【数学】2020届一轮复习人教A版　椭圆的标准方程与几何性质学案

【数学】2020届一轮复习人教A版　椭圆的标准方程与几何性质学案

考查角度2　椭圆的标准方程与几何性质 ‎　　分类透析一　椭圆的定义及其应用 例1 如图,已知椭圆的方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,则△PF1F2的面积为　　　　. ‎ 解析 由已知得a=2,b=‎3‎,所以c=a‎2‎‎-‎b‎2‎=1,F1F2=2c=2.‎ 在△PF1F2中,由余弦定理得 PF‎2‎‎2‎=PF‎1‎‎2‎+F1F‎2‎‎2‎-2PF1·F1F2cos 120°,‎ 即PF‎2‎‎2‎=PF‎1‎‎2‎+4+2PF1.　①‎ 由椭圆定义,得PF1+PF2=4,即PF2=4-PF1.　②‎ 将②代入①,得PF1=‎6‎‎5‎.‎ 所以S‎△PF‎1‎F‎2‎=‎1‎‎2‎PF1·F1F2·sin 120°‎ ‎=‎1‎‎2‎×‎6‎‎5‎×2×‎3‎‎2‎=‎3‎‎3‎‎5‎,‎ 即△PF1F2的面积为‎3‎‎3‎‎5‎.‎ 答案 ‎‎3‎‎3‎‎5‎ 方法技巧 在涉及椭圆焦点的△PF1F2中,由椭圆的定义及余弦定理可得到关于PF1,PF2的方程组,消去PF2可求得PF1.‎ ‎　　分类透析二　椭圆的标准方程及求解 例2 中心在坐标原点的椭圆,焦点在x轴上,焦距为4,离心率为‎2‎‎2‎,则椭圆的方程为(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1 B.x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎8‎=1‎ C.x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎4‎=1 D.x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 解析 由题意知,2c=4,则c=2.‎ 又e=ca=‎2‎‎2‎,则a=2‎2‎,故b=2,‎ 所以椭圆的方程为x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ 答案 D 方法技巧 本题通过椭圆的简单几何性质确定其标准方程,解决此类问题时,一般先确定其焦点位置,然后建立或寻找a,b,c的等量关系,最后确定这三个数的值.‎ ‎　　分类透析三　椭圆的几何性质及应用 例3 若点(x,y)在x‎2‎‎4‎+y‎2‎b‎2‎=1(b>2)上运动,则x2+4y的最大值为　　　　. ‎ 解析 ∵x‎2‎‎4‎+y‎2‎b‎2‎=1(b>2),‎ ‎∴x2=4‎1-‎y‎2‎b‎2‎≥0,即-b≤y≤b.‎ ‎∴x2+4y=4‎1-‎y‎2‎b‎2‎+4y=-‎4‎y‎2‎b‎2‎+4y+4=-‎4‎b‎2‎y-‎b‎2‎‎2‎‎2‎+4+b2.‎ ‎∵b>2,∴b‎2‎‎2‎>b.‎ ‎∴当y=b时,x2+4y取得最大值,最大值为4b.‎ 答案 4b 方法技巧 此类最值问题常用函数思想进行解决.很多与圆锥曲线有关的问题中的各个量在运动变化时,都是相互联系、相互制约的,它们之间构成函数关系.这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路,会有很好的效果.‎ ‎1.(2016年全国Ⅲ卷,文12改编)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点,A、B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.直线BP交y轴于点M,BM=2MP,则C的离心率为(　　).‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ 解析 根据三角形相似,得△BMO∽△BPF,故BMMP=‎|MB|‎‎|MP|‎=‎|OB|‎‎|OF|‎=ac=2,e=ca=‎1‎‎2‎,故选B.‎ 答案 B ‎2.(2018年全国Ⅱ卷,理12改编)已知F1、F2分别是椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎b‎2‎=1(00,过P作x轴的垂线并交于点H,易知△AOQ∽△AHP,‎ 所以AQQP=2=‎|AO|‎‎|OH|‎=‎2‎x‎0‎,得x0=1.‎ 又因为y‎0‎x‎0‎‎+2‎=‎1‎‎2‎,所以得y0=‎3‎‎2‎,又因为点P在椭圆上,所以‎1‎‎4‎+‎3‎‎2‎‎2‎b‎2‎=1,解得b=‎3‎.‎ ‎(法二)由题意知,A(-2,0),Q(0,1).因为AQ=2QP,所以P‎1,‎‎3‎‎2‎,代入椭圆方程得‎1‎‎4‎+‎9‎‎4‎b‎2‎=1,解得b2=3,则b=‎3‎,故选B.‎ 答案 B ‎3.(2018年浙江卷,17改编)已知点F1(-c,0)、F2(c,0)(c>0)分别是椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是这个椭圆上位于x轴上方的点,点G是△PF1F2的外心,若存在实数λ,使得GF‎1‎+GF‎2‎+λGP=0,则当△PF1F2的面积为8时,a的最小值为　　　　. ‎ 解析 因为点G是△PF1F2的外心,所以点G在y轴的正半轴上,又GF‎1‎+GF‎2‎+λGP=0,则GP=-‎1‎λ(GF‎1‎+GF‎2‎)=-‎2‎λGO,所以P,G,O三点共线,即P位于上顶点,则△PF1F2的面积S=‎1‎‎2‎·b·2c=bc=8.由a2=b2+c2≥2bc=16,得a≥4,当且仅当b=c=2‎2‎时取等号,所以a的最小值为4.‎ 答案 4‎ ‎1.(山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试)若椭圆x‎2‎‎4‎+y‎2‎m=1上一点到两焦点的距离之和为m-3,则椭圆的离心率为(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎5‎‎3‎ B.‎5‎‎3‎或‎21‎‎7‎ C.‎21‎‎7‎ D.‎3‎‎7‎或‎5‎‎9‎ 解析 由题意知,2a=m-3>0,即m>3,若a2=4,即a=2,则m-3=4,m=7>4,不合题意,因此a2=m,即a=m,则2m=m-3,解得m=9,即a=3,c=m-4‎=‎5‎,所以椭圆的离心率e=‎5‎‎3‎.故选A.‎ 答案 A ‎2.(山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试)设F1,F2分别是椭圆C:x‎2‎m+y‎2‎‎2‎=1的两个焦点,若C上存在点M满足∠F1MF2=120°,则实数m的取值范围是(　　).‎ A.‎0,‎‎1‎‎2‎∪[8,+∞) B.(0,1]∪[8,+∞)‎ C.‎0,‎‎1‎‎2‎∪[4,+∞) D.(0,1]∪[4,+∞)‎ 解析 由椭圆的性质可知,当点M在短轴的端点时,此时∠F1MF2最大.‎ 如图,要使得椭圆C上存在点M满足∠F1MF2=120°,则∠F1M0F2≥120°,即∠OM0F2≥60°.‎ 当m>2时,‎|OM‎0‎|‎‎|M‎0‎F‎2‎|‎=ba=cos∠OM0F2≤cos 60°=‎1‎‎2‎,即‎2‎m≤‎1‎‎2‎,解得m≥8;‎ 当0b>0)的左焦点为F1(-2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为‎3‎b,则椭圆的标准方程为(　　).‎ A.y‎2‎‎8‎+x‎2‎‎4‎=1 B.x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎4‎=1‎ C.y‎2‎‎16‎+x‎2‎‎12‎=1 D.x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1‎ 解析 由左焦点为F1(-2,0),可得c=2,即a2-b2=4.‎ 由题意知,直线的方程为y=‎3‎‎3‎(x+2),‎ 圆心(0,0)到直线的距离d=‎2‎‎3‎‎3+9‎=1,‎ 则2b‎2‎‎-1‎=‎3‎b,解得b=2,a=2‎2‎,‎ 故椭圆的标准方程为x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎4‎=1,故选B.‎ 答案 B ‎4.(四川省广元市2018届高三第二次高考适应性统考)如图,已知椭圆C1:x‎2‎m+y2=1(m>1),双曲线C2:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率e=‎5‎,若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与C2的渐近线的两个交点将线段AB三等分,则m=(　　).‎ A.‎17‎ B.17 C.‎11‎ D.11‎ 解析 因为双曲线的离心率‎5‎=‎1+‎b‎2‎a‎2‎,所以ba=2,双曲线渐近线为y=2x.代入椭圆方程得x2=m‎1+4m,y2=(2x)2=‎4m‎1+4m,故C1与C2的渐近线的两个交点弦长为2x‎2‎‎+‎y‎2‎=2‎5m‎1+4m,依题意可知2‎5m‎1+4m=‎1‎‎3‎×2m,解得m=11.‎ 答案 D ‎5.(安徽省黄山市2018届高三一模检测)已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2,P是它们的一个交点,且∠F1PF2=π‎3‎,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则‎1‎e‎1‎e‎2‎的最大值为(　　).‎ A.‎2‎‎3‎‎3‎ B.‎4‎‎3‎‎3‎ C.2 D.3‎ 解析 设∠F1PF2=θ,|PF1|=m,|PF2|=n,椭圆的半长轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,两条曲线的焦距为2c,结合题意有m+n=2a1,|m-n|=2a2,‎ 两式平方相加可得m2+n2=2(a‎1‎‎2‎+a‎2‎‎2‎),‎ 两式平方作差可得mn=a‎1‎‎2‎-a‎2‎‎2‎.‎ 由余弦定理得4c2=m2+n2-2mncos θ,‎ 则4c2=2(a‎1‎‎2‎+a‎2‎‎2‎)-2(a‎1‎‎2‎-a‎2‎‎2‎)cos θ,2c2=(1-cos θ)a‎1‎‎2‎+(1+cos θ)a‎2‎‎2‎,‎ 即1=‎1-cosθ‎2‎e‎1‎‎2‎+‎1+cosθ‎2‎e‎2‎‎2‎,结合二倍角公式有sin‎2‎θ‎2‎e‎1‎‎2‎+cos‎2‎θ‎2‎e‎2‎‎2‎=1.‎ 已知θ=π‎3‎,则有‎1‎‎4‎e‎1‎‎2‎+‎3‎‎4‎e‎2‎‎2‎=1,‎ 即1=‎1‎‎4‎e‎1‎‎2‎+‎3‎‎4‎e‎2‎‎2‎≥2‎1‎‎4‎e‎1‎‎2‎‎·‎‎3‎‎4‎e‎2‎‎2‎=‎3‎‎2‎·‎1‎e‎1‎e‎2‎,‎ 则‎1‎e‎1‎e‎2‎≤‎2‎‎3‎‎3‎,当且仅当‎1‎e‎1‎‎2‎=2,‎1‎e‎2‎‎2‎=‎2‎‎3‎时等号成立,‎ 故‎1‎e‎1‎e‎2‎的最大值为‎2‎‎3‎‎3‎,选A.‎ 答案 A ‎6.(安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测)已知M,N为椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)上关于长轴对称的两点,A、B分别为椭圆的左、右顶点,设k1,k2分别为直线MA,NB的斜率,则|k1+4k2|的最小值为(　　).‎ A.‎2ba B.‎3ba C.‎4ba D.‎‎5ba 解析 设M(x0,y0),N(x0,-y0),‎ 由题意A(-a,0),B(a,0),‎ ‎∴k1=y‎0‎x‎0‎‎+a,k2=‎-‎y‎0‎x‎0‎‎-a,‎ ‎∴|k1+4k2|=y‎0‎x‎0‎‎+a‎+‎‎-4‎y‎0‎x‎0‎‎-a=y‎0‎x‎0‎‎+a‎+‎‎4‎y‎0‎‎-x‎0‎+a,‎ ‎∴|k1+4k2|=y‎0‎x‎0‎‎+a‎+‎‎4‎y‎0‎‎-x‎0‎+a≥2y‎0‎x‎0‎‎+a‎·‎‎4‎y‎0‎‎-x‎0‎+a=4y‎0‎‎2‎a‎2‎‎-‎x‎0‎‎2‎,‎ 由点M在椭圆上,得y‎0‎‎2‎=b‎2‎a‎2‎(a2-x‎0‎‎2‎),‎ 所以4y‎0‎‎2‎a‎2‎‎-‎x‎0‎‎2‎=4b‎2‎a‎2‎‎(a‎2‎-x‎0‎‎2‎)‎a‎2‎‎-‎x‎0‎‎2‎=‎4ba,‎ 故|k1+4k2|≥‎4ba.‎ 答案 C ‎7.(云南省昆明市2018届高三教学质量检查第二次统考)已知F是椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E的离心率为(　　).‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎2‎‎2‎ 解析 在△PQF中,设|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点为G,由椭圆的对称性,知PFQG是平行四边形,所以在△PGF中,由余弦定理得GF2=5t2-2t2=3t2=4c2.‎ 因为PF+QF=2a=3t,所以t=‎2‎‎3‎a,所以e=‎3‎‎3‎,选C.‎ 答案 C ‎8.(江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试)已知椭圆E:x‎2‎‎24‎+y‎2‎‎12‎=1,O为坐标原点,A,B是椭圆上两点,OA,OB的斜率存在并分别记为kOA,kOB,且kOA·kOB=-‎1‎‎2‎,则‎1‎‎|OA|‎+‎1‎‎|OB|‎的最小值为(　　).‎ A.‎2‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎2‎‎2‎ 解析 由均值不等式的结论得‎1‎‎|OA|‎+‎1‎‎|OB|‎≥2‎1‎‎|OA|‎‎·‎‎1‎‎|OB|‎,‎ 当且仅当‎1‎‎|OA|‎=‎1‎‎|OB|‎,即|OA|=|OB|时等号成立,‎ 结合椭圆的对称性可知,此时点A,B关于y轴对称.‎ 不妨设直线OA的方程为y=kx(k>0),则直线OB的方程为y=-kx,‎ 据此可得-k2=-‎1‎‎2‎,k=‎2‎‎2‎,‎ 联立方程y=‎2‎‎2‎x,‎x‎2‎‎24‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎可得x‎2‎‎=12,‎y‎2‎‎=6,‎ 则|OA|=|OB|=‎12+6‎=3‎2‎,‎ 此时‎1‎‎|OA|‎‎+‎‎1‎‎|OB|‎min=‎2‎‎3‎‎2‎=‎2‎‎3‎.‎ 故选C.‎ 答案 C ‎9.(广西2018届高三下学期第二次模拟试题)设D为椭圆x2+y‎2‎‎5‎=1上任意一点,A(0,-2),B(0,2),延长AD至点P,使得|PD|=|BD|,则点P的轨迹方程为(　　).‎ A.x2+(y-2)2=20 B.x2+(y+2)2=20‎ C.x2+(y-2)2=5 D.x2+(y+2)2=5‎ 解析 ∵D为椭圆x2+y‎2‎‎5‎=1上任意一点,且A,B为焦点,∴|DA|+|DB|=2a=2‎5‎.又|PD|=|BD|,且点P,D,A三点共线,∴|PA|=|PD|+|DA|=2‎5‎,所以点P的轨迹方程为x2+(y+2)2=20.‎ 答案 B ‎10.(上海市崇明区2018届高三4月模拟考试(二模))已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y2=1(a>0)的焦点分别为F1,F2,抛物线y2=2x的焦点为F,若F‎1‎F=3FF‎2‎,则a=　　　　. ‎ 解析 由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为F‎1‎‎2‎‎,0‎.‎ 设椭圆的焦点坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0),‎ 则F‎1‎F=‎1‎‎2‎‎+c,0‎,FF‎2‎=c-‎1‎‎2‎,0‎.‎ 由题意得‎1‎‎2‎‎+c,0‎=3c-‎1‎‎2‎,0‎,‎ 则‎1‎‎2‎+c=3c-‎‎1‎‎2‎,‎ 可得c=1,则a=b‎2‎‎+‎c‎2‎=‎2‎.‎ 答案 ‎‎2‎ ‎11.(河北省衡水中学2018届高三上学期八模考试)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使asin∠PF‎1‎F‎2‎=csin∠PF‎2‎F‎1‎成立,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　. ‎ 解析 在△PF1F2中,由正弦定理得‎|PF‎2‎|‎sin∠PF‎1‎F‎2‎=‎|PF‎1‎|‎sin∠PF‎2‎F‎1‎,则由已知得‎|PF‎2‎|‎a=‎|PF‎1‎|‎c,‎ 即a|PF1|=c|PF2|.设点P(x0,y0),由焦点半径公式,‎ 得|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,则a(a+ex0)=c(a-ex0),‎ 解得x0=a(c-a)‎e(a+c)‎=a(e-1)‎e(1+e)‎.由椭圆的几何性质知-a-a,整理得e2+2e-1>0,解得e<-‎2‎-1或e>‎2‎-1.‎ 又e∈(0,1),所以椭圆的离心率e∈(‎2‎-1,1).‎ 答案 (‎2‎-1,1)‎ ‎12.(新疆乌鲁木齐市2018届高三第二次质量监测)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且BF+2DF=0,则椭圆C的离心率为　　　　. ‎ 解析 设D(x0,y0),F(c,0),椭圆方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),∵BF+2DF=0,∴(c,-b)+2(c-x0,-y0)=0,解得x0=‎3‎‎2‎c,y0=-‎1‎‎2‎b.‎ 将D‎3‎‎2‎c,-‎1‎‎2‎b代入到椭圆方程可得‎3‎‎2‎c‎2‎a‎2‎+‎-‎1‎‎2‎b‎2‎b‎2‎=1,解得e=‎3‎‎3‎.‎ 答案 ‎‎3‎‎3‎ ‎13.(河北省衡水中学2018届高三上学期八模考试)若椭圆C的方程为x‎2‎‎5‎+y‎2‎m=1,焦点在x轴上,与直线y=kx+1有公共点,则实数m的取值范围为　　　　. ‎ 解析 由椭圆C的方程及焦点在x轴上,知00,所以直线与椭圆相交,‎ 于是y1+y2=-‎2‎‎4k‎2‎+1‎,　③‎ y1y2=‎1-8‎k‎2‎‎4k‎2‎+1‎,　④‎ 由①③得,y2=‎5‎‎4k‎2‎+1‎,y1=-‎7‎‎4k‎2‎+1‎,‎ 代入④整理得8k4+k2-9=0,解得k2=1,即k=±1,‎ 所以直线l的方程为y=x-1或y=-x-1.‎ 答案 y=x-1或y=-x-1‎ ‎15.(江西上饶市2018届高三上学期第一次模拟考试)已知斜率为k的直线与椭圆x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1交于A,B两点,弦AB的中垂线交x轴于点P(x0,0),则实数x0的取值范围是　　　　. ‎ 解析 设直线的方程为y=kx+m,联立‎3x‎2‎+4y‎2‎=12,‎y=kx+m,‎化简得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,‎ 所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,故4k2-m2+3>0,‎ 由题意得x‎1‎‎+x‎2‎=‎-8km‎3+4‎k‎2‎,‎x‎1‎‎·x‎2‎=‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎,‎ 所以y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=2m-‎8k‎2‎m‎3+4‎k‎2‎=‎6m‎3+4‎k‎2‎,‎ 所以x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=‎-4km‎3+4‎k‎2‎,y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=‎3m‎3+4‎k‎2‎,‎ 所以线段AB的中点坐标为‎-4km‎3+4‎k‎2‎‎,‎‎3m‎3+4‎k‎2‎,‎ 所以线段AB的垂直平分线方程为y-‎3m‎3+4‎k‎2‎=-‎1‎kx+‎‎4km‎3+4‎k‎2‎,‎ 把点P(x0,0)代入上面的方程得x0(3+4k2)=-km,‎ 所以m=x‎0‎‎(3+4k‎2‎)‎‎-k,代入4k2-m2+3>0,‎ 整理得x‎0‎‎2‎

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