【数学】江苏省泰州中学2020-2021学年高二10月月度质量检测试题

【数学】江苏省泰州中学2020-2021学年高二10月月度质量检测试题

江苏省泰州中学2020-2021学年 高二10月月度质量检测试题 ‎2020.10.06‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知数列通项公式为，则（ ）‎ ‎ A. 35 B. C. D. 11‎ ‎2. 对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2＝1的曲线是双曲线的”（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3. 若抛物线x2＝ay的准线与椭圆相切，则a＝（ ）‎ ‎ A. ﹣4或4 B. 4 C.﹣8或8 D. 8‎ ‎4. 《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（ ）‎ ‎ A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 ‎5. 已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，则的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（ ）‎ ‎ A．20 B．21 C．22 D．23‎ ‎7. 已知点是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，点到原点的距离为焦距的一半，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）‎ ‎ A．1 B．2‎ ‎ C． D．2.5‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,‎ 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．‎ ‎9. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则 （ ）‎ A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条 ‎10. 下列命题正确的是（ ）‎ A. 给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式 B. 若等差数列的公差，则是递增数列 C.若a,b,c成等差数列，则可能成等差数列 D. 若数列是等差数列，则数列也是等差数列 ‎11. 下列判断中正确的是（ ）‎ A．在中，“”的充要条件是“，，成等差数列”‎ B．“>”是“sinA>sinB”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件.‎ D. 命题“，”的否定为“，”.‎ ‎12. 已知A、B两点的坐标分别是，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（ ）‎ A．当时，点P的轨迹圆（除去与x轴的交点）‎ B．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）‎ C．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线 D．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．‎ ‎13. 已知命题p:，， 命题q: ，使得不等式成立，若命题p为真命题，则实数的最小值为 ; 若命题p和命题q有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围是________.‎ ‎14. 过点（3，-1）且与双曲线有公共渐近线的双曲线标准方程是_________.‎ ‎15. 若数列满足，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且则______.‎ ‎16. 已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为________.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 在等差数列中，已知，，‎ ‎（1）求出首项与公差，并写出通项公式；‎ ‎（2）中有多少项属于区间？‎ ‎18. 已知命题p：实数m满足的方程表示双曲线，命题q：实数m满足的方程 ‎＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆.‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．‎ ‎19. 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．‎ ‎20. 已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合.‎ ‎（1）求双曲线和抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.‎ ‎21. 已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.‎ ‎22. 已知椭圆的左右顶点分别为A和B，离心率为，且点在椭圆上。‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）过点M（1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P,Q两点，连接AP、BQ，直线AP与BQ交于点N，探求点N是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.‎ 参考答案 ‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知数列通项公式为，则（ ）‎ ‎ A. 35 B. C. D. 11‎ 答案：A ‎2. 对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2＝1的曲线是双曲线的”（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C ‎3. 若抛物线x2＝ay的准线与椭圆相切，则a＝（ ）‎ ‎ A. ﹣4或4 B. 4 C.﹣8或8 D. 8‎ 答案：A ‎4. 《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（ ）‎ ‎ A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 答案：A ‎5. 已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，则的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 答案：B ‎6. 设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（ ）‎ ‎ A．20 B．21 C．22 D．23‎ 答案：C ‎7. 已知点是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，点到原点的距离为焦距的一半，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 因为是椭圆上一点，，分别为左、右焦点，则，而，则，．‎ 又因为点到原点的距离为焦距的一半，即，故三角形为直角三角形，则，即，解得，所以．‎ ‎8. 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）‎ ‎ A．1 B．2‎ ‎ C． D．2.5‎ 答案：A 清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，‎ 圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，‎ 设半径为，圆心为，圆方程为：代入双曲线方程，‎ 得，要使清洁球到达底部，.‎ ‎ ‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,‎ 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．‎ ‎9. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则 （ ）‎ A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条 答案：ABC ‎10. 下列命题正确的是（ ）‎ A. 给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式 B. 若等差数列的公差，则是递增数列 C.若a,b,c成等差数列，则可能成等差数列 D. 若数列是等差数列，则数列也是等差数列 答案：BCD ‎11. 下列判断中正确的是（ ）‎ A．在中，“”的充要条件是“，，成等差数列”‎ B．“>”是“sinA>sinB”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件.‎ D. 命题“，”的否定为“，”.‎ 答案：AC ‎12. 已知A、B两点的坐标分别是，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（ ）‎ A．当时，点P的轨迹圆（除去与x轴的交点）‎ B．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）‎ C．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线 D．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）‎ 答案：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．‎ ‎13. 已知命题p:，， 命题q: ，使得不等式成立，若命题p为真命题，则实数的最小值为 ; 若命题p和命题q有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围是________.‎ 答案：1; ‎ ‎14. 过点（3，-1）且与双曲线有公共渐近线的双曲线标准方程是_________.‎ 答案：‎ ‎15. 若数列满足，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且则______.‎ 答案：26‎ ‎16. 已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为________.‎ 答案：（0，）‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 在等差数列中，已知，，‎ ‎（1）求出首项与公差，并写出通项公式；‎ ‎（2）中有多少项属于区间？‎ 解：设等差数列的公差为d，由，，得 ‎，解得 ‎（2）由，得，‎ 共三项。‎ ‎18. 已知命题p：实数m满足的方程表示双曲线，命题q：实数m满足的方程 ‎＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆.‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．‎ 解：（1）若命题为真，即方程表示双曲线，‎ 所以，解得，即.‎ ‎（2）若命题为真，即＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆成立，‎ 解得，记B=.‎ 由(1)知，记A=‎ 因为是的充分不必要条件，所以，‎ 故或，解得.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎19. 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．‎ 解：（1）证明：因为bn＝(n∈N*)，an＝2－(n≥2，n∈N*)，‎ 所以 又，所以数列{bn}是等差数列。‎ ‎（2）由（1）得，，所以.‎ 当数列{an}单调递减；当数列{an}单调递减.‎ 又，当时，.‎ 所以，数列{an}的最大项，最小项.‎ ‎20. 已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合.‎ ‎（1）求双曲线和抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.‎ 解：（1）设双曲线的方程为（，），由题设 所以①，又点在双曲线上，所以②‎ 由①②解得，，‎ 故双曲线标准方程为；‎ 设双曲线的焦距为，因为，得，所以抛物线焦点为，‎ 即，所以抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）设直线交抛物线于，，‎ 联立得即，‎ 故 由抛物线定义知，，‎ 所以 ‎21. 已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.‎ 解：（1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，‎ ‎，又由得，‎ 解得：，或（舍去），‎ 椭圆方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，的坐标分别为 则直线的方程为，令，得点的横坐标 直线的方程为，令，得点的横坐标 把直线代入椭圆得 由韦达定理得,‎ ‎∴，是定值．‎ ‎22. 已知椭圆的左右顶点分别为A和B，离心率为，且点在椭圆上。‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）过点M（1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P,Q两点，连接AP、BQ，直线AP与BQ交于点N，探求点N是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.‎ 解：（1）由题设， ，，且 所以，椭圆方程为；‎ ‎（2）由（1）知，A（-2，0），B（2，0），设直线的方程为，‎ 联立方程组，得，‎ 因为，设，所以，‎ 设直线的方程为，直线的方程为，‎ 则，即，‎ 而,‎ ‎∴，∴x=4，即直线与直线的交点在直线x=4上。‎