球的质量为 M，摆球经过最低点时的速度为 V，由于摆球受到大小不变的空气阻力 f 作用而
最终静止。则摆球通过的最大路程是多少？
⒏在光滑斜面的底端静止一个物体，从某时刻开始有一个沿斜面向上的恒力 F 作用在物体上，使物体沿斜
面向上滑行，经过一段时间突然撤去力 F，又经过相同的时间物体返回斜面的底部，且具有 120J 的动能，
求
⑴恒力 F对物体所做的功？
⑵撤去恒力 F时物体具有的动能？
⒐一质量 M＝0.5kg 的物体，以 v m s0 4 / 的初速度沿水平桌面上滑过 S＝0.7m 的路程后落到地面，已知
桌面高h＝0.8m，着地点距桌沿的水平距离 S m1 12 . ，求物体与桌面间的摩擦系数是多少？（g取10 2m s/ ）
⒑质量 M＝1kg 的物体，在水平拉力 F 的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移 4m 时，拉力 F 停止作用，
运动到位移是 8m 时物体停止，运动过程中 E k －S 的图线如图所示。求：
（1）物体的初速度多大？
（2）物体和平面间的摩擦系数为多大？
（3）拉力 F 的大小？
（g取10 2m s/ ）
【学后反思】
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参考答案
典型例题
⒈ 820N ⒉ 0.11 0.15 ⒊ 20m/S
针对训练
⒈ AD ⒉ A ⒊ A ⒋ ABD
能力训练
⒈ B ⒉ C ⒊ BC ⒋ BC ⒌ AD ⒍ A ⒎ MV2/2f
⒏ 120 J 120 J ⒐ 0.5 ⒑ 1m/S 0.05 2.5N
§5.4 机械能守恒定律
【学习目标】
⒈正确理解机械能及机械能守恒定律的内容。
⒉能判断物体的机械能是否守恒。
⒊掌握利用机械能守恒定律解题的基本方法。
【自主学习】
⒈ 机械能包括 能和 能，重力做功 能和 能可以转化，弹力做
功 能和 能可以转化。
⒉ 机械能守恒定律：在 做功的物体系统内， 与 可以
而总的 保持不变。
⒊一个小球在真空中自由下落，另一个质量相同的小球在粘滞性较大的液体中匀速下落，它们都由高度为
h1的地方下落到高度为 h2的地方。在这两种情况下，重力所做的功相等吗？重力势能各转化成什么形式的
能量？
⒋只有重力做功和只受重力是一回事吗？
⒌怎样判断物体的机械能是否守恒？
⒍利用机械能守恒定律解题的基本步骤是什么？
【典型例题】
例题 ⒈关于机械能守恒的叙述，下列说法中正确的
A 做匀速直线运动的物体机械能一定守恒。
B 做变速运动的物体机械能可能守恒。
C 外力对物体做功为零，则物体的机械能守恒。
D 若只有重力对物体做功，则物体的机械能守恒。
例题 ⒉ 以 10m/S 的速度将质量为 M的物体从地面竖直上抛，若忽略空气阻力，求
⑴ 物体上升的最大高度？ ⑵上升过程中何处重力势能和动能相等？
例题 ⒊ 某人在距离地面⒉6m 的高处，将质量为 0.2 ㎏的小球以 V0=12m/S 的速度斜向上抛出，小球
的初速度的方向与水平方向之间的夹角 30
0，
，g=1Om/S
2
，求：
⑴ 人抛球时对小球做的功？ ⑵若不计空气阻力，小球落地时的速度大小？
⑶若小球落地时的速度大小为 V1=13m/S，小球在空气中运动的过程中克服阻力做了
多少功？
例题 ⒋小钢球质量为 M，沿光滑的轨道
由静止滑下，如图所示，圆形轨道
的半径为 R，要使小球沿光滑圆轨道
恰好能通过最高点，物体应从离轨道
最底点多高的地方开始滑下？
【针对训练】
⒈在下列实例中运动的物体，不计空气阻力，机械能不守恒的是：（ ）
A、起重机吊起物体匀速上升；
B、物体做平抛运动；
C、圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动；
D、一个轻质弹簧上端固定，下端系一重物，重物在竖直方向上做上下振动（以物体和弹簧为研究对象）。
⒉从离地高为 Hm 的阳台上以速度 v 竖直向上抛出质量为 M 的物体，它上升 hm 后又返回下落，最后落在
地面上，则下列说法中正确的是（ ）（不计空气阻力，以地面为参考面）
A、物体在最高点时机械能为 Mg(H+h);
B、物体落地时的机械能为 Mg(H+h)+1/2Mv
2
;
C、物体落地时的机械能为 MgH+1/2Mv
2
;
D、物体在落回过程中，过阳台时的机械能为 MgH+1/2MV
2
⒊如图所示，桌面高度为 h，质量为 m 的小球从离桌面高 H 处自由落下，不计
空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间的机械能应为：
（ ）
A、mgh；
B、mgH；
C、mg(H+h)；
D、mg(H-h)。
⒋一个人站在阳台上，以相同的速度 V0分别把三个小球竖直上抛，竖直下抛，水平抛出，不计空气阻力，
关于三球落地的速率下列说法中正确的是（ ）
H
h
A 上抛球最大 B 下抛球最大
C 平抛球最大 D 三个球一样大
【能力训练】
1.从高处自由下落的物体，它的重力势能 Ep和机械能 E 随高度 h 的变化图线如图所示，正确的是（ ）
⒉如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，
下列关于能量的叙述中正确的应是（ ）
A.重力势能和动能之和总保持不变。
B.重力势能和弹性势能之和总保持不变。
C.动能和弹性势能之和保持不变。
D.重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变。
⒊一个质量为 m 的物体以 a=2g 的加速度竖直向上运动，则在此物体上升 h 的过程中，物体的（ ）
A 重力势能增加了 2mgh B 动能增加了 2mgh
C 机械能保持不变 D 机械能增加了 mgh
⒋当物体克服重力做功时，物体的（ ）
A重力势能一定减少，机械能可能不变。
B重力势能一定增大，机械能一定增大。
C重力势能一定减少，动能可能减小。
D重力势能一定增大，动能可能不变。
⒌某同学身高⒈8m,在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了⒈8m 高的横杆，据此可估算出
他起跳高时竖直向上的速度大约为（ ）
A 2m/S B 4m/S C 6m/S D 8m/S
⒍质量为 1㎏的物体在地面上高 20m 的地方在一拉力的作用下以 7m/㎡的加速度竖直下落 5m 的过程中，
物体的机械能改变量是（ ）
A 5J B 10J C 15J D 20J
⒎ 如图所示，轻质弹簧一端与墙相连，质量为 4 ㎏的木块沿光滑的水平面以 V0=5m/S
的速度运动并压缩弹簧 K，求弹簧在被压缩的过程中的最
大弹性能以及木块的速度 V1=3m/S 时的弹簧的弹性势能？
⒏ 气球以 10m/S 的速度匀速上升，当它上升到离地 15m 的
高空时，从气球上掉下一个物体，若不计空气阻力，求
物体落地的速度是多少？
⒐ 质量为 50 ㎏的跳水运动员，从 1m 的跳板上向上跳
起，最后以⒐8m/S 的速度入水，不计空气阻力，取 g
=9.8m/S
2
，求 ⑴ 跳板对运动员做的功是多少？
⑵ 运动员在空中的最大高度离跳板多高？
⒑一根长细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为 M 和 m 的物体,且 M>m，开始时用手握住 M，使系统
处于如图所示的状态，如果 M 下降 h刚好触地，那么 m能上升的高度是多少？
【学后反思】________________________________________________________________
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参考答案
m M
典型例题
⒈ BD ⒉ 5m 2.5m ⒊ 14.4J 13m/S 0J ⒋ 2.5R
针对训练
⒈ A ⒉ ACD ⒊ B ⒋ D
能力训练
⒈ AC ⒉ D ⒊ B ⒋ D ⒌ B ⒍ C ⒎ 50J 32J
⒏ 20m/S ⒐ 1911J 3.9m ⒑ 2Mh/(M+m)
5.阶段测试(一)
一、选择题
⒈“神舟五号”飞船在发射和返回的过程中，哪些阶段中返回舱的机械能是守恒的？（ ）
A飞船升空的阶段。 B 飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段
C进入大气层并运动一段时间后，降落伞张开，返回舱下降。
D在太空中返回舱与轨道舱分离，然后在大气层以外向着地球做无动力飞行。
⒉水平面上有一物体，受一水平方向的力的作用，由静止开始无摩擦地运动，经过路程 S1，速度达到 V，
又经过路程 S2，速度达到 2V，则在 S1和 S2两段路程中该力所做功之比是（ ）
A 1:1 B 1:2 C 1:3 D 1:4
⒊某同学身高 1.8M，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了 1.8M 高的横杆，据此可估算
出他起跳时竖直向上的速度大约是（ ）
A 2M/S B 4M/S C 6M/S D 8M/S
⒋关于 1J 的功，下列说法中正确的是（ ）
A把质量为 1Kg 的物体，沿力 F 的方向移动 1m，力 F做的功等于 1J。
B把质量为 1Kg 的物体，竖直匀速举高 1m，举力所做的功等于 1J。
C 把重 1N 的物体，沿水平方向移动 1m，水平推力所做的功等于 1J。
D把重 1N 的物体，竖直匀速举高 1m，克服重力所做的功等于 1J。
⒌下列说法正确的是（ ）
①物体的机械能守恒，一定是只受重力和弹簧弹力作用。
②物体处于平衡状态时，机械能守恒。
③物体的动能和重力势能之和增大时，必定是有重力以外的力对物体做了功。
④物体的动能和重力势能在相互转化过程中，一定是通过重力做功来实现。
A ①② B ③④ C ①③ D ②④
⒍原来静止的列车在水平轨道上启动后就保持恒定的功率前进，在其后的一段较短的时间内(列车所受
阻力恒定) （ ）
A列车做匀加速直线运动。 B列车的加速度逐渐减小。
C列车的速度先增大后减小。 D列车的加速度先增大后减小。
⒎ 从离地 H 高处以速度 V 竖直向下抛出一个小球，若球撞地时无机械能损失，那么此球的回跳高度是
（ ）
A H+V
2
/2g B H-V
2
/2g C V
2
/2g D 上述均有可能
⒏以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，上升的最大高度为 h，运动中空气阻力的大小恒为 f,则小球
从抛出点到再回到原抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ）
A 0 B -fh C -2fh D -4fh
⒐如下图所示，在粗糙斜面顶端固定一弹簧，其下端挂一物体，物体在 A 点处于平衡状态.现用平行于斜
面向下的力拉物体，第一次直接拉到 B 点，第二次将物体先拉到 C 点，再回到 B点.则这两次过程中（ ）
A.重力势能改变量相等 B.弹簧的弹性势能改变量相等
C.摩擦力对物体做的功相等 D.弹簧弹力对物体做功相等
⒑.如下图所示，用轻弹簧和不能伸长的轻细线分别吊质量相同的小球 A、B，将两球拉开使细线与弹簧都
在水平方向上，且高度相同，而后由静止放开 A、B 两球，两球在运动中空气阻力不计，关于两球在最低
点时速度的大小是（ ）
A.A 球的速度大 B.B 球的速度大
C.A、B 球的速度大小相等 D.无法判定
二 填空题
⒒设飞机飞行中所受的阻力与速度的平方成正比，如果飞机以速度 V 匀速飞行时，其发动机的实际功率
为 P，则飞机以速度 2V 匀速飞行时，其发动机的实际功率为______ P。
⒓将一物体由地面竖直上抛，不计阻力，物体达到的最大高度是 H，在物体上升过程中有一位置，它的
势能为动能的两倍，这一位置的高度为 。
⒔某地强风的风速约为 v＝20m/s，设空气密度为ρ＝1.3kg/m3。如果把通过横截面积 S＝20m3的风的动
能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式是 P＝ ，大小约为 W（结果取一
位有效数字）。
⒕质量为 2Kg 的物体沿倾角为 300 的斜面下滑，1 秒内下滑了 2m，则其重力势能改变了______。1 秒末重
力的瞬时功率为______。
⒖ 如下图所示，轻弹簧 K一端与墙相连，质量为 4Kg 的木块， 沿光滑水平面以
5M/S 的速度运动，并压缩弹簧，则弹簧在被压缩过程中最大弹 性 势 能 为
______。
三 计算题
⒗某人在距离地面 2.6m 的高处，将质量为 0.2Kg 的小球以 v9=12m/S 速度斜向上抛出，小球的初速度方向
与水平方向之间的夹角为 30°，g 取 10m/S2，求
（1）人抛球时对球做多少功？
（2）若不计空气阻力，小球落地时的速度大小是多少？
（3）若小球落地时的速度大小为 V1=13m/S，小球在空中运动过程中克服阻力做了多少功？
17 有一条长为 4m 的均匀金属链条，如图所示，有一半
长度在光滑斜面上，斜面倾角为 30
0
，另一半沿竖直方向下
垂在空中，当链条从静止释放后，求链条全部刚好滑出斜面
的瞬间，它的速度多大？
⒙如图所示，质量为 m 的物体以某一初速度 v0 从 A 点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通
过最低点 B 的速度为 3√gR，求：
①物体在 A 点时的速度；
②物体离开 C 点后还能上升多高；
参考答案
一 选择题
⒈ BD ⒉ C ⒊ B ⒋ D ⒌ B ⒍ B ⒎ A ⒏ C ⒐ ABD
⒑ A
二 填空题
⒒ 4 ⒓ 2H/3 ⒔ ρSV3/2 1×10
5
⒕ 20J 40W
⒖ 50J
三 计算题
⒗ 14.4J 13M/S 0J ⒘ 5M/S ⒙√3gR 3.5R
5.阶段测试(二)
一、 选择题
⒈关于摩擦力做功的下列说法中正确的是（ ）
A 滑动磨擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功。B 静磨擦力有阻碍物体的相对运动趋势的作用，一定不
做功。
C 静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功。
D 系统内两物体间相互作用，一对摩擦力做功的总和不一定等于零。
⒉设在平直的公路上以一般速度行驰的自行车，所受的阻力约为人、车总重力的 0.02 倍，则骑车人的功
率与下述数值最接近的是（ ）
A 10KW B 1KW C 100W D 10
-3
KW
⒊一根长 2M，重力为 200N 的均匀木杆放在水平地面上，现将它的一端从地面抬高 0.5M，另一 端仍放在
地面上，则所需做的功至少为(g=10M/S
2
) （ ）
A 400J B 200J C 100J D 50J
⒋以初速度 V0竖直上抛一个质量为 M的物体，物体上升过程中所受阻力 F 大小不变，上升最大高度为 H，
则抛出过程中人对物体做的功（ ）
B
C
2R
A
V0
θ
A 1/2MV0
2
B MgH C 1/2MV0
2
+MgH D MgH+FH
⒌某人将重物由静止开始举高 H，并获得速度 V，则下列说法中不正确的是（ ）
A 人对物体做的功等于物体机械能的增量
B 物体所受合外力对它做的功等于物体动能的增量
C 克服物体重力做的功等于物体势能的增量
D 合外力的功等于物体动能和势能的总和的增量
⒍质量为 M 的物体，从静止开始以 2g 的加速度竖直向下加速运动距离 H，则（ ）
A 物体的重力势能减少 MgH B 物体的动能增加 2MgH
C 物体的机械能增加 MgH D 物体的机械能保持不变
⒎从空中以 40M/S 的初速度水平抛出一个重 10N 的物体，物体在空中运动 3S 落地，不计空气阻力，g 取
10M/S
2
，则物体落地时重力的瞬时功率为（ ）
A 400W B 500W C 300W D 700W
⒏木块在水平恒力 F 的作用下，沿水平路面由静止出发前进了 L 米，随即撤去此恒力，木块沿原方向前
进了 2L 米才停下来，设木块运动全过程中地面情况相同，则摩擦力的大小 Fu和木块所获得的最大动能 EK
分别为（ ）
A Fu=F/2 EK=FL/2 B Fu=F/2 EK=FL
C Fu=F/3 Ek=2FL/3 D Fu=2F/3 EK=FL/3
⒐速度为 V 的子弹，恰可穿透一块固定的木板，如果子弹速度为 2V，子弹穿透木块时所受阻力视为不变，
则可穿透同样的固定木板 （ ）
A 2 块 B 3 块 C 4 块 D 8 块
⒑ 起重机在 5S 内将 2×10
3
㎏的物体由静止开始匀加速提升 10 米，此起重机应具备的最小功率是(g 取
10M/S
2
) （ ）
A 40KW B 80KW C 73.6KW D 86.4KW
二 填空题
⒒.如图所示，质量为 m 的小物体沿 1/4 弧面无初速度滑下，
圆弧的半径为 R，A 点与圆心 O 等高，滑至最低点 B
时的速度为 v，则在下滑过程中，重力做功为 ，
物体克服阻力做功 。
⒓物体从离地 45m 的高处作自由落体运动 (g 取 10 米/秒 2)。它的动能和重力势能相等时，物体离地的高
度是 ；当它的动能为重力势能的 2倍时，物体离地的高度是 ，此时物体的速度大小为 。
⒔.竖直放置的轻弹簧下端固定在地面上，上端与轻质平板相连，平板与地面间的距离为 H1，如下图所示.
现将一质量为 m 的物块轻轻放在平板中心，让它从静止开始往下运动，直至物块速度为零，此时平板与地
面间的距离为 H2.若取无形变时为弹簧弹性势能的零
点，则此时弹簧的弹性势能 Ep= .
A O
B
⒕如下图所示，在长度一定的细线下方系一小球，线的另一端固定，使悬线与竖直方向成不同偏角
θ(0°＜θ≤90°)时无速释放.则小球摆回到最低点 P 时，细线所受
力的大小范围是 .
⒖. 如下图所示，圆弧轨道在竖直平面内，半径为 0.2m，高为 0.1m，一物体从底端冲上弧面，若不
计摩擦，欲使物体通过圆弧顶端而又不脱离弧面，则物体在圆弧底端时的速率υ0应为 .
三 计算题
⒗质量为 2Kg 的滑块以 V0=4M/S 的初速度从倾角为 30
0
的斜面底端向上滑行，上滑的最大距离 L=1m,则小球
回到原出发点的动能是多少？(g=10M/S
2
)
⒘火车总质量为 1000t，在行驶中功率保持 4200KW 不变，所受阻力为 1×10
5
N，求
⑴ 火车加速度为 2M/S
2
时的速度？ ⑵ 火车的最大速度？
⒙从离地面 H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它的重力的 K 倍，而小球与地面相
碰后，能以相同大小的速率反弹，求
⑴小球第一次与地面相碰后，能够反弹起的最大高度是多少？
⑵小球从释放开始，直到停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
参考答案
一 选择题
⒈ D ⒉ C ⒊ D ⒋ AD ⒌ D ⒍ ABC ⒎ C ⒏ C ⒐ C⒑ D
二 填空题
⒒ MgR MgR-1/2MV2 ⒓ 22.5 15 24.5 ⒔ Mg(H1-H2)
⒕ Mg t AC B． t AB < t AC C． t AB = t AC D．无法确定
2、.半径为 R 的大圆盘以角速度ω旋转,如下图 6-2-6 所示,有人站在盘边的 P 点上随盘转动,他想用枪击中盘
中心的目标 O,若子弹离开枪口的速度为 V0,不计空气阻力,则：（ ）
A. 枪应向 PO 的左方偏过θ角射击,而 sin
R
V0
;
B. 枪应瞄准目标 O 射击.
C. 枪应向 PO 的右方偏过θ角射击,而
0
cos R
V
;
D. 枪应向 PO 的左方偏过θ角射击,而
0
tan R
V
6-2-6
3、对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是：（ ）
A、合运动速度的大小一定大于两个分速度的大小
B、合运动速度的大小一定大于某一个分速度的大小
C、合速度的方向就是物体实际运动的方向
D、由两个分速度的大小就可以确定合运动速度的大小一定
4、船在静水中速度为 v1水流速度为 v2 ， v2 < v1。河宽为 d。，当船头垂直向对岸航行时，则：（ ）
A．实际航程最短 B．当船速不变，水流速度增大时过河时间不变
C．过河时间最短 D．当船速不变，水流速度增大时，过河时间变长
5、河边有 M、N 两个码头，一艘轮船的航行速度恒为 v1，水流速度恒为 v2，若轮船在静水中航行 2MN 的
时间是 t，则 （ ）
A.轮船在 M、N 之间往返一次的时间大于 t B.轮船在 M、N 之间往返一次的时间小于 t
C.若 v2越小，往返一次的时间越短 D.若 v2越小，往返一次的时间越长
6、红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在 A 点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直
线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图 6-2-7(2－1)中的：（ ）
A.直线 P B．曲线 Q C．曲线 R D．无法确定
6-2-7
二、填空题
7、某人横渡一条河流，船划行速度和水流速度一定，此人过河最 短时间为 T1；若
此人用最短的位移过河，则需时间为 T2，若船速大于水速，则船 速与水速之比为
________.
8、如图 6-2-8(图 3)所示，A、B 以相同的速率 v 下降，C 以速率 vx 上升，绳与
竖直方向夹角α已知，则 vx=_____v
6-2-8
9、一条河宽为 d ，河水流速为 v1 小船在静水中的速度为 v2 ，要使小船在过河中航行的路程最短，若
v1〈v2 s=__________；若 v1〉v2 s=____________
三、计算题
10、一人以 4m/s 的速度骑自行车向东行驶，感觉风是从正南吹来，当他以 4√3m/s 的速度骑行时，感觉风
是从西边吹来，则实际风速和风向如何？
11、船在 400 米宽的河中横渡，河水流速是 4m/s，船在静水中的航速是 2m/s，试求：
（1）要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处？最短时间是多少？
（2）要使船航程最短，船头应指向何处？最短航程为多少
★12、在光滑的水平面内，一质量 m＝1 kg 的质点以速度 v0＝10 m/s 沿 x轴正方向运动，经过原点后受一
沿 y轴正方向的恒力 F＝5 N 作用，直线 OA与 x轴成 37°角，如图 6-2-9(图 2 0)所示，求：（1）如果质点
的运动轨迹与直线 OA相交于 P点，则质点从 O点到 P点所经历的时间以及 P的坐标；
（2）质点经过 P 点时的速度？
6-2-9 20
【学后反思】
________________________________________________________________________________
___________________________________ 。
【参考答案】
典型例题: 例 1、(1)不能、(2) t=20s(3) s=112m(4) 0.6 25s 例 2、20m/s 方向竖直向下偏西
37°例题 3、(1)3m/s (2)1N (3)V=5m/s 方向与 X 轴成 53°(4)S=4 13 与 X 轴夹角为 arctan
-1
2/3
例题 4、9.22m/s
针对训练:1、B 2、BD 3、C 4、C 5、B 6、C
能力训练：1、C 2、A 3、C 4、C 5、AC 6、B 7、V1：V2= T2 /
2 2
2 1T T 8、Vx=v/ COSα 9 、
S=d S=dV1／V2 10、V=8m/s 方向向北偏动 30° 11、（1）船头垂直指向河岸 t=200s （2）船头指
向上游 30
0
，最小位移为 800m 12、（1）t=5s P（50 62.5）（2）5 29 方向为与 X 轴正方向成
arctan
-1
2.5
§6.3.平抛物体的运动
【学习目标】
1、知道平抛运动的特点
2、掌握平抛运动的规律
3、学会应用平抛运动的规律解决有关问题
【自主学习】
一、平抛运动：
二、受力特点： ；加速度为：______________.
三、运动规律
1、水平方向： ；公式为：____________
2、竖直方向： ；公式为：____________
(1)竖直方向上在连续相等时间内通过的位移之比为：
1 2 3: : : : nh h h h ___________________________
(2)竖直方向上在相邻且相等的时间 T 内通过的位移之差
h =_____________。
3、即时速度： V=______________
4、V 与 V0 的夹角：tg=______________
5、总位移： S= 22 yX = 22
0 )
2
1()( gttV
6、物体运动到某一位置(X0、Y0)时的速度的反向延长线与 X 轴交点
的坐标值为：_______________________________
7、物体运动到某一位置时，速度偏转角 的正切值与此刻位移和 X 轴之间夹角 正切值的比值为：
tan
tan
___________________
注意：已知 V0、Vy、V、x、y、S、、t 八个物理量中任意的两个，可以求出其它六个。
8、平抛运动是一种 曲线运动。
9、类似平抛运动：带电粒子垂直射入匀强电场，作类似平抛运动。
θ
Y
X
V0
0V O
【典型例题】
例 1、飞机在高出地面 0.81km 的高度，以 2.5×102km/h 速度水平飞行，为了使飞机上投下的的炸弹落在
指定目标上，应该在与轰炸目标的水平距离为多远的地方投弹。
例 2、如图所示，由 A 点以水平速度 V0抛出小球，落 在倾角为
的斜面上的 B 点时，速度方向与斜面垂直，不计空气 阻力，则此时
速度大小 VB=
飞行时间 t=
例 3、从高楼顶用 30m/s 的水平速度抛出一物体，落地 时的速度为
50m/s，求楼的高度。（取 g=10m/s2）
例 4、已知物体作平抛运动路径上有三个点，它们在以初速度方向为 x 轴正向，以竖直向下为 y 轴正向的
直角坐标系中的坐标是：（3，5），（4，11.25），（5，20），单位是（米），求初速度 V0 和抛出点的坐标。
【针对训练】
1、飞机以 150m/s 的水平速度匀速飞行，某时刻让 A 球下落，相隔 1 秒又让 B 球落下，不计空气阻力，在
以后的运动过程中，关于 A、B 两球相对位置的关系，正确的结论是：
A．A 球在 B 球的前下方 B．A 球在 B 球的后下方
C．A 球在 B 球的正下方 5m 处 D．以上说法都不对
2、一个物体以速度 V0 水平抛出，落地速度为 V，则运动时间为：（ ）
A． 0V V
g
B． 0V V
g
C．
2 2
0V V
g
D．
2 2
0V V
g
3、如图所示，小球自 A 点以某一初速做平抛运动，飞行一段时间后垂直打在斜面上的 B 点，已知 A、B
两点水平距离为 8 米， =300，求 A、B 间的高度差。
4、倾角为θ的斜面，长为 L，在顶端水平抛出一小球，小球刚好叠在斜面底端，那么，小球的初速度 V0
为多大。
【能力训练】
1、一个物体以初速 V0 水平抛出，经时间 t，竖直方向速度大小为 V0，则 t 为：（ ）
A
B
A
B
A． 0V
g
B． 02V
g
C． 0
2
V
g
D． 02V
g
2、在倾角为θ的斜面上某点，先后将同一小球以不同速度水平抛出，小球都能落在斜面上，当抛出速度
为 V1时，小球到达斜面时速度方向与斜面夹角α1，当抛出速度为 V2时，小球到达斜面时速度方向与斜面
夹角为α2。则：（ ）
A．当 V1>V2 时，α1>α2 B．当 V1>V2时，α1<α2
C．无论 V1、V2 大小如何，均有α1=α2 D．α1 与α2的关系与斜面倾角有关
3、物体做平抛运动时，它的速度的方向和水平方向间的夹角α的正切 tgα随时间 t 变化的图像是图 1 中的：
（ ）
4、有一物体在高 h 处，以初速 V0 水平抛出，不计空气阻力，落地时速度为 V1，竖直分速度 Vy，水平飞
行距离 S，则物体在空中飞行时间（ ）。
A、
2 2
1 2V V
g
B、
2h
g
C、
2
y
h
V
D、
1
S
V
5、一同学做“研究平抛物体运动”的实验，只在纸上记下重锤线 y 的方向，忘记在纸上记下斜槽末端位
置，并在坐标纸上描出如图所示的曲线，现在我们可以在曲线上取 A、B 两点，用刻度尺分别量出它们到
y 的距离 AA/=X1，BB/=X2，以及竖直距离 h1，从而求出小球 抛出的初
速度 V0 为：（ ）
A、
2 2
2 1( ) / 2x x h B． 2
2 1( ) / 2x x h
C． 1 2
2 2
x x g
h
D． 1 2
2 2
x x g
h
6、两同高度斜面，倾角分别为α、β小球 1、2 分别由斜面 顶端以相
同水平速度 V0 抛出（如图），假设两球能落在斜面上，则： ①飞行时
间之比
②水平位移之比
③竖直下落高度之比
7、从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们初速的 大小分别
为 V1和 V2，初速的方向相反，求经过多长时间两球速度之间的夹角为 900？
8、将一个物体又水平速度 V0 抛向一个倾角为α的斜面， 物体与斜面碰撞时
的交角β。求：
①飞行时间。
2x
A
A
B
1x
B
h
0V
2
β
V0 V01
②到达斜面时的速度。
9、如图所示，在一个足够长的斜面上，从 A 处水平抛出一小球，若抛出时的小球动能为 3J，求落到斜面
上 B 处时的动能为多大？
10、平抛一物体，当抛出 1 秒后，速度方向与水平成 450 角，落地时速度与水平成 600角，求：
①初速度
②落地速度
③开始抛出距地面的高度
④水平射程
【学后反思】
________________________________________________________________________________
___________________________________ 。
参考答案
典型例题：例题 1、0.88km 例题 2、V0 /sin 、V0/gtan 例题 3、H=80m 例题 4、V0=2m/s （1 .0）
针对训练：1、D 2、C 3、4 3 4、
1
2
cot 2 singl
能力训练：1、A 2、C 3、B 4、ABC 5、A 6 (1)tan :tan (2) tan : tan (3) tan
2 : tan
2 、
7、 1 2VV g 8、V0tan（ - ）/g V/cos（ - ） 9、7J 10、10m/s 20m/s 15 m 10 3 m
§6.4 匀速圆周运动
【学习目标】
（1）理解并记住描述圆周运动的物理量。
（2）学会解匀速圆周运动的运动学问题。
（3）掌握解圆周运动动力学问题的一般方法。
【自主学习】
一、匀速圆周运动的特点：
1、轨迹：
2、速度：
二、描述圆周运动的物理量：
1、线速度
（1）物理意义：描述质点
300
B
A
(2)方向:
(3)大小:
2、角速度
(1)物理意义:描述质点
(2)大小：
（3）单位：
3、周期和频率
（1）定义：做圆周运动的物体 叫周期。
做圆周运动的物体 叫频率。
（2）周期与频率的关系：
（3）频率与转速的关系：
4、向心加速度
（1）物理意义：描述
（2）大小：
（3）方向：
（4）作用：
5、向心力
（1）作用：
（2）来源：
（3）大小：
（4）方向：
★特别思考
（1）向心力、向心加速度公式对变速圆周运动使用吗？
（2）向心力对物体做功吗？
三、圆周运动及向心力来源：
1、匀速圆周运动：
（1）性质：
（2）加速度：
（3）向心力：
（4）质点做匀速圆周运动的条件：
（a）
(b)
2、非匀速圆周运动：
（1）性质：
（2）加速度：
（3）向心力：
3、向心力来源：
四、离心运动：
1、定义：
2、本质：
3、特别注意：
（1）离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
（2）离心运动并不是受到什么离心力作用的结果，根本就没什么离心力，因为没什么物体提供这种力。
【典型例题】
一、匀速圆周运动的运动学问题：
例 1、如图—1 所示,传动轮 A、B、C 的半径之比为 2：1：2，A、B 两轮用皮带传动，皮带不打滑，B、C
两轮同轴，a、b、c 三点分别处于 A、B、C 三轮的边缘，d 点在 A 轮半径的中点。试求：a、b、c、d 四点
的角速度之比，即ωa:ωb:ωc:ωd= 线速度之比,即 va:vb:vc:vc= ;向心加速
度之比,即:aa:ab:ac:ad= .
（小结）本题考察得什么：
例 2、如图—2，A、B 两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、
B 的周期分别为 T1、T2，且 T1VB B. ωA>ωB C. aA>aB D.压力 NA>NB
4、半径为 R 的光滑半圆柱固定在水平地面上，顶部有一小物块，如图 所示，今给小
物块一个初速度 gRv 0 ，则物体将：（ ）
A. 沿圆面 A、B、C 运动
B. 先沿圆面 AB 运动，然后在空中作抛物体线运动
C. 立即离开圆柱表面做平抛运动
D. 立即离开圆柱表面作半径更大的圆周运动
5、如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于 O 点，在 O 点正 下方的 P
点钉一颗钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释 放小球，
当悬线碰到钉子时：（ ）
①小球的瞬时速度突然变大
②小球的加速度突然变大
③小球的所受的向心力突然变大
④悬线所受的拉力突然变大
A. ①③④ B. ②③④
C. ①②④ D.①②③
6、如图所示，汽车以速度 V 通过一半圆形拱桥的顶点时，关于汽车受力的说法正确的是（ ）
A. 汽车受重力、支持力、向心力
B. 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力、向心力
C. 汽车的向心力是重力
D. 汽车的重力和支持力的合力是向心力
7．在光滑的水平面上相距 40 cm 的两个钉子 A和 B，如图 5-21 所示，长 1 m 的细绳一端系着质量为 0.4 kg
的小球，另一端固定在钉子 A上，开始时，小球和钉子 A、B在同一直线上，小球始终以 2 m/s 的速率在
水平面上做匀速圆周运动．若细绳能承受的最大拉力是 4 N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是：
（ ）
图 5-21
A．0.9π s B．0.8π s C．1.2π s D．1.6π s
8．如图所示，质量 m=0.1kg 的小球在细绳的拉力作用下在竖直面内 做半径为 r=0.2m
B
A
v
O
R
A B
C
θ
O
P
的圆周运动，已知小球在最高点的速率为 v1=2m/s，g 取 10m/s2，试求：
（1）小球在最高点时的细绳的拉力 T1=？
（2）小球在最低点时的细绳的拉力 T2=？
9．(6 分)如图 5-14 所示，半径为 R的圆板置于水平面内，在轴心 O点的正上方高 h处，水平抛出一个小
球，圆板做匀速转动，当圆板半径 OB转到与抛球初速度方向平行时，小球开始抛出，要使小球和圆板只
碰一次，且落点为 B，求：(1)小球初速度的大小．
(2)圆板转动的角速度。
图 5-14
10、长为 L=0.4m 的轻质细杆一端固定在 O 点，在竖直平面内作匀速圆周运动，角速度为ω=6rad/s，若杆
的中心处和另一端各固定一个质量为 m=0.2kg 的小物体，则端点小物体在转到竖直位置的最高点时，（g 取
10m/s
2
）求:
(1)杆对端点小物体的作用力的大小和方向；
(2)杆对轴 O 的作用力的大小和方向。
【学后反思】
________________________________________________________________________________
___________________________________ 。
参考答案
一 、例题
例一（1）ωb=ωc,ωa=ωb,因为 v=ωR,va=vb 且 ra=2rB,所以ωb=2ωa,由此得出:
因为ωa:ωb=1:2,ωb:ωc=1:1,ωa:ωd=1:1 ωa:ωb:ωc:ωd=1:2:2:1
(2)va=vb,而 va=2vd,vc=2vb,所以 va:vb:vc:vd=2:2:4:1
(3) aa:ab:ac:ad =2:4:8:1
或者按 aa:ab:ac:ad=ωa2ra:ωb2rb:ωc2rc:ωd2rd=2:4:8:1.
例 2、t=nT1T2/(T2-T1)
例 3、5／3 例 4
二、针对训练
1、答案：A
2、答案：C
解析：匀速圆周运动中，速度和加速度方向时刻在变，故 A、B 错，C 对；物体只有做匀速圆周运动
时，其合力才垂直于速度，不改变线速度大小，D 错．故 C 选项正确．
3．答案:B
解析：物体 A在水平台上，受重力 G竖直向下，支持力 FN竖直向上，且两力是一对平衡力，至于物
体 A是否受摩擦力，方向如何，由运动状态分析才知道，由于 A随圆盘做圆周运动，所以必须受到向
心力作用，G与 FN不能提供向心力，只有 A受摩擦力 F′且指向圆心充当向心力，才能使物体有向心
力而做匀速圆周运动．故 B 正确．
4．答案:B
解析：车厢突然制动时，重球由于惯性，继续向前运动，而悬线欲使它改变运动方向则沿圆弧运动，
所以拉力变大，即 B 正确．
5、答案:A
6．答案:A
7．解析：绳对 m1和 m2的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意
R1＋R2＝L，R2＝L-R1
对 m1：F＝m1ω2R1
对 m2：F＝m2ω2R2＝m2ω2(L-R1)
所以 m1ω2R1＝m2ω2(L-R1)
即得：R1＝ 2
1 2
m L
m m
R2＝L-R1＝
1
1 2
m L
m m
F＝m1ω2· 2
1 2
m L
m m
＝
2
1 2
1 2
mm L
m m
答案： 2
1 2
m L
m m
； 1
1 2
m L
m m
；F＝
2
1 2
1 2
mm L
m m
三、能力训练
1、D 2、C 3、A 4、C 5、B 6、D
7、答案：B
解析：当小球绕 A以 1 m 的半径转半圈的过程中，拉力是
F1＝m
2
1
v
r
＝0.4×
22
1
＝1.6 N，绳不断
当小球继续绕 B以(1－0.4)＝0.6 m 的半径转半圈的过程中，拉力为
F2＝m
2sin / 2
cos
gs v
g
＝0.4×
22
0.6
＝2.67 N，绳不断
当小球再碰到钉子 A，将以半径
(0.6－0.4)＝0.2 m 做圆周运动，
拉力 F3＝m
2
3
v
r
＝0.4×
22
0.2
＝8 N．绳断
所以在绳断之间小球转过两个半圈，时间分别为
t1＝
1
1
2
2 12
2 2
r
s
v v
＝0.5π s
t2＝
2
2
2
2 0.62
2 2
r
s
v v
＝0.3π s
所以断开前总时间是
t＝t1＋t2＝(0.5π＋0.3π)s＝0.8π s
8．（1）T﹦3N （2）T﹦7N
9．解析：(1)小球做平抛运动在竖直方向
h＝
1
2
gt2
t＝
2h
g
在水平方向：
s＝v1t＝v0
2h
g
＝R
所以 v0＝R
2
g
h
(2)因为 t＝nT＝n
2
即
2h
g
＝n
2
所以ω＝2πn
2
g
h
(n＝1，2，…)
答案：(1)R
2
g
h
(2)2πn
2
g
h
(n＝1，2，…)
10、简解：（1）mg+TA=mω
2 L
TA= mω2 L-mg=0.88N 方向向下
（2）mg+ TB -TA=mω
2 L/2
TB = TA +mω2 L/2-mg=0.32N 方向向下
轴 O受力方向向上，大小也为 0.32N
图 D-1
L
§6.5 圆周运动中的临界问题
【学习目标】
1.熟练处理水平面内的临界问题
2.掌握竖直面内的临界问题
【自主学习】
一．水平面内的圆周运动
例 1： 如图 5—1 所示水平转盘上放有质量为 m 的物快，当物块到转轴的距离为 r 时,若物块始终相对
转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的 倍，求转盘转动的最大角速度是多大？
拓展：如 o 点与物块连接一细线，求当① 1=
r
g
2
时，细线的拉力 T 1 ② 2=
r
g
2
3
时，细线的拉力
T 2
图 5—1
注：分析物体恰能做圆周运动的受力特点是关键
二．竖直平面内圆周运动中的临界问题
图 5—2 甲 图 5—2 乙 图 5—3 甲 图 5—3 乙
1．如图 5—2 甲、乙 所示，没有支撑物的小球在竖直平面作圆周运动过最高点的情况
○1 临界条件
○2 能过最高点的条件 ，此时绳或轨道对球分别产生______________
○3 不能过最高点的条件
2．如图 5—3 甲、乙所示，为有支撑物的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况
竖直平面内的圆周运动，往往是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内的变速圆周运动问题，中学
阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类问题进行简要分析。
○1 能过最高点的条件 ，此时杆对球的作用力
○2 当 0 gr 时，杆对小球的力为 其大小为____________
讨论：绳与杆对小球的作用力有什么不同？
例 2．长度为 L=0.50m 的轻质细杆 OA，A 端有一质量为 m=3.0kg 的小球，如图 5—4 所示，小球以 O 点
为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0m/s，（g=10m/s 2
）则此时细杆 OA 受的
（ ）
A. 6.0N 的拉力 B. 6.0N 的压力 C.24N 的压力 D. 24N 的拉力
【针对训练】
1．汽车与路面的动摩擦因数为 ，公路某转弯处半径为 R（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）问：若路
面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车最大速度应为多少？
2．长为 L 的细绳，一端系一质量为 m 的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平
初速度 v 0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ）
A. 小球过最高点时速度为零
B. 小球开始运动时绳对小球的拉力为 m
L
v 2
0
C. 小球过最高点时绳对小的拉力 mg
D. 小球过最高点时速度大小为 gL
3.如图 5—5 所示，细杆的一端与小球相连，可绕过 O 点的水平轴自由转动，先给小球一初速度，使它做
圆周运动。图中 a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对小球的作用力可能是：（ ）
A．a处为拉力 b处为拉力
B. a 处为拉力 b处为推力
C. a 处为推力 b处为拉力
D. a 处为推力 b 处为拉力
A
图 5—4 图 5—5
4．以下说法中正确的是：（ ）
A.在光滑的水平冰面上，汽车可以转弯
B.火车转弯速率小于规定的数值时，内轨将会受压力作用
C.飞机在空中沿半径为 R的水平圆周盘旋时，飞机的翅膀一定处于倾斜状态
D.汽车转弯时需要的向心力由司机转动方向盘所提供的力
【能力训练】
1.如图 5—6 所示 A、B、C 三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为 ，A的质量为 2m，B、C 质量均为
m，A、B离轴为 R,C 离轴为 2R，则当圆台旋转时，（设 A、B、C 都没有滑动）：（ ）
A.C 物的向心加速度最大 B.B 物的静摩擦力最小
C.当圆台转速增加时，C比 A先滑动 D. 当圆台转速增加时，B 比 A 先滑动
h
2． 如图 5—7所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为 ，圆筒的半径为 R，若要物体不滑下，圆筒的角速度
至少为：（ ）
A.
R
g
B. g C.
R
g
D.
R
g
图 5—6 图 5—7 图 5—8
3.把盛水的水桶拴在长为 L的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水桶转到最高点时不从桶
里流出来，这时水桶的线速度至少应该是：（ ）
A. gL B.
2
gL
C. gL2 D. 2 gL E. 0
4．如图 5—8 所示，小球在光华圆环内滚动，且刚好通过最高点，则求在最低点的速率为：（ ）
A.4gr B.2 gr C.2gr D. gr5
5．汽车在倾斜的弯道上拐弯，弯道的倾角为 ，半径为 r，则汽车完全不靠摩擦力转弯的速率是：（ ）
A. singr B. cosgr C. tangr D. cotgr
6．如图 5—9所示，长为 L的轻杆一端固定一个小球，另一端固定在光滑水平轴上，使小球在竖直平面内
做圆周运动，关于小球在过最高点的速度 ,下列叙述中正确的是：（ ）
A.的极小值为 gL
B. 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C.当由 gL值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D.当由 gL值逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐增大
7．如图 5—10 所示，质量为 m 的物体随水平传送带一起匀速运动,A 为传送带的终端皮带轮，皮带轮半径
为 r，要使物体通过终端时，能水平抛出，皮带轮的转速至少为：（ ）
A.
2
1
r
g
B.
r
g
C. gr D.
2
gr
8．用绝缘细线拴住一带正电的小球，在方向竖直向上的匀强电场中的竖直平面内做圆周运动，则正确的
说法是：（ ）
A. 当小球运动到最高点 a时，线的张力一定最小
B. 当小球运动到最低点 b时，小球的速度一定最大
C. 小球可能做匀速圆周运动
D. 小球不可能做匀速圆周运动 A
m
a a
图 5—9 图 5—10 图 5—11
C B A
r
A
9．童非，江西人，中国著名体操运动员，首次在单杠项目实现了“单臂大回环”，用一只手抓住单杠，伸
展身体，以单杠为轴做圆周运动，假设童非质量为 65kg，那么，在完成“单臂大回环”的过程中，童非的
单臂至少要能够承受多大的力？(g=10m/s
2
)
10．如图 5—11 所示，质量为 m=100g 的小物块，从距地面 h=2.0m 出的斜轨道上由静止开始下滑，与斜轨
道相接的是半径 r=0.4m 的圆轨道， 若物体运动到圆轨道的最高点 A 时，物块对轨道恰好无压力，求物块
从开始下滑到 A 点的运动过程中克服阻力做的功。(g=10m/s
2
)
【学后反思】
________________________________________________________________________________
___________________________________ 。
参考答案:
例 1 m =
g
r
拓展:○1 T1 =0 ○2 T 2 = 2
mg
例 2. B
针对训练:1.V m = gr 2.D 3.AB 4.BC
能力训练：1.ABC 2.D 3.A 4.D 5.C 6.BC 7.C 8.C 9.5mg 10.1J
6.单元测试一
一.选择题:
1.关于物体做曲线运动，下列说法正确的是：（ ）
A.物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B.物体在变力作用下有可能做曲线运动
C.做曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向不在同一条直线上
D.物体在变力作用下不可能做直线运动
2.物体受几个力作用而做匀速直线，若突然撤去其中一个力，它可能做：（ ）
A．匀速直线运动 B. 匀加速直线运动
C．匀减速直线运动 D. 曲线运动
3.关于运动的性质，下列说法中正确的是：（ ）
A．变速运动一定是曲线运动
B. 曲线运动一定是变加速运动
C．曲线运动一定是变速运动
D.物体加速度数值，速度数值均不变的运动一定是直线运动
4.做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的量是：（ ）
A．速率 B. 速度 C．加速度 D. 合外力
5．若一个物体的运动是两个独立的分运动合成的，则：（ ）
A.若其中一个分运动是变速直线运动，另一个分运动是直线运动，则物体的合运动一定是变速运动
B.若两个分运动都是匀速直线运动，则物体的合运动一定是匀速直线运动
C.若其中一个分运动是匀变速直线运动，另一个分运动是匀速直线运动，则物体的运动一定是曲线运动
D.若其中一个分运动是匀加速直线运动，另一个分运动是匀速直线运动，合运动可以是曲线运动
6.某人以一定的速率垂直河岸将船向对岸划去，当水流匀速时，关于它过河需时间，发生的位移与水速的
关系是：（ ）
A.水速小时，位移小，时间不变
B.水速大时，位移大，时间长
C.水速大时，位移大，时间不变
D.位移，时间与水速无关
7.一条机动船载客渡河,若其在静水中的速度一定,河水的流速也不变,且 V 船>V 水,则：（ ）
A.船垂直到达对岸,渡河最省时
B.使船身方向垂直于河岸, 渡河最省时
C.船沿垂直河岸的轨迹, 渡河路程最短
D.使船身方向垂直于河岸, 渡河路程最短
8.在以速度 V 匀速上升的电梯内竖直向上抛出一小球,电梯内的观察者看见小球经 ts 到达最高点,则有：
（ ）
A.地面上的人所见球抛出时初速度 Vo=gt
B.电梯内的观察者看见球抛出时初速度 Vo=gt
C.地面上的人看见球上升的最大高度为 h=
2
1
gt2
D.地面上的人看见球上升的时间也为 t
9．如图所示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸拉绳的速度必须是：（ ）
A.加速拉
B.减速拉
C.匀速拉
D.先加速后减速
10．某人站在自动扶梯上，经时间 t1 从一楼升至二楼，如果电动扶 梯不动，此人
沿着扶梯从一楼走至二楼所用时间为 t2;现使扶梯正常运动，人也保持原来的速度向上走，则人从一楼到二
楼的时间是：（ ）
A.t2-t1 B.
21
21
tt
tt
C .
21
21
tt
tt
D .
2
2
2
2
1 tt
11.关于运动的合成，下列说法中正确的是：（ ）
A.合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B.两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C.两个分运动是直线运动的合运动，一定是直线运动
D.两个分运动的时间，一定与它们的合运动的时间相等
12．甲球从某点开始做自由落体运动，2t 后乙球从同一点开始做自由落体运动，那么：（ ）
A.甲球相对乙球做匀速直线运动 B.甲球相对乙球做匀减速直线运动
C.甲球相对乙球做匀加速直线运动 D.甲，乙两球相对静止
13．一个质点在恒力作用下，在 xoy 平面内从 o 点运动到 A 点的轨迹如图，且在 A 点时的速度方向与 x
轴平行，则恒力 F 的方向不可能的是：（ ）
A.沿+x 方向 y
B.沿-x 方向
C.沿+y 方向
D.沿-y 方向 o x
14.匀速上升的气球中，有人水平向右抛出一物体，取竖直向上为 y 轴正方向，水平向右为 x 轴正方向，则
地面上的人看到的物体运动轨迹是下图中的：（ ）
A． B． C．y D． y
y y x x
0 x 0 x
15.质点做曲线运动，它的轨迹如图所示，由 A 向 C 运动，关于它通过 B 点时的速度 v 的方向和加速度 a
的方向正确的是：（ ）
16．一个物体
在光滑水平面
上以初速度 v
做曲线运动，
已知物体在运
动过程中只受
水平恒力的作
用，其运动轨迹如图，则物体由 M 点运动到 N 点的过程中，速度的大小变化情况是：（ ）
0 0
A
N
A．逐渐增加 B．逐渐减小
C．先增加后减小 D．先减小后增加 v M
17．在空中某点以相同的速率同时分别竖直向上，竖直向下，水平向左，水平向右抛出四个小球，不计空
气阻力，在小球落地前的某一瞬间，问以四个小球所在的位置构成的四边形是：（ ）
A．任意四边形 B．长方形 C．菱形 D．正方形
二.填空题:
18．物体做曲线运动，在某段时间内其位移大小为本 100m，则通过的路程 s 一定（填＜、＝、＞）100m。
19．河宽 420m，船在静水中的速度为 4m/s，水流速度为 3m/s，则过河的最短时间为 s,最小位移为
m.。
三.计算题:
20．小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发点 10min 到达对岸下游 120m 处，若船
头保持与河岸成α角向上游航行，在出发 12.5min 到达正对岸，求：
(1).水流的速度，
(2）.船在静水中的速度，
(3).河的宽度，
(4).船头与河岸间的夹角α，
21．河宽 L=300m，水流速 v1=1m/s，船在静水中的速度 v2=3m/s，求：
(1).以最短时间过河，船的航行时间
(2).以最短位移过河，船的航行时间
(3).当船身与上游河岸成 53°时，船的航行时间及航行位移
22．飞机在航空测量，它的航线要严格地从西到东，如果飞机的速度是 80km/h,风从南面吹来，风的速度
是 40km/h，那么，
(1).飞机应朝什么方向飞行？
(2).如果所测地区长度为 80√ km，所需时间是多少？
23．在地面上匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊起物体在同一时刻的
速度分别为 v1和 v2，v1=v,求
(1).两绳夹角为θ时，物体上升的速度？
(2).若汽车做匀速直线运动过程中，物体是加速上升还是减速上升？
(3).绳子对物体拉力 F 与物体所受重力 mg 的大小关系如何？
3
参考答案
一.选择题:
1.BC, 2.BCD, 3.C, 4.B , 5.BD, 6.C , 7.BC, 8.BC, 9.A, 10.B,
11.BD , 12.A , 13.ABC , 14.B, 15.B, 16.D，
二.填空题:
18．＞ ，19. 105 , 420,
三.计算题:
20. (1).12m/min, (2). 20m/min , (3). 200m , (4). α=53º,
21. (1).100s (2).75 2 , (3).t 船= 125s ；S 位移=50 85 m 22.(1).东偏南 30º，(1). 2 小时,
23. (1).V2=vsin (2).加速上升， (3).F＞mg
6.单元检测二
一、选择题
1、下列关于平抛运动的说法正确的是：（ ）
A．平抛运动是非匀变速运动 B．决定一个平抛运动总时间是抛出的竖直高度
C．平抛运动是匀变速曲线运动 D．平抛运动的水平位移决定于初速度
2、从距地面高 h 处水平抛出一小石子,空气阻力不计,下列说法正确的是：（ ）
A.石子运动速度与时间成正比
B.石子抛出时速度越大,石子在空中飞行时间越长
C.抛出点高度越大,石子在空中飞行时间越长
D.石子在空中任何时刻的速度与其竖直方向分速度之差为一恒量
3.做平抛运动的物体，每秒钟的速度增量是：（ ）
A.大小相等，方向相同 B.大小不等，方向不同
C.大小相等，方向不同 D.大小不等，方向相同
4、以初速度 v0 水平抛出一物体，当其竖直分位移与水平分位移相等时：（ ）
A．竖直分速度等于水平分速度 B．瞬时速度为 5 v0
C．运动时间为 2v0/g D．速度变化方向在竖直方向上
5．在高空匀速水平飞行的轰炸机，每隔 1 s 投放一颗炸弹，若不计空气阻力，则，
①这些炸弹落地前排列在同一条竖直线上
②这些炸弹都落于地面上同一点
③这些炸弹落地时速度大小方向都相同
④相邻炸弹在空中距离保持不变
以上说法正确的是：（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
6.在高度为 h的同一位置向水平方向同时抛出两个小球 A和 B，若 A球的初速度 vA大于 B球的初速度 vB，
则下列说法中正确的是：（ ）
A.A球比 B球先落地
θ,
B.在飞行过程中的任一段时间内，A球的水平位移总是大于 B球的水平位移
C.若两球在飞行中遇到一堵墙，A球击中墙的高度大于 B球击中墙的高度
D.在空中飞行的任意时刻，A球总在 B球的水平正前方，且 A球的速率总是大于 B球的速率
7.甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高出 h，将甲、乙两球以 v1、v2 速度沿同一水平方向
抛出，不计空气阻力.下列条件中可能使乙球击中甲球的是：（ ）
A.同时抛出，且 v1＜v2 B.甲迟抛出，且 v1＞v2
C.甲早抛出，且 v1＞v2 D.甲早抛出，且 v1＜v2
8、甲、乙两人从距地面 h高处抛出两个小球,甲球的落地点距抛出点的水平距离是乙的 2
倍,不计空气阻力,为了使乙球的落地点与甲球相同,则乙抛出点的高度可能为: （ ）
A、2h B、 2 h C、4h D、3h
9．两平行、竖直、光滑的墙相距为 d，高为 h，今有一小球在墙顶沿垂直墙的方向水平抛出，要求落地的
位置与抛出时的位置在同一竖直线上，则初速度 vo可能是：（ ）
A、
2
gd
h
D、 2
2
gd
h
C、3
2
gd
h
D、5
2
gd
h
10．从高 H处以水平速度 v1平抛一个小求 1，同时从地面以速度 v2 竖直向上抛出一个小球 2，两小球在空
中相遇则：（ ）
A．从抛出到相遇所用时间为
H
v1
B．从抛出到相遇所用时间为
H
v2
C．抛出时两球的水平距离是
v H
v
1
2
D．相遇时小球 2 上升高度是H gH
v
1
2 1
2
11、关于做平抛运动的物体，下列说法正确的是：（ ）
A．第１秒内、第２秒内、第３秒内的位移之比为１：３：５
B．第１秒内、第２秒内、第３秒内水平方向的位移之比为１：３：５
C．第１秒内、第２秒内、第３秒内的速度增加量相同
D．第１秒内、第２秒内、第３秒内的加速度不断增大
12、柯受良驾驶汽车飞越黄河，汽车从最高点开始到落地为止这一过程可以看作平抛运
动。记者从侧面用照相机通过多次曝光，拍摄到汽车在经过最高点以后的三幅运动照片
如图 3 所示。相邻两次曝光时间间隔相等，已知汽车长度为 L，则：（ ）
A．从左边一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小
B．从左边一幅照片可推算出汽车曾经达到的最大高度
C．从中间一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小和汽车曾经达到的最大高度
D．根据实验测得的数据，从下边任一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小
图 3
二、填空题
13、物体从高处被水平抛出后，第 3s 末的速度方向与水平方向成 45°角，那么平抛物体运动的初速度
为______m/s，第 4s 末的速度大小为______m/s。（取 g=10m/s2，设 4s 末仍在空中）
14、如图所示为一小球做平抛运动的频闪照片的一部分，图中背景是边长为 5cm 的小方格，A．B．C
是摄下的三个小球位置，则闪光的时间间隔为 。小球抛出的初速度为 。小球经过 B
点的竖直分速度为 。（g 取 10m/s2）
15、从某高度处以 12m/s 的初速度水平抛出一物体，经 2s 落地，g 取 10m/s2，则物体抛出处的高度是
______m，物体落地点的水平距离是______m，速度方向与竖直方向的夹角θ的正切 tgθ=______。
16．如图所示，从高为 H 的地方 A 平抛一物体，其水平射程为 2s。在 A 点正上方高度为 2H 的地方 B
点，以同方向平抛另一物体，其水平射程为 s，两物体在空中的轨道在同一竖直平面内，且都是从同一
屏 M 的顶端擦过，求屏 M 的高度是_____________。
三、计算题
17、如图，子弹从 O点水平射出，初速度为 v0,穿过两块竖直放置的薄挡板 A和 B，留下弹孔 C和 D，测
量 C和 D的高度差为 0.1 m，两板间距 4 m，A板离 O点的水平距离为 14 m,不计挡板和空气的阻力，求
v0 的大小。
18．如图 9—25 所示，一个小球从楼梯顶部以υ0=2m/s
的水平速度抛出，所有楼梯台阶台高 0.2m，宽 0.25m，
问小球从楼梯顶部滚下后首先撞到哪一级台阶上？
19．如图 5-10 所示在倾角为θ的斜面上以速度 v0 水平抛出一小球，设斜面足够长，则从抛出开始计时，
经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？
20、 如图 5－7 所示，M和 N是两块相互平行的光滑竖直弹性板．两板之间的距离为 L，高度为 H．现从
M 板的顶端 O以垂直板面的水平速度 v0 抛出一个小球．小球在飞行中与 M 板和 N板，分别在 A 点和 B 点相
碰，并最终在两板间的中点 C 处落地．求：
(1)小球抛出的速度 v0 与 L 和 H 之间满足的关系；
(2)OA、AB、BC 在竖直方向上距离之比．
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C CD A BCD B BCD D C D BCD C AC
二、填空题
13、30，50
14、 0.1s 1.5m/s 2m/s
15、20，24，3/5
16、6H／7
三、计算题
17、80m
18、3 级
19．解析：当小球做平抛运动距斜面有最大距离时，其速度方向恰与斜面平行
所以 vtcosθ＝v0
vtsinθ＝vy
而得：vy＝v0tanθ
又因为 vy＝gt 所以 v0tanθ＝gt
t＝ 0 tanv
g
答案： 0 tanv
g
20、 (1)分析可知运动的全过程中，小球始终保持其水平速度大小 v0 不变．设运动全过程飞行时
间为 t，水平全程长度为 S，则
2Ht
g
0 0
2Hs v t v
g
又 S＝2.5L，
故 0 0
22.5 , 2.5
2
H gL v v L
g H
(2)取小球由 B到 C为一个时间间隔Δt．小球从 O抛出到 C点落地共经过 5 个Δt．在此 5个Δt 中
下落高度之比为：1∶3∶5∶7∶9．
由于 tOA 包括第 1个Δt 和第 2个Δt；tAB 包括第 3 个Δt和第 4 个Δt，故三段竖直距离之比为
hOA∶hAB∶hBC＝(1＋3)∶(5＋7)∶9＝4∶12∶9．
6.阶段检测（一）
一、选择题
1、小球以水平速度 v0 向竖直墙抛出，小球抛出点与竖直墙的距离为 L，在抛出点处有一点光源，在小球
未打到墙上前，墙上出现小球的影子向下运动，则影子的运动是：（ ）
A、匀速运动 B、匀加速运动，加速度是 g
C、匀加速运动，加速度大于 g D、匀加速运动，加速度小于 g
2、火车以 0 98 2. /m s 的加速度在平直轨道上加速行驶，车厢中一乘客把手伸出窗外从距地面高 2.5m 处自
由释放一物体，不计空气阻力，物体落地时与乘客的水平距离为：（ ）
A、0 B、0.25m C、0.50m D、因不知火车速度无法判断
3、从离地面高为 h 处，以水平速度 v0 抛出一物体，物体落地时的速度与竖直方向所成的夹角为 ，取下
列四组 h 和 v0 的值时，能使 角最大的一组数据是：（ ）
A、h m v m s 5 100， / B、h m v m s 5 150， /
C、h m v m s 10 50， / D、h m v m s 10 200， /
4、匀速圆周运动中的向心加速度是描述：（ ）
A、线速度大小变化的物理量 B、线速度大小变化快慢的物理量
C、线速度方向变化的物理量 D、线速度方向变化快慢的物理量
5、飞机驾驶员最多可承受 9 倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲时速度为 v，
则圆弧的最小半径为：（ ）
A、
v
g
2
9
B、
v
g
2
8
C、
v
g
2
7
D、
v
g
2
6、如图 7 所示。a、b两质点从同一点 O分别以相同的水平速度 v0 沿 x轴正方向被抛出, A在竖直平面内
运动,落地点为 P1,B沿光滑斜面运动,落地点为 P2。P1和 P2 在同一水平面上,不计空气阻力。则下面说法中
正确的是：（ ）
A．a、b的运动时间相同
B．a、b沿 x轴方向的位移相同
C．a、b落地时的动量相同
D．a、b落地时的动能相同
7、把甲物体从 2h 高处以速度 V 水平抛出,落地点的水平距
离为L,把乙物体从 h高处以速度 2V水平抛出,落地点的水平
距离为 S,比较 L 与 S,可知：（ ）
A、L=S/2 B、L=2S C、 L S
1
2
D、 L S 2
8、下图是物体做平抛运动的 x-y 图象,物体从 O 点抛出,x、y 分别 为 其 水 平
和竖直位移,在物体运动的过程中,经某一点 P(x,y)时,其速度的反 向 延 长 线
交于 x 轴上的 A 点,则 OA 的长为：（ ）
A、x B、0.5x C、0.3x D、不能确定.
9、如图所示，在皮带传动装置中，主动轮 A 和从动轮 B 半径不 等，皮带与
轮之间无相对滑动，则下列说法中正确的是：（ ）
A．两轮的角速度相等
B．两轮边缘的线速度大小相同
C．两轮边缘的向心加速度大小相同
D．两轮转动的周期相同
10、用细线拴着一个小球，在光滑水平面上作匀速圆周运动，下列说法中正确的是：（ ）
A、小球线速度大小一定时，线越长越容易断
B、小球线速度大小一定时，线越短越容易断
C、小球角速度一定时，线越长越容易断
D、小球角速度一定时，线越短越容易断
11、冰面对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的 k 倍，在水平冰面上沿半径为 R 的圆周滑行的运动员，若
仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足：（ ）
A. v kRg B． v kRg C. 2v kRg D． / 2v kRg
12、雨伞半径 R 高出地面 h，雨伞以角速度 旋转时，雨滴从伞边缘飞出，则以下说法中正确的是：（ ）
A、雨滴沿飞出点的半径方向飞出，做平抛运动
B、雨滴沿飞出点的切线方向飞出，做平抛运动
C、雨滴落地后在地面形成一个和伞半径相同的圆
D、雨滴落地后形成半径为
g
hRr
221
的圆
13、关于圆周运动的下列说法中正确的是（ ）
A.做匀速圆周运动的物体，在任何相等的时间内通过的位移都相等
B.做匀速圆周运动的物体，在任何相等的时间内通过的路程都相等
C.做圆周运动的物体的加速度一定指向圆心
D.做圆周运动的物体的加速度不一定指向圆心
14、如下图所示，将完全相同的两个小球 A、B，用长 L=0.8 m 的细绳悬于以 v=4 m／s 向右匀速运动的小
车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比 FB∶FA为(g=10
m／s2) （ ）
A B
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
二、填空题
15、如图 4-21 所示,半径为 r 的圆形转筒,绕其竖直中心轴 OO’转动,小物块 a 靠在圆筒的内
壁上,它与圆筒间的动摩擦因数为μ,现要使小物块不下落,圆筒转动的角 速度ω至少为
16、如图 4-22 所示,长为 2L 的轻绳,两端分别固定在一根竖直棒上相 距为 L 的 A、
B 两点，一个质量为 m 的光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒以一定 的角速度转
动时，圆环以 A 为圆心在水平面上作匀速圆周运动，则此时轻绳上 的张力大小
为 ；竖直棒转动的角速度为 。
17、电风扇在闪光灯下运动,闪光灯每秒闪光 30 次,风扇的三个叶片 互成 1200 角
安装在转轴上.当风扇转动时,若观察者觉得叶片不动,则这时风扇的 转速至少是
转 /分 ;若观察者觉得有了 6 个叶片 ,则这时风扇的转速至少是 转/分。
18、水平抛出一物体,在(t-1)s 时的速度方向与水平面成 300 角,在 ts 时速度方向
与水平面成 450 角,则时间 t= s.
19、如图所示，水平面上有一物体，人通过定滑轮用绳子拉它，在图示位置时，若人的速度为 5 m/s，则
物体的瞬时速度为___________m/s.
三、计算题
20、轻杆长 l=0.2 米,一端固定于 O 点,另一端连质量为 m=0.5 千克的小球,绕 O 点在竖直平面内做圆周运动.
当小球以速率V=1米/秒通过最高点A时,杆受到小球的作用力是拉力还是压力？将轻杆换成细绳,且细绳能
承受的最大拉力为 35 牛,则小球能够到达 A 点并且绳子不被拉断，经过 A 点时的速率范围是多少？ (g 取
10 米/秒 2).
21、下图是一种高速喷射流测速器,金属环的半径为 R,以角速度ω旋转,当狭缝 P 经过喷射口时,粒子就进入
圆环,如果环不转动,粒子应沿直径打在 A 点,由于环高速转动,因此粒子将落到 A点. AO 与 OA 间夹角为
θ,则喷射流的速度为多少？。 (重力和空气阻力不计)
0
0/
a
图 4-21
A
B
0
图
22、在海边高 45m 的悬崖上，海防部队进行实弹演习，一平射炮射击离悬崖水平距离为
1000m，正以 10m/s 的速度迎面开来的靶舰，击中靶舰（g 取 10m/s2）试求：
（1）炮弹发射的初速度；（2）靶舰中弹时距离悬崖的水平距离
23、光滑水平面上，一个质量为 0.5 kg 的物体从静止开始受水平力而运动.在前 5 s 内受到一个正东方向、
大小为 1 N 的水平恒力作用，第 5 s 末该力撤去，改为受一个正北方向、大小为 0.5 N 的水平恒力，作用
10 s 时间，问：
（1）该物体在前 5 s 和后 10 s 各做什么运动？
（2）第 15 s 末的速度大小及方向各是什么？
24、如图所示，一个人用一根长 1 m，只能承受 46 N 拉力的绳子，拴着一个质量为 1 kg 的小球，在竖直平
面内做圆周运动.已知圆心 O离地面 h=6 m，转动中小球在最低点时绳子断了.求：（1）绳子断时小球运动的
角速度多大？
（2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离
.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A C C D B D C B B BC B BD BD C
二、填空题
15、
g
r
16、（
5 8;
4 3
gmg
L
） 17、600;300
18、
3 3
2
19、5 3
三、计算题
20、①压力 ② 2 / 4 /Am s V m s
21、
2
2
RV
n
22、（1）323.3m/s （2）970m
23、（1）前 5 s 做匀加速直线运动，后 10 s 做匀变速曲线运动.
（2）10 2 m/s，方向东偏北 45°
24、（1）6 rad/s （2）6 m
6.阶段测试（二）
一、选择题
1、关于轮船渡河，正确的说法是：（ ）
A、水流的速度越大，渡河的时间越长
B、欲使渡河时间越短，船头的指向应垂直河岸
C、欲使轮船垂直驶达对岸，则船相对水的速度与水流速度的合速度应垂直河岸
D、轮船相对水的速度越大，渡河的时间一定越短
2、一架飞机水平地匀速飞行.从飞机上每隔1秒钟释放一个铁球,先后共释放4个.若不计空气阻力,则四
个球：（ ）
A、在空中任何时刻总是排成抛物线;它们的落地点是等间距的.
B、在空中任何时刻总是排成抛物线;它们的落地点是不等间距的.
C、在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线;它们的落地点是等间距的.
D、在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线;它们的落地点是不等间距的.
3、如果两个不在同一直线上的分运动都是匀速直线运动，对其合运动的描述中正确的是：（ ）
A、合运动一定是曲线运动
B、合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动
C、合运动一定是匀速直线运动
D、只有当两个分运动的速度数值相等时，合运动才为匀速直线运 动
4、如图所示，质量为 M 的物体穿在离心机的水平光滑滑杆上， M 用绳子与
另一质量为 m 的物体相连。当离心机以角速度ω旋转时，M 离转 轴轴心的距
离是 r。当ω增大到原来的 2 倍时，调整 M 离转轴的距离，使之 达到新的稳
定状态，则：（ ）
A、M 受到的向心力增大
B、M 的线速度减小到原来的 1/2
C、M 离转轴的距离是 r/2
D、M 离转轴的距离是 r/4
5、如图所示，用同样材料做成的 A、B、c 三个物体放在匀速转动的水平转 台上随转台
一起绕竖直轴转动．已知三物体质量间的关系 ma=2mb=3mc，转动半径之间的 关 系 是
rC=2rA=2rB，那么以下说法中错误的是：（ ）
A．物体 A 受到的摩擦力最大 B．物体 B 受到的摩擦力最小
C．物体 C的向心加速度最大 D．转台转速加快时，物体 B最先开 始滑动
6、如图，在电机距轴 O 为 r 的处固定一质量为 m 的铁块，电机启动 后，铁块以
角速度ω绕 O轴匀速转动，则电机对地面最大压力和最小压力之差为： （ ）
A、2mω2 r B、mω2 r C、mg+2mω2 r D、2mg+2mω2r
7、物体作平抛运动时，描述物体在竖直方向的分速 v，（取向下为正） 随 时 间 变
化的图线是：（ ）
8、 a、b、c 三球自
同一高度以相同速度
抛出，a 球竖直上抛，
b 球水平抛出，c 球竖
直下抛。设三球落地
时的速率分别为 v v va b c、 、 ，则（ ）
A、 v v va b c B、 v v va b c
C、 v v va b c D、 v v va b c
9、有一质量为 m的小木块，由碗边滑向碗底，碗的内表面是半径为 R的圆弧，由于摩擦力的作用，木块
运动的速率不变，则木块：（ ）
A、 运动的加速度为零 B、 运动的加速度恒定
C、 所受合外力为零 D、 所受合外力大小不变，方向随时 间不断改变
10、火车轨道在转弯处外轨高于内轨，起高度差由转弯半径与火 车速度确定。若
在某转弯处规定行驶速度为 v，则下列说法中正确的是：（ ）
①当以 v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力 提供向心力
②当以 v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
③当速度大于 v时，轮缘挤压外轨 ④当速度小于 v时，轮缘挤压外轨
r
M
m
r
O
A
vy
O t O O O B C D
vy vy vy
t t t
A、 ①③ B ①④ C、②③ D、②④
11、小球做匀速圆周运动，半径为 R，向心加速度为 a，则下列说法错误．．的是：（ ）
A. 小球的角速度
R
a
B. 小球运动的周期
a
RT 2
C. t时间内小球通过的路程 taRS D. t时间内小球转过的角度 t
a
R
12、河边有 M、N 两个码头，一艘轮船的航行速度恒为 v1，水流速度恒为 v2，若轮船在静水中航行 2MN
的时间是 t，则：（ ）
A、轮船在 M、N 之间往返一次的时间大于 t
B、轮船在 M、N 之间往返一次的时间小于 t
C、若 v2越小，往返一次的时间越短
D、若 v2越小，往返一次的时间越长
13、如图 2—3 所示，蹲在树枝上的一只松鼠看到一个猎人正在用枪水平对准它，就在子弹出枪口时，松
鼠开始运动，下述各种运动方式中，松鼠不能逃脱厄运而被击中的是(设树枝足够高)：（ ）
①自由落下 ②竖直上跳
③迎着枪口，沿 AB 方向水平跳离树枝
④背着枪口，沿 AC 方向水平跳离树枝
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②④
二、填空题
14、如右图所示，一小球由距地面高为 H 处自由下落，当它下落了距 离为 h
时与斜面相碰，碰后小球以原来的速率水平抛出。当 h=____H 时，小 球 落
地时的水平位移有最大值。
15、图 7 中圆弧轨道 AB 是在竖直平面内的 1/4 圆周，在 B 点轨道的 切 线
是水平的，一质点自 A 点从静止开始下滑，不计滑块 与 轨
道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达 B 点时的 加 速
度大小为_____，刚滑过 B 点时的加速度大小为_____。
16、一质量为 m 的物体，沿半径为 R 的圆形向下凹的轨道滑行，如图 8 所示，经过最低点的速度为 v，物
体与轨道之间的滑动摩擦因数为μ，则它在最低点时所受到的摩擦力 为_____
17、为了测量子弹射出枪口的速度，两人用如图所示的装置进行测量， 重木板用细线
悬于高处，甲同学持枪在距板水平距离 100m 的地方射击，枪口水平 并瞄准木板的
中心 O，乙同学用剪刀剪断细线后，甲立即开枪，设两人总的反应时 间为 0.1s（即
剪断细线到子弹射出的时间），结果木板上的弹孔在 O 点正上方 的 A 点，测得
OA 距离为 15cm，则子弹离开枪口的速度为_________m/s。
18、质量为 1．0kg 的物体放在可绕竖直轴转动的水平圆盘上， 物体与转轴间
用轻弹簧相连．物体与转盘问最大静摩擦力是重力的 0．1 倍， 弹簧的劲度系
数为 600 N／m，原长为 4cm，此时圆盘处于静止状态，如图 2 —13 所示．
圆盘开始转动后，要使物体与圆盘保持相对静止，圆盘的最大 角 速 度 ω
0=5rad/s (2)当角速度达到 2ω0时，弹簧的伸长量 X= ． (g
O
A
取 10m／s2)
三、计算题
19、 有一小船正在渡河，如图 11 所示，在离对岸 30 ｍ时，其下游 40ｍ处有一危险水
域.假若水流速度为 5 m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小
速度应是多大?
20、 有 A、B、C 三个小球，A 距地面较高，B 其次，C 最低，A、C 两球相距 10m，并且在同一竖直平
面上，三球同时开始运动，C 作竖直上抛，B 作平抛，A 作竖直下抛，三个球初速度相同，5s 后三个球相
遇，不计空气阻力，求：
(1)三个球的初速度各多大？
(2)开始运动时，B 球与 C 球的水平距离和竖直距离各是多少？
21、如图在绕竖直轴 OO’做匀速转动的水平圆盘上，沿同一半径方向放着可视为质点的 A、B两物体，同
时用长为l的细线将这两物连接起来，一起随盘匀速转动。已知A、B两物体质量分别为mA=0.3kg和mB=0.1kg，
绳长 l=0.1m，A 到转轴的距离 r=0.2m,A、B 两物体与盘面之间的最大静摩擦力均为其重力的 0.4 倍，g 取
10m/s2。
⑴若使 A、B 两物体相对于圆盘不发生相对滑动，求圆盘的角速度。
⑵当圆盘转速增加到 A、B 两物体即将开始滑动时烧断细线，则 A、B 两物体的运动情况如何？A 物体所受
摩擦力时多大？
22、如图所示，光滑圆管形轨道 AB 部分平直，BC 部分是处于竖直平面内半径为 R 的半圆，圆管截面半
径 r R ，有一质量 m，半径比 r 略小的光滑小球以水平初速 v0 射入圆管。（1）若要小球能从 C 端出来，
初速 v0 多大？
（2）在小球从 C 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况。初速 v0 各应满足什么条件？
23、排球场总长 18 m，网高 2.25 m，如图所示.设对方飞来一球，刚好在 3 m 线正上方被我方运动员后排
强攻击回.假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动.（g取 10 m/s2）
（1）若击球的高度 h=2.5 m，球被击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底
BAω
O’
O
图 11
v0
C
B A
线，则球被击回的水平速度在什么范围内？
（2）若运动员仍从 3 m 线处起跳，起跳高度 h满足一定条件时，会出现无论球的水平初速多大都是触网或越
界，试求 h满足的条件.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
BC C C D D A D D D A D AC C
二、填空题
14、1/2， 15、2g；g， 16、um(g+
v 2
/R) 17、 1000m/s
18、 5rad/s； 0.006m
三、计算题
19、解:设小船到达危险水域前，恰好到达对岸，则其合位移方向如图所示，设合位移方向与河岸的夹角为
α，则
30 3tan
40 4
，即α＝37°，小船的合速度方向与合 位移方向相同，
根据平行四边形定则知，当船相对于静水的速度 v1 垂直于合 速度时，v1 最小，
由图可知，v1的最小值为
1min 2
3sin 5 / 3 /
4
v v m s m s ，这时 v1 的方向与河岸的 夹角β＝90°－α
＝53°.即从现在开始，小船头指向与上游成 53°角，以相对于静水的速度 3 m/s 航行，在到达危险水域前恰
好到达对岸。
20、解：按题意画出 A、C两球的位置，因 A、C 两球相距 10m，且在同时抛出后 5s 相遇，所以 A、C 两球
的相遇点必在 C球正下方 D 点，可先确定 D 点位置，然后再由 B球的平抛运动特点确定 B 球距 D 点的水平
距离和竖直距离，可得出 B球距 C 球初始位置的水平距离和竖直距离
（1）设三个小球在 D 点相遇
2
0
2
0
1
2
1
2
AD
CD
h v t gt
h v t gt
则： 02AC AD CDh h h v t
h
2.25m
18m
3m
A
v0
v0 B
v0
C
D
0 010 2 5 1 /v v m s
（2） 0 1 5 5BC xs v t m
2 2
0
0
1 1( )
2 2
1 5 5
BCy BDy CDs h h
gt v t gt
v t m m
21、答案： A
4 100 / F 1.07
3
rad s A B N ⑴ ⑵ 不动； 物体做离心运动
22、解：（1）小球从 A 端射入后，若刚好能达到管顶，则 0Cv ，由机械能守恒：
2
0
1 2
2
mv mg R
得 0 4v gR
因此，要求小球能从 C 端出来，必须使 0Cv ，所以入射速度应满足条件：
（2）小球从 C 端出来的瞬间，可有三种典型情况：
（1）刚好对管壁无压力，此时需满足条件：
2
0
2 2
0 0
5
1 12
2 2
Cvmg m
R v Rg
mv mg R mv
（2）对下管壁有压力，此时相应的入射速度为： 04 5Rg v Rg
（3）对上管壁有压力，相应的入射速度为 0 5v Rg
23、(1)13.4 m/s＜v≤17 m/s (2)h＜2.4 m
第七章 万有引力
§7.1 行星的运动 太阳与行星间的引力
【学习目标】
1、了解人类认识天体运动的历史过程。
2、理解开普勒三定律的内容及其简单应用，掌握在高中阶段处理行星运动的基本方法。
3、知道太阳与行星间的引力与哪些因素有关。
4、学习科学家发现万有引力定律的过程与方法。
【自主学习】
一、人类认识天体运动的历史
1、“地心说”的内容及代表人物：
2、“日心说”的内容及代表人物：
二、开普勒行星运动定律的内容
开普勒第一定律： 。
开普勒第二定律： 。
开普勒第三定律： 。即： k
T
a
2
3
在高中阶段的学习中，多数行星运动的轨道能够按圆来处理。
三、太阳与行星间的引力
牛顿根据开普勒第一、第二定律得出太阳对不同行星的引力与 成正比，与
成反比，即 。然后，根据牛顿第三定律，推知行星对太阳的引力
为 ，最后，得出：
【典型例题】
例 1、海王星的公转周期约为 5.19×109s，地球的公转周期为 3.16×107s，则海王星与太阳的平均距
离约为地球与太阳的平均距离的多少倍？
例 2、有一颗太阳的小行星，质量是 1.0×1021kg，它的轨道半径是地球绕太阳运动半径的 2.77 倍，
求这颗小行星绕太阳一周所需要的时间。
例 3、16 世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过 40 多年的天文观测和潜心研究，提出了“日
心说”的如下四个观点，这四个论点目前看存在缺陷的是（ ）
A、宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。
B、地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运转的同
时还跟地球一起绕太阳运动。
C、天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象。
D、与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多。
例 4．假设已知月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，假如地球对月球的万有引力突然
消失，则月球的运动情况如何？若地球对月球的万有引力突然增加或减少，月球又如何运动呢？
【针对训练】
1、某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的 1/3 则此卫星运行的
周期大约是：（ ）
A．1－4 天之间 B．4－8 天之间 C．8－16 天之间 D．16－20 天之间
2、两行星运行周期之比为 1：2，其运行轨道的半长轴之比为：（ ）
A.1/2 B.
2
2
C.
3
2
2
1
D.
2
3
2
1
3、地球到太阳的距离是水星到太阳距离的 2.6 倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比是多少？
（设地球和水星绕太阳运转的轨道是圆轨道）
4．关于日心说被人们所接受的原因是（ ）
A．以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题
B．以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星的运动的描述也变得简单了
C．地球是围绕太阳转的 D．太阳总是从东面升起从西面落下
5、考察太阳 M 的卫星甲和地球 m(mr2 B、r1
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