人教版九年级下册数学课本知识点归纳

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1 人教版九年级下册数学课本知识点归纳 第二十六章 二次函数 一、二次函数 1、一般地，如果 cbacbxaxy ,,(2  是常数， )0a ，那么 y 叫做 x 的 二次函数。x 是自变量。其中，a 是二次项系数；b 一次项系数；c 是 常数项。 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① 2axy  ；② kaxy  2 ；③  2hxay  ；④   khxay  2 ；⑤ cbxaxy  2 。 3、二次函数的图象： cbacbxaxy ,,(2  是常数， )0a ，的图像是抛 物线。抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点。顶点是抛物线的 最高点或最低点。 4、求抛物线顶点(最大或最小值)和对称轴的方法 （1）配方法：运用配方的方法，将抛物线 cbxaxy  2 的解析式化 为   khxay  2 的形式，得到顶点为(h,k )，对称轴是直线 hx  。 （2）公式： a bac a bxacbxaxy 4 4 2 22 2       ，∴顶点是 ），（ a bac a b 4 4 2 2 ，对称轴是直线 a bx 2  。 5、二次函数的图象的特点： （1）抛物线 2axy  的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴； （2）抛物线   khxay  2 的顶点是(h,k)，对称轴是 x=h； 2 （3）抛物线 cbxaxy  2 的顶点是( a bac a b 4 4 2 2 ， )，对称轴是 a bx 2  ； ①当 0a 时  抛物线开口向上  顶点为其最低点；②当 0a 时 抛 物线开口向下  顶点为其最高点。｜a｜越大，开口越小。｜a｜越 小，开口越大。 （4）几种特殊的二次函数的图像特征如下表： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy  当 0a 时 开口向上 当 0a 时 开口向下 0x （ y 轴） （0,0） kaxy  2 0x （ y 轴） (0, k )(上下平移)  2hxay  hx  ( h ,0) (左右平移)   khxay  2 hx  ( h , k ) cbxaxy  2 a bx 2  ( a bac a b 4 4 2 2 ， ) 二、二次函数与二元一次方程的关系 二次函数 cbxaxy  2 ，y=0 时； 二元一次方程 02  cbxax ； 二次函数 cbxaxy  2 ，y=0 时， 自变量 x 的取值是图像与 x 轴的交 点； 求二元一次方程 02  cbxax 的两个根 二次函数 cbxaxy  2 ，y=0 时，图 像与 x 轴有一个交点时； 二元一次方程 02  cbxax 有 两个相等的实数根 二次函数 cbxaxy  2 ，y=0 时，图 像与 x 轴有两个交点时； 二元一次方程 02  cbxax 有 两个不相等的实数根 二次函数 cbxaxy  2 ，y=0 时，图 像与 x 轴没有交点时； 二元一次方程 02  cbxax 没 有实数根 3 第二十七章 相似 一、图形的相似 1．图形的相似：如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么 这两个图形相似。（相似的符号：∽） 性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。 2．判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那 么这两个多边形相似。 3．相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为 1 时， 相似的两个图形全等。 二、相似三角形 1．性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交， 所构成的三角形与原三角形相似。 2．判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个 三角形相似。②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相 应的夹角相等，那么这两个三角形相似。③如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 (①三边对应成比例②两个三角形的两个角对应相等；③两边对应成比例,且夹角相 等；④相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、 内切圆半径等）的比等于相似比。) 3．相似三角形应用 4 视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到 的区域。 4．相似三角形的周长与面积：①相似三角形周长的比等于相似比。 ②相似多边形周长的比等于相似比。③相似三角形面积的比等于 相似比的平方。④相似多边形面积的比等于相似比的平方。 三、位似 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的 连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形， 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为 k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于 k 或-k。 注意 1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形， 而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形的位似中心只有一个； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 5．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相 似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形 的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 6．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分 布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 5 第二十八章 锐角三角函数 一、锐角三角函数 1．正弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边a与斜边的比叫做∠A的正弦， 记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边=a/c； 2.余弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边b与斜边的比叫做∠A的余弦， 记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边=b/c； 3.正切：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切， 记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b。 ①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有 单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以 “A”；④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 4、余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA= ∠A的邻边/∠A的对边=b/a； 5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通 常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐 角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达： 若∠A 为锐角，则①sinA = cos(90°−∠A）等 等。 6、记住特殊角的三角函数值表0°， 30°，45°，60°，90°。 7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切 值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减 小(或增大)。0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。 同角的三角函数间的关系：tanα·cotα=1，tanα=sinα/cosα， cotα=cosα/sinα，sin2α+cos2α=1 6 二、解直角三角形 1.解直角三角形: 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。 2．在解直角三角形的过程中用到的关系:(在△ABC中，∠C为直角， ∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，) （1）三边之间的关系：a2+b2=c2；(勾股定理) （2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； （3)边与角之间的关系： sinA =a/c；(a= c sinA) cosA =b/c；(b= c cosA) tanA=a/b。 sinA= cosB cosA =sinB sinA= cos(90°-A) sin2α+cos2α=1 第二十九章 投影与视图 一、投影 1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等） 上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平 面叫做投影面。 2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。(光源特别远) 3．中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心 投影 7 4．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投 影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。 5． 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形 状、大小完全相同。当物体的某个面顶斜于投影面时，这个面的正投 影变小。当物体的某个面垂直于投影面时，这个面的正投影成为一条 直线。 二、三视图 1．三视图：是观测者从三个不同位置(正面、水平面、侧面)观察同 一个空间几何体而画出的图形。三视图就是主视图、俯视图、左视图 的总称。另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表 达物体的结构。 2．主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图。 3．俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。 4．左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。 5．三个视图的位置关系：①主视图在上、俯视图在下、左视图在右； ②主视、俯视表示物体的长，主视、左视表示物体的高，左视、俯视 表示物体的宽。③主视、俯视 长对正 ，主视、左视 高平齐，左视、 俯视 宽相等 。 6．画法：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其它部分遮档而看 不见的部分的轮廓线画成虚线。