江苏省常熟市2021届高三上学期阶段性抽测二（12月）数学试题

江苏省常熟市2021届高三上学期阶段性抽测二（12月）数学试题

常熟市 2021 届高三上学期阶段性抽测二 数学 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合  2 5 6 0 ,A x x x   ∣ 函数 ln(4 )y x  的定义域为 B, 则 ( )A B  A .[2,4) B [ 1,4)  C. [-1,4] D. [-6,4) 2. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与直线 : 3 0m x y  垂直，则直线 l 的倾斜角为 ( ) A. 3  B. 6  C. 2 3  5 D. 6  3. 魏晋时期，我国古代教学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术： "割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无 所失矣" .割圆术可以视为将一个圆内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角 形(如图所示),当 n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的 面积，运用割圆术的思想，可得到sin3 的近似值为 ( ) A. 30  B. 60  C. 90  4.已知直线 : 2 1 0l ax y a    与圆 2 2: 25C x y  交于 A,B 两点, 则|AB|的最小值为（ ） A. 4 5 В. 4 6 C. 2 5 2 21D  5. 已知数列    ,n na b 均为等差数列，其前 n 项和分别为 , ,n nS T 且 12 2 ,3 n u S n T n   若 n n a b  对任意的 *n N 恒成立，则实数 的最大值为 ( ) A. 5 2 B 0 C. -2 D.2. 6 . 已知函数 ln , 0 ( ) , , 0x x x x f x x xe     则函数 ( 1 )y f x   的部分图象大致为 ( ) 7 . 已知两曲线 ( ) 2sin , ( ) cos , 0, 2f x x g x a x x        相交于点 P, 若两曲线在点 P 处 的切线互相垂直,则实数 a 的值为 ( ) .2A B. 2 3 3 C. 2 2 3. 3D  8 . 已知桶圆 2 2 : 19 5 x yE   的左、右焦点分别为 1 2, ,F F P 为糊圆上一个动点, Q 为圆 2 2 10 8 40 0M x y x y    ： 上一个动点，则|PF1|+|PQ|的最大值为（ ） A . 12 B. 65 1 C. 11 D. 18 二、多项选择题 : 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.每小题给出的四个选项中， 都有多个选项是正确的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，选错或不答的得 0 分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 9 . 在平面内，已知线段 AB 的长度为 4, 则满足下列条件的点 P 的轨迹为圆的是 ( ) A. 90APB   2 2B 10 C 6PA PB PA PB        D. 3PA PB 10.对于函数 π( ) sin( )3f x x  （其中>0），下列结论正确的是（ ） A.若 π( ) | ( ) |12f x f  恒成立，则的最小值为 2 B. 当 2  时 , ( )f x 在区间 0, 2      上是单调函数 C. 当 2  时, ( )f x 的图象可由 ( ) cos 2 6g x x      的图象向右移 3  个单位长度得到 D. 当 1 2   时 , ( )f x 的图象关于点 ,03     中心对称 11 . 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点为 F, 一条渐近线过点 (2 3, 6), 则下列结论正确的是 ( ) A. 双曲线 C 的离心率为 3 B 双曲线 C 与双曲线 2 2 12 4 y x  有相同的渐近线 C. 若 F 到渐近线的距离为 2, 则双曲线 C 的方程为 2 2 18 4 x y  D 若直线 2 : al x c  与渐近线围成的三角形面积为 4 2, 则焦距为 6 2 I2. 在平面直角坐标系 xOy 中，如图放置的边长为 2 的正方形 ABCD 沿 x 轴滚动(无滑动 滚动 ), 点 D 恰好经过坐标原点，设顶点 ( , )B x y 的轨迹方程是 ( ),y f x 则对于函数 ( )y f x 的判断正确的是 ( ) A . 对任意的 ,xR 都有 ( 4) ( 4)f x f x   B 函数 ( )y f x 是非奇非偶函数 C. 函数 ( )y f x 的值域为 [0,2 2] D. 函数 ( )y f x 在区间 [8,12] 上是减函数 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.请把笞案填写在答题卡相应的位置 上. 13 已知抛物线 y=ax2(a>0)的焦点为 F(0,2 ) ,过 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点，则|AB|的最 小值为 . 14. 数列的发展，折射出许多有价值的数学思想，对时代的进步起了重要的作用比如意大利 数学家 Leonardo Fibonacci 以兔子繁殖为例，引入"免子数列" :即 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,  即 1 2 1,a a  当 3n  时， 1 2 ,n n na a a   此数列在现代物理及化学领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被 4 整除后 的余数构成一个新的数列 ,nb 记数列 nb 的前 n 项和为 ,nS 则 2020S 的值为 . 15 . 在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 : 2 0l x y  上第三象限内的点, ( 5,0),B  以线 段 AB 为直径的圆 (C C 为圆心)与直线 l 相交于另一点 D, 若 ,AB CD 则圆C 的标准 方程为 . 16. 设函数 ( )f x 在定义域 (0, ) 上是单调函数，对  (0, ), ( ) e e,xx f f x x      若不等式 ( ) 1f x ax  对 (0, )x   恒成立，则实数 a 的取值范围是 . 四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡上指定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明、 证明过程或演算步骤 17.( 本小题满分 10 分) 已知 3( ) 2sin sin 6 2f x x x        . (1 ) 求函数 ( )f x 的最小正周期及单调递减区间 (2) 将函数 ( )f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的 1 ,2 纵坐标伸长为原来的 2 倍， 得到函数 ( )g x 的图象，求函数 ( )g x 在区间 0, 4      上的值域. 18.( 本小题满分 12 分 ) 已知各项均不相等的等差数列  na 的前 5 项和为 30, 且 1 2 4, ,a a a 是等比数列  nb 的前 3 项. (1) 求 ,n na b (2) 设数列  nb 的前 n 项和为    1 , ,1 1 n u n n n bS c S S      求数列  nc 的前 6 项 和 6T . 19.( 本小题满分12分)在①2a+c=2bcosC,② 2 2 24 3( )S b a c   ,③sin cos 02 A C B   三个 条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作出解答. 在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 , , ,a b c ABC 的面积为 S,且 . (1)求角 B (2)若 c=3, ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 ,D BCD 的面积为 75 3 ,32 求 a 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知焦点在 x 轴上和抛物线 E 过 点 A(4,2). （1）求抛物线 E 的标准方程 ; ( 2 ) 过点 A 作圆 2 2: ( 2) 1M x y   的两条切线 A B, A C ，分别交抛物线 E 于 B, C 两点, 求证 : 直线 B C 与圆 M 相切. 21 .（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2sin cos , ( )f x x x x x f x   为 ( )f x 的导函数. (1) 证明 : ( )f x 在区间 (0, ) 内存在唯一零点 i (2) 若 [0, ]x  时 , ( )f x ax 恒成立，求实数 a 的取值范围. 22.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 ,2 且过焦点 垂直于 x 轴的弦长为 2 2 . （1）求椭圆C 的标准方程； (2) 过点 ( 2,0)M 的直线 l 与糊圆C 交于 A，B 两点，点 P 为直线 4 2x  上(不在 x 轴 上)的一动点. ①|A B|=4 10 3 ,求直线 AB 的斜率； ②设直线 PA, PB, PM 的斜率分别为 1 2 3, , ,k k k 试探究 : 是否存在常数 , R 使得 1 2 3k k k  恒成立?若存在，求出  的值 ；若不存在 ，请说明理由.