【数学】2020届一轮复习人教A版分类讨论的思想单元测试

【数学】2020届一轮复习人教A版分类讨论的思想单元测试

‎1．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于(　　)‎ A．－3 B．－ C．3 D. 或－3‎ ‎2．已知a＝(－1，－2)，b＝(1，λ)．若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)‎ A. B. C. ∪ D．(2，＋∞)‎ ‎3．对一切实数，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞) C．[－2,2] D．[0，＋∞)‎ ‎4．若A={x|x2+(p+2)x+1=0，x∈R}，且A∩(0,+∞)=，则实数P的取值范围是（ 　 ） ‎ A．p≥－2 B．p≤－2 C．p＞2 D．p＞－4‎ ‎5.设集合A={x|x2+6x=0}，B={x|x2+3(a+1)x+a2―1=0}，且A∪B=A，则实数a的取值范围是 .‎ ‎6.方程(1-k)x2+(3-k2)y2=4 (k∈R)，当k=_________时，表示圆；当k∈_________时，表示椭圆；当k∈_________时，表示双曲线；当k=_________时，表示两条直线.‎ ‎7. (2017 桂林市模拟) 已知y=f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，则满足f（f（a））=的实数a的个数为　 　．‎ ‎8．若函数在其定义域内有极值点，则a的取值范围为________.‎ ‎9.（2018 天津校级模拟）已知函数f（x）=（ax2+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　　 ．‎ ‎10．连掷两次骰子得到的点数为m和n，记向量a＝(m，n)，与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，]的概率是________．‎ ‎11.解关于的不等式:.‎ ‎12. （2017 宜宾模拟）已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）．‎ ‎（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．‎ ‎13. 已知a∈R，函数.‎ ‎（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；‎ ‎（3）设a＞0，若对任意，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.‎ ‎.‎ ‎14．已知向量，，且.‎ ‎（1）求，及；‎ ‎（2）若的最小值是，求的值.‎ ‎15．已知A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|=3∶1，如图.‎ ‎（1）求该椭圆的离心率；‎ ‎（2）设，，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】当a<0时，在x∈[－3,2]上，当x＝－1时取得最大值，得a＝－3；‎ 当a>0时，在x∈[－3,2]上，当x＝2时取得最大值，得a＝‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】∵〈a，b〉为钝角，∴a·b<0，即有λ>－.又当λ＝2时，a与b反向．故选C.‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】本题是不等式恒成立问题，可以构造函数，把函数转化为y＝x＋型，通过求解函数的最值得到结论．由不等式x2＋a|x|＋1≥0对一切实数恒成立．①当x＝0时，则1≥0，显然成立；②当x≠0时，可得不等式a≥－|x|－对x≠0的一切实数成立．令f(x)＝－|x|－＝－≤－2.当且仅当|x|＝1时，“＝”成立．‎ ‎∴f(x)max＝－2，故a≥f(x)max＝－2.‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】当A∩B=时，集合A=或A中方程没有正数解，要注意A本身为空集的情况.‎ ‎（1）当A=时，即二次方程无解Δ=(p+2)2－4＜0－4＜p＜0‎ ‎（2）当A≠时，即方程的解为非正数 由（1）（2）知p＞－4，选D.‎ ‎5.【答案】‎ ‎【解析】A={x|x2+6x=0}={0，―6}，由A∪B=A，得BA.‎ ‎（1）当B=时，即方程x2+3(a+1)x+a2―1=0无实数根，‎ 由Δ=9(a+1)2―4(a2―1)＜0，解得.‎ ‎（2）当B≠时，即B={0}或B={―6}或B={0，－6}.‎ ‎①当B={0}时，即方程x2+3(a+1)x+a2－1=0有两个等根为0.‎ ‎∴，∴a=－1‎ ‎②当B={―6}时，即方程x2+3(a+1)x+a2―1有两个等根为―6，‎ ‎∴ ，此方程组无解.‎ ‎③当B={0，―6}时，即方程x2+3(a+1)x+a2―1=0有两个实根0和―6，‎ ‎∴，∴a=1‎ 综上可知实数a的取值范围是.‎ ‎6.【答案】 k=-1；k∈(,-1)∪(-1,1)；k∈(-∞, )∪(1,)；k=1或k=‎ ‎【解析】‎ ‎①表示圆时，1-k=3-k2>0，解得k=-1‎ ‎②表示椭圆时，，解得：k∈(,-1)∪(-1,1);‎ ‎③表示双曲线时，(1-k)(3-k2)<0，‎ ‎ 解得k∈(-∞, )∪(1,)；‎ ‎④表示两直线时，或，‎ ‎ 解得k=1或k=.‎ ‎7.【答案】8‎ ‎【解答】令f（a）=x，则f[f（a）]= 变形为f（x）=‎ 当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；‎ ‎∵f（x）为偶函数，‎ ‎∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；‎ 综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；‎ 当a≥0时，‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；‎ 故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，‎ 综上所述，满足f[f（a）]= 的实数a的个数为8，故答案为：8．‎ ‎8．【答案】或 ‎【解析】问题即有解.‎ 当a―1=0时满足；‎ 当a―1≠0时，只需Δ=a2+(a－1)＞0，解得或.‎ ‎9.【答案】‎ ‎【解析】求导函数可得：f′（x）=2ax﹣lnx ‎∵函数f（x）=（ax2+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f′（x）=2ax﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立 ‎∴2a≥令g（x）=（x＞0），则 令g′（x）＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e；‎ ‎∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减 ‎∴x=e时，函数取得最大值 ‎∴2a≥∴‎ ‎10．【答案】‎ ‎【解析】∵m>0，n>0，‎ ‎∴a＝(m，n)与b＝(1，－1)不可能同向．‎ ‎∴夹角θ≠0.∴θ∈(0，]⇔a·b≥0，∴m≥n.‎ 当m＝6时，n＝6,5,4,3,2,1；‎ 当m＝5时，n＝5,4,3,2,1；‎ 当m＝4时，n＝4,3,2,1；‎ 当m＝3时，n＝3,2,1；‎ 当m＝2时，n＝2,1；‎ 当m＝1时，n＝1；‎ ‎∴概率是＝‎ ‎11.【解析】原不等式可化为：，‎ ‎(1)当时，，即；‎ ‎(2)当时，不等式化为，‎ ‎ ∵，∴，故不等式解为；‎ ‎（3）当时，不等式化为，‎ ‎①当，即时，不等式解为；‎ ‎②当，即时，不等式解为；‎ ③当，即时，不等式解为；‎ 综上所述，原不等式的解集为：‎ 时，；‎ 时，；‎ 时，；‎ 时，；‎ 时，.‎ ‎12.【解析】（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）可知x＞0，有：f′（x）=lnx+1+a﹣2x，‎ ‎∵函数f（x）在区间[e，+∞） 上为减函数，‎ ‎∴当x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，‎ ‎∴a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞） 上恒成立．‎ 令g（x）=2x﹣lnx﹣1，，当时，g′（x）≥0，g（x）单增； 时，g′（x）≤0，g（x）单减．‎ ‎∴x∈[e，+∞）时，g（x）min=g（e）=2e﹣2∴a≤2e﹣2． ‎ ‎（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，‎ 即k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立．‎ 法一：∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．‎ 则问题转化为 对任意x∈（1，+∞）恒成立，‎ 设函数，则，‎ 再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．‎ ‎∵x∈（1，+∞），∴m'（x）＞0，‎ 则m（x）=x﹣lnx﹣2在x∈（1，+∞）上为增函数，‎ ‎∵m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，‎ ‎∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．‎ ‎∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h（x）＜0；‎ 当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h（x）＞0 ‎ ‎∴在x∈（1，x0）上递减，在x∈（x0，+∞）上递增．‎ ‎∴h（x）的最小值为．‎ ‎∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴ln（x0）+1=x0﹣1，代入函数，得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x），对任意x∈（1，+∞）恒成立，‎ ‎∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3． ‎ 法二：令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]=xlnx﹣（k﹣1）x+k（x＞1），‎ ‎∴g′（x）=lnx+1﹣（k﹣1）=lnx+2﹣k，‎ 当2﹣k≥0时，即k≤2时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上单调递增，‎ ‎∴g（x）＞g（1）=1＞0恒成立，而k∈N*‎ ‎∴k=1或k=2．‎ 当2﹣k＜0时，即k＞2时，g′（x）=0⇒x=ek﹣2，‎ ‎∴g（x）在（1，ek﹣2）上单调递减，在（ek﹣2，+∞）上单调递增，‎ ‎∴恒成立，∴k＞ek﹣2，而k∈N*，∴k=3．‎ 综上可得，k=1或k=2或k=3时成立．‎ ‎13.【解析】（1）由，得，解得{x｜0＜x＜1}．‎ ‎（2）有且仅有一解，‎ 等价于有且仅有一解，等价于ax2+x－1=0有且仅有一解．‎ 当a=0时，x=1，符合题意；‎ 当a≠0时，Δ=1+4a=0，．‎ 综上，a=0或．‎ ‎（3）当0＜x1＜x2时，，，‎ 所以f（x）在（0，+∞）上单调递减．‎ 函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值分别为f（t），f（t+1）。‎ 即at2+(a+1)t－1≥0，对任意成立。‎ 因为a＞0，所以函数y=at2+(a+1)t－1在区间上单调递增，‎ 所以时，y有最小值，由，得。‎ 故a的取值范围为 ‎14．【解析】‎ ‎（1）.‎ ‎∵，∴，∴.‎ ‎（2），即 ‎∵，∴，‎ ‎①当时，当且仅当时，取得最小值－1，这与已知矛盾.‎ ‎②当时，当且仅当时，取得最小值，‎ 由已知得，解得；‎ ‎③当时，当且仅当时，取得最小值，‎ 由已知得，解得，这与相矛盾.‎ 综上所述，即为所求.‎ ‎15．【解析】‎ ‎（1）当AC垂直于x轴时，，‎ 又∵|AF1|∶|AF2|=3∶1，‎ ‎∴，从而，‎ ‎∴a2=2b2，∴a2=2c2，∴.‎ ‎（2）由（1）得椭圆的方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（－b，0），F2（b，0）.‎ ‎①当AC、AB的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），‎ 则AC所在的直线方程为，‎ 由得.‎ 又A（x0，y0）在椭圆x2+2y2=2b2上，∴，‎ 则有.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故，‎ 同理可得，∴；‎ ‎②若AC⊥x轴，则，，这时；‎ ‎③若AB⊥x轴，则，，这时.‎ 综上可知是定值6.‎