烟台市2020年中考数学试题及答案

烟台市2020年中考数学试题及答案

烟台市 2020 年中考数学试题及答案 1．4的平方根是（ ） A．±2 B．－2 C．2 D． 2 2．下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．实数 a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是 （ ） A．a B．b C．c D．无法确定 4．如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A． B． C． D． 5．如果将一组数据中的每个数都减去 5，那么所得的一组新数据（ ） A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变 C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变 6．利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ） A．按键 即可进入统计计算状态 B．计算 8的值，按键顺序为： C．计算结果以“度”为单位，按键 可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果 D．计算器显示结果为 1 3 时，若按 键，则结果切换为小数格式 0.333333333 7．如图， 1 2OA A△ 为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边 OA2为直角边作等腰直角三角 形 OA2A3，再以 OA3为直角边作等腰直角三角形 OA3A4，…，按此规律作下去，则 OAn 的长度为（ ） A．（ 2 ）n B．（ 2 ）n﹣1 C．（ 2 2 ）n D．（ 2 2 ）n﹣1 8．量角器测角度时摆放的位置如图所示，在 AOB 中，射线 OC交边 AB于点 D，则 ∠ADC的度数为（ ） A．60° B．70° C．80° D．85° 9．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明 用边长为 4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔 跑者”，其中阴影部分的面积为 5cm2的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，点 G为 ABC 的重心，连接 CG，AG并延长分别交 AB，BC于点 E，F， 连接 EF，若 AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则 EF的长度为（ ） A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4 11．如图，在矩形 ABCD中，点 E在 DC上，将矩形沿 AE折叠，使点 D落在 BC边上 的点 F处．若 AB＝3，BC＝5，则 tan∠DAE的值为（ ） A． 1 2 B． 9 20 C． 2 5 D． 1 3 12．如图，正比例函数 y1＝mx，一次函数 y2＝ax+b和反比例函数 y3＝ k x 的图象在同一 直角坐标系中，若 y3＞y1＞y2，则自变量 x的取值范围是（ ） A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或 x＞1 C．0＜x＜1 D．x ＜﹣1或 0＜x＜1 13．5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒 1300000 KB以上，这 意味着下载一部高清电影只需 1秒，将 1300000用科学记数法表示应为__________． 14．若一个正多边形的每一个外角都是 40°，则这个正多边形的内角和等于 ． 15．若关于 x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则 k的取 值范围是_____． 16．按如图所示的程序计算函数 y的值，若输入的 x值为﹣3，则输出 y的结果为_____． 17．如图，已知点 A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接 AB，CD，将线段 AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段 CD重合（点 A与点 C重合，点 B与点 D重合）， 则这个旋转中心的坐标为_____． 18．二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a ＞1；④关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0的一个根为 1，另一个根为﹣ 1 a ．其中正确 结论的序号是_____． 19．先化简，再求值： 2 2 2 y y x y x y       ÷ 2 x xy y ，其中 x＝ 3 +1，y＝ 3﹣1． 20．奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学 生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒 乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计 图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整； （3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用 A，B，C， D，E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出 他俩选择不同项目的概率． 21．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售 A，B 两种型号的口罩 9000只，共获利润 5000元，其中 A，B两种型号口罩所获利润之比为 2：3．已知每只 B型口罩的销售利润是 A型口罩的 1.2倍． （1）求每只 A型口罩和 B型口罩的销售利润； （2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共 10000只，其中 B型口罩的进货 量不超过 A型口罩的 1.5倍，设购进 A型口罩 m只，这 1000只口罩的销售总利润为W 元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？ 22．如图，在平行四边形 ABCD中，∠D＝60°，对角线 AC⊥BC，⊙O经过点 A，B， 与 AC交于点M，连接 AO并延长与⊙O交于点 F，与 CB的延长线交于点 E，AB＝EB． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若 AD＝2 3，求AM的长（结果保留π）． 23．今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题， 清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图 1，机器人工作时，行人抬手在测温头处 测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报 警，从而有效阻隔病原体． （1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某 一地区居民的身高数据： 测量对象 男性（18～60岁） 女性（18～55岁） 抽样人数（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000 平均身高（厘米） 173 175 176 164 165 164 根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米； （2）如图 2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此 利用（1）中的数据得出测温头点 P距地面 105厘米．指示牌挂在两臂杆 AB，AC的连 接点 A处，A点距地面 110厘米．臂杆落下时两端点 B，C在同一水平线上，BC＝100 厘米，点 C在点 P的正下方 5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角． （参考数据表） 计算器按键顺序 计算 结果 （近 似 值） 计算器按键顺序 计算 结果 （近 似 值） 0.1 78.7 0.2 84.3 1.7 5.7 3.5 11.3 24．如图，在等边三角形 ABC中，点 E是边 AC上一定点，点 D是直线 BC上一动点， 以 DE为一边作等边三角形 DEF，连接 CF． （问题解决） （1）如图 1，若点 D在边 BC上，求证：CE+CF＝CD； （类比探究） （2）如图 2，若点 D在边 BC的延长线上，请探究线段 CE，CF与 CD之间存在怎样 的数量关系？并说明理由． 25．如图，抛物线 y＝ax2+bx+2与 x轴交于 A，B两点，且 OA＝2OB，与 y轴交于点 C， 连接 BC，抛物线对称轴为直线 x＝ 1 2 ，D为第一象限内抛物线上一动点，过点 D作 DE⊥OA于点 E，与 AC交于点 F，设点 D的横坐标为 m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段 DF的长度最大时，求 D点的坐标； （3）抛物线上是否存在点 D，使得以点 O，D，E为顶点的三角形与 BOC 相似？若 存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．A 【解析】 【详解】 4的平方根是±2.选 A. 点睛：辨析平方根与算术平方根，开平方与平方 2．A 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可． 【详解】 解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对 称图形的概念． 3．A 【解析】 【分析】 根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案． 【详解】 解：观察有理数 a，b，c在数轴上的对应点的位置可知， 这三个数中，实数 a离原点最远，所以绝对值最大的是：a． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了绝对值的意义，以及有理数大小的比较，正确掌握绝对值的意义是解题关键． 4．B 【解析】 【分析】 结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项． 【详解】 解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形． 故选：B． 【点睛】 本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定各个图形的位置，难 度不大． 5．C 【解析】 【分析】 由每个数都减去 5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少 5，方差不变， 据此可得答案． 【详解】 解：如果将一组数据中的每个数都减去 5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数 都减少 5，方差不变， 故选：C． 【点评】 本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义． 6．B 【解析】 【分析】 根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值． 【详解】 解：A、按键 即可进入统计计算状态是正确的，故选项 A不符合题意； B、计算 8的值，按键顺序为： ，故选项 B符合题意； C、计算结果以“度”为单位，按键 可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故 选项 C不符合题意； D、计算器显示结果为 1 3 时，若按 键，则结果切换为小数格式 0．333333333是正确 的，故选项 D不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了科学计算器，熟练了解按键的含义是解题的关键． 7．B 【解析】 【分析】 利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案． 【详解】 解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1， ∴OA2＝ 2 ； ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴OA3＝2＝ 2( 2) ； ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴OA4＝2 2 ＝ 3( 2) ． ∵△OA4A5为等腰直角三角形， ∴OA5＝4＝ 4( 2) ， …… ∴OAn的长度为（ 2 ）n﹣1， 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键． 8．C 【解析】 【分析】 根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°， ∴∠A＝∠B＝ 1 2 (180°﹣140°)＝20°， ∵∠AOC＝60°， ∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°， 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的 关键． 9．D 【解析】 【分析】 先求出最小的等腰直角三角形的面积＝ 1 8 × 1 2 ×42＝1cm2，可得平行四边形面积为 2cm2，中 等的等腰直角三角形的面积为 2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为 4cm2，再根据阴影部 分的组成求出相应的面积即可求解． 【详解】 解：最小的等腰直角三角形的面积＝ 1 8 × 1 2 ×42＝1（cm2），平行四边形面积为 2cm2，中等 的等腰直角三角形的面积为 2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为 4cm2，则 A、阴影部分的面积为 2+2＝4（cm2），不符合题意； B、阴影部分的面积为 1+2＝3（cm2），不符合题意； C、阴影部分的面积为 4+2＝6（cm2），不符合题意； D、阴影部分的面积为 4+1＝5（cm2），符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利用 分割法求阴影部分的面积． 10．A 【解析】 【分析】 由已知条件得 EF 是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得 EF的长度． 【详解】 解：∵点 G为△ABC的重心， ∴AE＝BE，BF＝CF， ∴EF＝ 1 2 AC＝1.7， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得 EF 为三角 形的中位线． 11．D 【解析】 【分析】 先根据矩形的性质和折叠的性质得 AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在 Rt△ABF中，利用勾股 定理可求出 BF的长，则 CF可得，设 CE＝x，则 DE＝EF＝3﹣x，然后在 Rt△ECF中根据 勾股定理可得关于 x的方程，解方程即可得到 x，进一步可得 DE的长，再根据正切的定义 即可求解． 【详解】 解：∵四边形 ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∵矩形 ABCD沿直线 AE折叠，顶点 D恰好落在 BC边上的 F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在 Rt△ABF中，BF＝ 2 2 25 9 4AF AB    ， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1， 设 CE＝x，则 DE＝EF＝3﹣x 在 Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2， ∴x2+12＝（3﹣x）2，解得 x＝ 4 3 ， ∴DE＝EF＝3﹣x＝ 5 3 ， ∴tan∠DAE＝ 5 13 5 3 DE AD   ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活 运用这些性质进行推理与计算是解题的关键． 12．D 【解析】 【分析】 根据图象，找出双曲线 y3落在直线 y1上方，且直线 y1落在直线 y2上方的部分对应的自变量 x的取值范围即可． 【详解】 解：由图象可知，当 x＜﹣1或 0＜x＜1时，双曲线 y3落在直线 y1上方，且直线 y1落在直 线 y2上方，即 y3＞y1＞y2， ∴若 y3＞y1＞y2，则自变量 x的取值范围是 x＜﹣1或 0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 13． 61.3 10 【解析】 【分析】 科学记数法就是将一个数字表示成 a×10 n的形式，其中 1≤|a|＜10，n表示整数． n的值为 这个数的整数位数减 1，由此即可解答． 【详解】 1300000= 61.3 10 ． 故答案为： 61.3 10 ． 【点睛】 本题考查了科学记数法，科学记数法就是将一个数字表示成 a×10 n的形式，正确确定 a、n 的值是解决问题的关键． 14．1260° 【解析】 ∵一个多边形的每个外角都等于 40°， ∴多边形的边数为 360°÷40°=9， ∴这个多边形的内角和=180°×（9-2）=1260° 15． 1 2 k  且 1k  ． 【解析】 【分析】 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得二次项系数不等于零,△大于零,求解不等式组即 可. 【详解】 解：∵关于 x 的一元二次方程(k-1)x2+2x-1=0 有两个不相等的实数根,即 1 0 4 4 1 1 0 k k         （ ）（ ） , 解得：k＞0 且 k≠1. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式,中等难度,考虑二次项系数是解题关键. 16．18 【解析】 【分析】 根据﹣3＜﹣1确定出应代入 y＝2x2中计算出 y的值． 【详解】 解：∵﹣3＜﹣1， ∴x＝﹣3代入 y＝2x2，得 y＝2×9＝18， 故答案为：18． 【点评】 本题主要考查函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是解题的关键． 17．(4，2) 【解析】 【分析】 画出平面直角坐标系，作出新的 AC，BD的垂直平分线的交点 P，点 P即为旋转中心． 【详解】 解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是 P点，P（4，2）， 故答案为：（4，2）． 【点睛】 本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为 旋转中心． 18．②③④ 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断 a与 0的关系，由抛物线与 y轴的交点得出 c的值，然后根据抛物 线与 x轴交点的个数及 x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：①由二次函数的图象开口向上可得 a＞0，对称轴在 y轴的右侧，b＜0， ∴ab＜0，故①错误； ②由图象可知抛物线与 x轴的交点为（1，0），与 y轴的交点为（0，﹣1）， ∴c＝﹣1， ∴a+b﹣1＝0，故②正确； ③∵a+b﹣1＝0， ∴a﹣1＝﹣b， ∵b＜0， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1，故③正确； ④∵抛物线与与 y轴的交点为（0，﹣1）， ∴抛物线为 y＝ax2+bx﹣1， ∵抛物线与 x轴的交点为（1，0）， ∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为 1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣ 1 a ，故④正确； 故答案为②③④． 【点评】 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换．会利用特殊值代入 法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，然后根据图象判断其值． 19．化简结果为 2y x y ；求值结果为 2﹣ 3． 【解析】 【分析】 根据分式四则运算顺序和运算法则对原式进行化简 2 2 2 y y x y x y       ÷ 2 x xy y ，得到最简 形式后，再将 x＝ 3 +1、y＝ 3﹣1代入求值即可． 【详解】 解： 2 2 2 y y x y x y       ÷ 2 x xy y ＝ 2( ) ( )( ) ( )( ) y x y y x y x y x y x y         ÷ ( ) x y x y ＝ ( )( ) xy x y x y  × ( )y x y x  ＝ 2y x y 当 x＝ 3 +1，y＝ 3﹣1时 原式＝ 2( 3 1) 2  ＝2﹣ 3． 【点睛】 本题考查分式的混合运算，掌握计算法则，依据运算顺序进行计算是得出正确答案的关键． 20．（1）200名；（2）见解析；（3）树状图见解析， 4 5 【解析】 【分析】 （1）用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案； （2）用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数，从而补全统计图； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数，然后根 据概率公式即可得出答案． 【详解】 解：（1）此次共调查的学生有：40÷ 72 360   ＝200（名）； （2）足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（人）， 补全统计图如下： （3）根据题意画树状图如下： 共用 25种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有 20种， 则他俩选择不同项目的概率是 20 25 ＝ 4 5 ． 【点睛】 本题考查的是扇形统计图，条形统计图和用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图 法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合 两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．（1）每只 A型口罩和 B型口罩的销售利润分别为 0.5元，0.6元；（2）药店购进 A型口 罩 4000只、B型口罩 6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为 5600元 【解析】 【分析】 （1）设销售 A型口罩 x只，销售 B型口罩 y只，根据“药店三月份共销售 A，B两种型号 的口罩 9000只，共获利润 5000元，其中 A，B两种型号口罩所获利润之比为 2：3”列方程 组解答即可； （2）根据题意即可得出W关于 m的函数关系式；根据题意列不等式得出 m的取值范围， 再结合根据一次函数的性质解答即可． 【详解】 解：设销售 A型口罩 x只，销售 B型口罩 y只，根据题意得： 9000 2000 30001.2 x y x y       ， 解得 4000 5000 x y    ， 经检验，x＝4000，y＝5000是原方程组的解， ∴每只 A型口罩的销售利润为： 2000 0.5 4000  （元）， 每只 B型口罩的销售利润为：0.5×1.2＝0.6（元）， 答：每只 A型口罩和 B型口罩的销售利润分别为 0.5元，0.6元． （2）根据题意得，W＝0.5m+0.6（10000﹣m）＝﹣0.1m+6000， 10000﹣m≤1.5m，解得 m≥4000， ∵0.1＜0， ∴W随 m的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当 m＝4000时，W取最大值，则﹣0.1×4000+6000＝5600， 即药店购进 A型口罩 4000只、B型口罩 6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为 5600 元． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是 根据一次函数 x值的增大而确定 y值的增减情况． 22．（1）见解析；（2） 2 3  【解析】 【分析】 （1）证明：连接 OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°， 根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，于是得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到 BC＝AD＝2 3，过 O作 OH⊥AM于 H，则四边形 OBCH 是矩形，解直角三角形即可得到结论． 【详解】 （1）证明：连接 OB， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∵BE＝AB， ∴∠E＝∠BAE， ∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°， ∴∠E＝∠BAE＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠OAB＝30°， ∴∠OBC＝30°+60°＝90°， ∴OB⊥CE， ∴EC是⊙O的切线； （2）∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝2 3， 过 O作 OH⊥AM于 H， 则四边形 OBCH是矩形， ∴OH＝BC＝2 3， ∴OA＝ sin 60 OH  ＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°， ∴AM的长度＝ 60 4 360   ＝ 2 3  ． 【点睛】 本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计 算，正确的作出辅助线是解题的关键． 23．（1）176，164；（2）157.4° 【解析】 【分析】 （1）根据样本平均数即可解决问题； （2）根据等腰三角形的性质得出 FC，由题意得到 AF，即可求出 tan∠FAC，根据表格即可 得出∠FAC，即可得出答案． 【详解】 解：（1）用表格可知，男性应采用 176厘米，女性应采用 164厘米， 故答案为：176，164； （2）如图 2中，∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB， 由题意 AF＝10cm， ∴tan∠FAC＝ FC AF ＝ 50 10 ＝5， ∴∠FAC＝78.7°， ∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°， 答：两臂杆的夹角为 157.4°． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，样本平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型． 24．（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析 【解析】 【分析】 （1）在 CD上截取 CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出 EH＝EC＝CH，证明 △DEH≌△FEC（SAS），得出 DH＝CF，即可得出结论； （2）过 D作 DG∥AB，交 AC的延长线于点 G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°， 得出△GCD为等边三角形，则 DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出 EG＝FC， 即可得出 FC＝CD+CE． 【详解】 （1）证明：在 CD上截取 CH＝CE，如图 1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECH＝60°， ∴△CEH是等边三角形， ∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°， ∴∠DEH＝∠FEC， 在△DEH和△FEC中， DE FE DEH FEC EH EC      ， ∴△DEH≌△FEC（SAS）， ∴DH＝CF， ∴CD＝CH+DH＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段 CE，CF与 CD之间的等量关系是 FC＝CD+CE；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过 D作 DG∥AB，交 AC的延长线于点 G，如图 2所示： ∵GD∥AB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ED DF EDG FDC DG CD       ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作 辅助线构建等边三角形是解题的关键． 25．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）D(1，2)；（3）存在，m＝1或1 33 4  【解析】 【分析】 （1）点 A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则 x＝ 1 2 ＝ 1 2 （2t﹣t），即可求解； （2）点 D（m，﹣m2+m+2），则点 F（m，﹣m+2），则 DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣ m2+2m，即可求解； （3）以点 O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则 DE OB OE OC  或 OC OB ，即 DE OE ＝2或 1 2 ， 即可求解． 【详解】 解：（1）设 OB＝t，则 OA＝2t，则点 A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0）， 则 x＝ 1 2 ＝ 1 2 （2t﹣t），解得：t＝1， 故点 A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2， 解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2； （2）对于 y＝﹣x2+x+2，令 x＝0，则 y＝2，故点 C（0，2）， 由点 A、C的坐标得，直线 AC的表达式为：y＝﹣x+2， 设点 D的横坐标为 m，则点 D（m，﹣m2+m+2），则点 F（m，﹣m+2）， 则 DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m， ∵﹣1＜0，故 DF有最大值，此时 m＝1，点 D（1，2）； （3）存在，理由： 点 D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则 OD＝m，DE＝﹣m2+m+2， 以点 O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似， 则 DE OB OE OC  或 OC OB ，即 DE OE ＝2或 1 2 ，即 2 2m m m    ＝2或 1 2 ， 解得：m＝1或﹣2（舍去）或 1 33 4  或 1 33 4  （舍去）， 故 m＝1或1 33 4  ． 【点睛】 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．会利用数形结合的思想 把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关 系是解题的关键．