高考数学考点一遍过专题38抛物线文
考点 38 抛物线
了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、
离心率）.
一、抛物线的定义和标准方程
1．抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点 F 与准线垂直的直
线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线 l 不经过点 F，若 l 经过 F 点，则轨迹为过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直
线．
2．抛物线的标准方程
（1）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p ；
（2）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p ；
（3）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p ；
（4）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p .
注意：抛物线标准方程中参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p 的值永
远大于 0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p＜0 的错误.
二、抛物线的几何性质
1．抛物线的几何性质
标准方程 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)x py p 2 2 ( 0)x py p
图形
几
何
性
质
范围 0,x y R 0,x y R 0,y x R 0,y x R
对称性 关于 x 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于 y 轴对称
焦点 ( ,0)2
pF ( ,0)2
pF (0, )2
pF (0, )2
pF
准线方程
2
px
2
px
2
py
2
py
顶点 坐标原点(0，0)
离心率 1e
2．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点 0 0( ),P x y 与抛物线焦点 F 的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
抛物线
方程
2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)x py p 2 2 ( 0)x py p
焦半径
公式 0| | 2
pPF x 0| | 2
pPF x 0| | 2
pPF y 0| | 2
pPF y
3．抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦即过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线
的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，
则
抛
物
线
方
程
2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)x py p 2 2 ( 0)x py p
焦
点
弦
公
式
1 2| | ( )AB p x x 1 2| | ( )AB p x x 1 2| | ( )AB p y y 1 2| | ( )AB p y y
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B 两点的线段 AB，称为抛物线
的通径．
对于抛物线 2 2 ( 0)y px p ，由 ( , )2
pA p ， ( , )2
pB p ，可得| | 2AB p ，故抛物线的通
径长为 2p．
4．必记结论
直线 AB 过抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝p2
4
.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥ 1 22 x x ＝p，即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p.
（3） 1
|AF|
＋ 1
|BF|
为定值2
p
.
（4）弦长 AB＝ 2p
sin2α
(α为 AB 的倾斜角)．
（5）以 AB 为直径的圆与准线相切．
（6）焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90°.
考向一抛物线的定义和标准方程
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F（抛物线的焦点），一
条定直线 l（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.
2．抛物线的离心率 e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及
抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为
点到准线的距离，即
2PF px 或
2PF py ，使问题简化．
典例 1 已知抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点 A(m,4)到其焦点的距离为17
4
,则 p,m 的值分别为
A．p=1,m=2 B．p=1,m=±2
C．p= 1
2
,m=2 D．p= 1
2
,m=±2
【答案】D
【解析】由抛物线的方程得其准线方程为 y=- ,根据抛物线的定义可知,4+ ,解得 p= 1
2
,
所以抛物线的方程为 x2=y,将 A(m,4)代入抛物线的方程,解得 m=±2.
典例 2 已知圆的方程为 x2+y2=4,若抛物线过点 A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物
线的焦点的轨迹方程为
A．
2 2
14 3
x y (x≠0) B．
2 2
14 3
x y (x≠0)
C．
2 2
14 3
x y (y≠0) D．
2 2
14 3
x y (y≠0)
【答案】D
的椭圆.∵A,B 在抛物线上,∴焦点 F 不在 x 轴上,故抛物线的焦点的轨迹方程是
2 2
14 3
x y (y≠0).
1．已知点 F 是抛物线 y 2 = 4x 的焦点，M、N 是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则
MN 中点的横坐标为
A． 3
2
B．2
C． 5
2
D．3
考向二求抛物线的标准方程
1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方
程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p ，只需一个条件就可以确定抛物
线的标准方程.
2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标
准方程.
典例 3 若点 A,B 在抛物线 y2=2px(p>0)上,O 是坐标原点,若正三角形 OAB 的面积为 4 ,则该抛
物线的方程是
A．y2= 2 3
3
x B．y2= x
C．y2=2 x D．y2= 3
3
x
【答案】A
【解析】根据对称性,可知 AB⊥x 轴,由于正三角形 OAB 的面积是 4 ,故 3
4
AB2=4 ,故 AB=4,
正三角形 OAB 的高为 2 ,故可设点 A 的坐标为(2 ,2),代入抛物线方程得 4=4 p,解得
p= 3
3
,故所求抛物线的方程为 y2=
2 3
3
x.
典例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．
（1）过点 ( 3 2) ， ；
（2）焦点在直线 2 4 0x y 上．
当焦点为 (4 )0， 时， 42
p ，∴ 8p ，此时抛物线的方程为 2 16y x ；
当焦点为 (0 )2， 时， 22
p ，∴ 4p ，此时抛物线的方程为 2 8x y .
故所求抛物线的方程为 2 16y x 或 2 8x y ，对应的准线方程分别是 4x ， 2y .
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆
2 2
19 16
x y 短轴所在的直线，抛物线的焦点
到顶点的距离为 5，求抛物线的标准方程.
考向三焦点弦问题
与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，
确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是 p 与交点横（纵）坐标的和还是与
交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键.
典例 5 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，求 AB 的
中点 M 到抛物线准线的距离.
【解析】抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=－1.由抛物线的定义知
,即 ,得 ,
于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 5
2
,因此点 M 到抛物线准线的距离为 5 712 2
.
典例 6 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于
A(x1,y1),B(x2,y2)(x1
0)的焦点坐标是
A．( 1
8p
,0) B．( 1
16p
,0)
C．(0,-2p) D．(0,-p)
2．以 x 轴为对称轴,通径长为 8,顶点为坐标原点的抛物线方程是
A．y2=8x B．y2=-8x
C．y2=8x 或 y2=-8x D．x2=8y 或 x2=-8y
3．已知抛物线 上一点 Q ,且 Q 点到焦点的距离为 10，则焦点到准线的
距离是
A．4 B．8
C．12 D．16
4．已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线 y2=2x 的焦点为 F,点 Q 是该抛物线上的一动
点,则|MQ|-|QF|的最小值是
A． 7
2
B．3
C． 5
2
D．2
5．设 F 为抛物线 C:x2=12y 的焦点,A、B、C 为抛物线上不同的三点,若 + + =0,则
|FA|+|FB|+|FC|=
A．3 B．9
C．12 D．18
6．已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的两个动点 A,B 始终满足∠AFB=60°,过弦
AB 的中点 H 作抛物线的准线的垂线 HN,垂足为 N,则 HN
AB
的取值范围为
A．(0, 3
3
] B．[ 3
3
,+∞)
C．[1,+∞) D．(0,1]
7．若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 ﹣y2=1 的右顶点重合，则 p=_________.
8 ． 已 知 等 腰 梯 形 ABCD 的 顶 点 都 在 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p 上 ， 且 ∥AB CD ，
2, 4,AB CD 60ADC ，则点 A 到抛物线的焦点的距离是_________．
9．已知过抛物线 x=4y2 的焦点 F 的直线交该抛物线于 M、N 两点,且|MF|= 1
8
,则
|MN|=_________.
10．已知抛物线 C:y2=ax(a>0)的焦点为 F,点 A(0,1),射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线
相交于点 N,若|FM|∶|MN|=1∶3,则实数 a 的值为_________.
11．已知抛物线 的焦点为 ,准线方程是 .
(1)求此抛物线的方程;
(2)设点 在此抛物线上,且 ,若 为坐标原点,求△OFM 的面积.
12．已知 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是抛物线 y2=2px(p>0)上的三个点,且它们到焦点 F 的距离
|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,求证:2 + .
13．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2m，水面宽 4m.若水位下降 1m 后，
水面宽为多少？
14．设 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且满足 OA⊥OB(O 为坐标原点).求证:
(1)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值;
(2)直线 AB 经过一个定点.
1．（2016 四川文科）抛物线 y2=4x 的焦点坐标是
A．(0,2) B． (0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
2．（2016 新课标全国 II 文科）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= k
x
（k>0）与 C 交于
点 P，PF⊥x 轴，则 k=
A． 1
2
B．1
C． 3
2
D．2
3．（2015 新课标全国 I 文科）已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 1
2
,E 的右焦点与抛物
线 C:y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=
A．3 B．6
C．9 D．12
4．（2017 浙江）如图，已知抛物线 2x y ，点 A 1 1( )2 4
， ， 3 9( )2 4
，B ，抛物线上的点
1 3( , )( )2 2P x y x ．过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q．
（1）求直线 AP 斜率的取值范围；
（2）求| | | |PA PQ 的最大值．
5．（2016 新课标全国 III 文科）已知抛物线C ： 2 2y x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直
线 1 2,l l 分别交C 于 A B， 两点，交C 的准线于 P Q， 两点．
（1）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ∥ ；
（2）若 PQF△ 的面积是 ABF△ 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
变式拓展
1．【答案】B
【解析】由题意得 ,令 ，由抛物线的几何意义得| MF | + | NF |
= 6= ，可得 ，所以 MN 中点的横坐标为 1 2 22
x x .选 B.
法二：由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴，∴设抛物线的方程为 y2＝mx(m≠0).
又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5，∴ 54
m ，∴m＝±20.
∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
3．【答案】C
【解析】因为 AB 过抛物线的焦点且与对称轴垂直，所以线段 AB 是抛物线的通径，则 2 12p ，
所以 6p ，又点 P 到 AB 的距离为 p ，所以 ABP△ 的面积为 21 2 362 p p p .故选 C.
4．【答案】C
【解析】 点 P 到抛物线 的准线的距离 等于点 P 到抛物线 的焦点的距
离|PF|，则 的最小值即为 F 到直线 的距离．
由抛物线 得 ， 1 2 min 2 2
1 2 0 12 11 5
51 2
d d
．故选 C.
5．【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在的直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则点
B 的坐标为(
2
a ,
4
a ).
设隧道所在的抛物线方程为 x2=my(m≠0),则(
2
a )2=m·(
4
a ),解得 m=-a,
所以抛物线的方程为 x2=-ay.
将点(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay,即 y=
20.8
a
.
欲使卡车通过隧道,应有 y-(
4
a )>3,即 - >3,
由于 a>0,故 a>12.21,所以 a 应取的最小整数值为 13.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】抛物线方程的标准形式为 y2= 1
4p
x(p>0),则焦点坐标为( 1
16p
,0).
2．【答案】C
【解析】依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则2p=8,所以抛物线方程为y2=8x 或y2=-8x.
故选 C.
3．【答案】B
4．【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为 x= 1
2
，当 MQ∥x 轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时
|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+ 1
2
|= 5
2
.
5．【答案】D
【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),因为 A、B、C 为抛物线上不同的三点,则 A、B、C
可以构成三角形.
抛物线 C:x2=12y 的焦点为 F(0,3),准线方程为 y=-3.
因为 + + =0,所以利用平面向量的相关知识可得点 F 为△ABC 的重心,从而有
x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=9.
又根据抛物线的定义可得|FA|=y1-(-3)=y1+3,|FB|=y2-(-3)=y2+3,|FC|=y3-(-3)=y3+3,
所以|FA|+|FB|+|FC|=y1+3+y2+3+y3+3=y1+y2+y3+9=18.
【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义、几何性质,向量的相关知识.解题的关键是判断
出点 F 为△ABC 的重心.解题时,先根据抛物线的方程得抛物线的焦点坐标和准线方程,再
根据 + + =0,判断出点 F 为△ABC 的重心,进而可得 y1+y2+y3=9,最后根据抛物线的
定义求解.
6．【答案】D
2
1 1
32 1 ab
a b
,当且仅当 a=b 时等号成立,故
HN
AB 的取值范围为(0,1].故选 D.
7．【答案】4
【解析】由双曲线 ﹣y2=1 可得 a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则 22
p ,所以 p=4.
8．【答案】 7 3
12
【 解 析 】 由 题 意 可 设 ,1 , 3,2A m D m ， 因 此
4 2 3 3 3,2 31 2
p m p m
pm
， 因 此 点 A 到 抛 物 线 的 焦 点 的 距 离 是
3 3 7 3
2 3 4 12
pm .
9．【答案】
【解析】抛物线 x=4y2 可化为 y2= x,其焦点为 F( ,0),准线方程为 x=- ,∵|MF|= 1
8
,∴点
M 到抛物线的准线的距离为 1
8
,∴点 M 的横坐标为 ,故直线 MF 垂直于 x 轴,∴|NF|=|MF|= 1
8
,
∴|MN|= .
10．【答案】
【解析】依题意得焦点 F 的坐标为( ,0),设 M 在抛物线的准线上的射影为 K,连接 MK,由抛
物线的定义知|MF|=|MK|,因为|FM|∶|MN|=1∶3,所以|KN|∶|KM|=2 ∶1,又
0 1 4
04
FNk a a
,kFN=- =-2 ,所以 4
a
=2 ,解得 a= .
由抛物线定义知 0 32
pMF x ，得 .
由 02,M y 在抛物线上,满足抛物线的方程 ,知 0 2 2y ，
所以△OFM 的面积为 0
1 1 1 2 2 22 2OF y .
12．【解析】抛物线的准线方程为 x=
2
p .
由抛物线的定义知,|AF|=x1+
2
p ,|BF|=x2+
2
p ,|CF|=x3+
2
p .
∵|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,∴2|BF|=|AF|+|CF|,∴2x2=x1+x3.
又 y2=2px,∴
22 2
32 12 2 2 2
yy y
p p p
,
故 2 + .
13．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)，则 A(2，
－2)，将其坐标代入 x2＝－2py 得 p＝1.
∴x2＝－2y.
当水面下降 1 m，得 D(x0，－3)(x0＞0)，将其坐标代入 x2＝－2y 得 ，
∴ .∴水面宽 .
14．【解析】(1)设 A(x1, y1),B(x2,y2),则 =2px1, =2px2.
∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.
∴ =4p2x1x2=4p2(-y1y2),∴y1y2=-4p2,
∴x1x2=4p2.
即 A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值.
∴y= ·x- · +y1= ·x+ .
又 y1y2=-4p2,∴y= ·x- (x-2p).
∴直线 AB 过定点(2p,0).
直通高考
1．【答案】D
【解析】 2 4y x 的焦点坐标为 (1,0) ，故选 D.
【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是
解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，
一定要熟记掌握．
2．【答案】D
【解析】因为 F 是抛物线 2 4y x 的焦点，所以 (1,0)F ，
又因为曲线 ( 0)ky kx
与C 交于点 P ， PF x 轴，所以 21
k ，所以 2k ，选 D.
【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置.
3．【答案】B
优解：因为抛物线 C:y2=8x 的焦点坐标为(2,0)，准线 l 的方程为 x=-2①，设椭圆 E 的方程
为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
,所以椭圆 E 的半焦距 c=2,又椭圆 E 的离心率为 1
2
,所以
a=4,b=2 ,由于准线 x=-2 过椭圆 E 的左焦点,所以 AB 为椭圆 E 的通径,所以|AB|=
22b
a
=6,
选 B.
【名师点睛】本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程、抛物线与椭圆的简单几何性质及基
本量的运算等基础知识,考查考生综合运用知识分析、解决问题的能力与运算求解能力.求
解时,首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程,再利用抛物线与椭圆的联系求出椭圆中的基
本量 a,b,c 与椭圆方程,进而求得|AB|.
4．【解析】（1）设直线 AP 的斜率为 k，
2 1
14
1 2
2
x
k x
x
，
因为 1 3
2 2x ，所以直线 AP 斜率的取值范围是 ( 1,1) ．
（2）联立直线 AP 与 BQ 的方程
1 1 0,2 4
9 3 0,4 2
kx y k
x ky k
解得点 Q 的横坐标是
2
2
4 3
2( 1)Q
k kx k
．
因为|PA|= 2 11 ( )2k x = 21 ( 1)k k ，|PQ|=
2
2
2
( 1)( 1)1 ( )
1Q
k kk x x
k
，
所以 3( 1)( 1)k kPA PQ ．
令 3( ) ( 1)( 1)f k k k ，因为 2'( ) (4 2)( 1)f k k k ，
所以 f(k)在区间 1( 1, )2
上单调递增， 1( ,1)2
上单调递减，
因此当 k= 1
2
时，| | | |PA PQ 取得最大值 27
16
．
【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查
解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达| |PA 与 | |PQ 的长度，通过函数
3( ) ( 1)( 1)f k k k 求解| | | |PA PQ 的最大值．
（1）由于 F 在线段 AB 上，故 01 ab .
记 AR 的斜率为 1k ， FQ 的斜率为 2k ，则
2221
1
1 kba
ab
aaba
ba
a
bak
.
所以 FQAR∥ .
（2）设l 与 x 轴的交点为 )0,( 1xD ，
则 1
1 1 1 ,2 2 2 2ABF PQF
a bS b a FD b a x S
△ △ .
由题设可得 1
1
2 2
a bb a x
，所以 01 x （舍去）， 11 x .
设满足条件的 AB 的中点为 ),( yxE .
当 AB 与 x 轴不垂直时，由 DEAB kk 可得 )1(1
2 xx
y
ba
.
而 yba
2
，所以 )1(12 xxy .
当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合.所以，所求轨迹方程为 12 xy .
