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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版第6章第4节绝对值不等式学案
第四节 绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
a的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|a
{x|x＞a或x＜－a}
{x∈R|x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
②利用零点分段法求解；
③构造函数，利用函数的图象求解．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )
(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.( )
(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( )
(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则实数a＝________.
－3 [依题意，知a≠0.
又|ax－2|＜3⇔－3＜ax－2＜3，
∴－1＜ax＜5.
由于|ax－2|＜3的解集为，
∴a＜0，＝－且－＝，则a＝－3.]
3．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________. 【导学号：51062193】
(－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，
要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]
4．解不等式x＋|2x＋3|≥2.
[解] 当x≥－时，原不等式化为3x＋3≥2，4分
解得x≥－.8分
当x＜－时，原不等式化为－x－3≥2，
解得x≤－5.12分
综上，原不等式的解集是.14分
5．设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|1的解集．
图641
[解] (1)由题意得f(x)＝3分
故y＝f(x)的图象如图所示．
6分
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.8分
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，
f(x)＜－1的解集为.
所以|f(x)|＞1的解集为.14分
[规律方法] 1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．
2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．
[变式训练1] (2017·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|x－a|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.
[解] (1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，3分
①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；
②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，
不等式的解集为∅；
③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，
解得x≤－.5分
综上可得，不等式的解集为∪.6分
(2)证明：因为f(x)≤1，即|x－a|≤1，
解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]．
所以解得a＝1，8分
所以＋＝1(m＞0，n＞0)，
所以m＋2n＝(m＋2n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，12分
当且仅当m＝2，n＝1时取等号.14分
绝对值三角不等式性质的应用
对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.
(1)求m的值；
(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m. 【导学号：51062194】
[解] (1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，
即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.2分
因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，
|a|≥|b|时，≥2成立，
也就是的最小值是2，即m＝2.6分
(2)|x－1|＋|x－2|≤2.
法一：利用绝对值的意义得：≤x≤.8分
法二：①当x＜1时，不等式为－(x－1)－(x－2)≤2，
解得x≥，所以x的取值范围是≤x＜1.
②当1≤x≤2时，不等式为(x－1)－(x－2)≤2，
得x的取值范围是1≤x≤2.12分
③当x＞2时，原不等式为(x－1)＋(x－2)≤2,2＜x≤.
综上可知，不等式的解集是.14分
[规律方法] 1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当(a－b)(b－c)≥0时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.
(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．
2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．
[变式训练2] 对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．
[解] 因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，≤，4分
所以|4a－3b＋2|＝
≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，10分
则|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|max＝6，m的取值范围是[6，＋∞).14分
绝对值不等式的综合应用
设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，
(1)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤；
(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.
[解] (1)证明：法一：因为－1≤x≤1，
所以|x|≤1.2分
又因为|a|≤1，
所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|
＝－2＋≤.5分
所以若|a|≤1，则|f(x)|≤.6分
法二：设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.
因为－1≤x≤1，
所以当x＝±1.2分
即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤.
当－1a恒成立⇔f(x)min>a.
[变式训练3] (2017·浙江杭州调研)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a＝2，当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值不大于7，求b＋c的最大值；
(2)若当|f(x)|≤1对任意的x∈[－1,1]恒成立时，都有|ax＋b|≤M对任意的x∈[－1,1]恒成立，求M的最小值．
[解] (1)由题意知，f(x)＝2x2＋bx＋c，当x∈[－1,3]时，f(x)≤7恒成立，即f(x)max≤7.2分
(ⅰ)当－≤1，即b≥－4时，f(x)max＝f(3)＝18＋3b＋c≤7，得3b＋c≤－11，
故b＋c＝(3b＋c)＋2(－b)≤－11＋8＝－3.5分
(ⅱ)当－>1，即b<－4时，f(x)max＝f(－1)＝2－b＋c≤7，得－b＋c≤5，
故b＋c＝(－b＋c)＋2b<5－8＝－3.
综上可得，(b＋c)max＝－3.8分
(2)当|x|≤1时，易知≤1，≤1，故由题意知≤1，≤1，10分
所以|ax＋b|＝≤＋≤1＋1＝2，14分
故M≥2，所以M的最小值为2.15分
[思想与方法]
1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，几何法(利用绝对值几何意义)，构造函数法．前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用．
2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．
[易错与防范]
1．利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．
2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c≤0，则不等式解集为R.
课时分层训练(三十三) 绝对值不等式
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
【导学号：51062195】
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4 D．－4或8
D [当a>2时，－<－1，
f(x)＝
其图象如图所示：
由图象知f(x)的最小值为f＝－＋a－1＝－1，依题意得－1＝3，解得a＝8，符合题意．
当a＝2时，f(x)＝3|x＋1|，其最小值为0，不符合题意．
当a<2时，－>－1，
f(x)＝
得f(x)的最小值为f，
因此－＋1＝3，解得a＝－4，符合题意．故选D.]
2．(2017·金华十校一联)已知f(x)＝a|x－2|，若f(x)5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解．
综合①②③知x<4.]
5．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [|x－1|＋|x|≥1，当且仅当0≤x≤1时等号成立；|y－1|＋|y＋1|≥2，当且仅当－1≤y≤1时等号成立．故|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.]
二、填空题
6．(2017·舟山调研)不等式|2－x|＋|x＋1|≤a对任意x∈[－2,1]恒成立，则实数a的取值范围为________．
[5，＋∞) [令f(x)＝|2－x|＋|x＋1|，x∈[－2,1]，则f(x)＝可知f(x)的最大值为5，所以a≥5.]
7．(2017·宁波质检)已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是________. 【导学号：51062196】
[2，＋∞) [|x＋2|＋|x|≥|x＋2－x|＝2，a≥|x＋2|＋|x|有解，即a≥(|x＋2|＋|x|)min，∴a≥2.]
8．(2017·金华十校联考)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x
恒成立，则实数a的取值范围是________．
(－∞，0)∪{2} [当a<0时，显然成立；当a>0时，∵|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，
∴a＋≤4.
∴a＝2.综上可知a∈(－∞，0)∪{2}．]
三、解答题
9．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．
(1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.
[解] (1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，
得1≤x≤2，3分
∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.6分
(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.14分
10．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.4分
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|(2x－a)＋(1－2x)|＋a＝|1－a|＋a，6分
当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3. ①8分
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞).10分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：
①f(0)＝f(1)＝0；
②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.
若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|，不妨设x，
∴|f(x)－f(y)|<－×＝.
综上所述，对所有x，y∈[0,1]，都有|f(x)－f(y)|<.因此，k≥，即k的最小值为，故选B.]
2．(2017·绍兴调研)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a||x－1|恒成立，则实数x的取值范围是________. 【导学号：51062197】
－1≤x≤3 [因为a≠0，所以不等式等价于|x－1|≤恒成立，
则|x－1|≤min，
又≥＝2，∴|x－1|≤2，
∴－1≤x≤3.]
3．已知a>0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.
(1)证明：当0≤x≤1时，
①函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a；
②f(x)＋|2a－b|＋a≥0.
(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a＋b的取值范围．
[解] (1)证明：①f′(x)＝12ax2－2b＝12a.1分
当b≤0时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
当b>0时，f′(x)＝12a，此时f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以当0≤x≤1时，f(x)max＝max{f(0)，f(1)}＝max{－a＋b,3a－b}＝＝|2a－b|＋a.3分
②由于0≤x≤1，故当b≤2a时，f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)＋3a－b＝4ax3－2bx＋2a≥4ax3－4ax＋2a＝2a(2x3－2x＋1)．
当b>2a时，f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)－a＋b＝4ax3＋2b(1－x)－2a>4ax3＋4a(1－x)－2a＝2a(2x3－2x＋1)．
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，
则g′(x)＝6x2－2＝6，于是g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
减
极小值
增
1
所以，g(x)min＝g＝1－>0.
所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1>0.7分
故f(x)＋|2a－b|＋a≥2a(2x3－2x＋1)≥0.8分
(2)由①知，当0≤x≤1，f(x)max＝|2a－b|＋a，
所以|2a－b|＋a≤1.
若|2a－b|＋a≤1，则由②知f(x)≥－(|2a－b|＋a)≥－1.
所以－1≤f(x)≤1对任意0≤x≤1恒成立的充要条件是
即或12分
在直角坐标系aOb中，(*)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.
作一组平行直线a＋b＝t(t∈R)，得－1
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