【数学】2021届一轮复习人教A版已知函数单调性求参数（简单）
一、选择题
1.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )
A．a＝
B．a＝1
C．a＝2
D．a≤0
2.若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A． (－∞，－2]
B． (－∞，－1]
C． [2，＋∞)
D． [1，＋∞)
3.若函数f(x)＝alnx＋在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A． (－∞，－2]
B． (－∞，－1]
C． [1，＋∞)
D． [2，＋∞)
4.已知f(x)＝alnx＋x2，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有>0成立，则实数a的取值范围是( )
A． [0，＋∞)
B． (0，＋∞)
C． (0,1)
D． (0,1]
5.已知函数f(x)＝－x3＋2ax在(0,1]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A． (－∞，)
B． [，＋∞)
C． (，＋∞)
D． (－，)
6.函数f(x)＝ex－ax－1在R上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．R
B． [0，＋∞)
C． (－∞，0]
D． [－1,1]
7.已知a，b是正实数，函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x∈[－1,2]上单调递增，则a＋b的取值范围为( )
A． (0，]
B． [，＋∞)
C． (0,1)
D． (1，＋∞)
8.已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是( )
A． －3
B． －2
C． 2
D． 3
9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A． (－∞，－)∪[，＋∞)
B． [－，]
C． (－∞，－)∪(，＋∞)
D． (－，)
10.已知函数f(x)＝x－alnx在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A． (0，)
B． (0,2)
C． (，＋∞)
D． [2，＋∞)
11.已知f(x)＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上是单调增函数，则b的取值范围是( )
A．b≤－1或b≥2
B．b<－1或b>2
C． －1≤b≤2
D． －1
0，则实数m的取值范围是________．
22.已知a>0，函数f(x)＝lnx＋在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
23.若函数y＝ax＋sinx在R上单调递增，则a的最小值为________．
24.若函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
25.函数y＝x3－ax＋4在(1，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．
三、解答题
26.已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a的取值范围．
27.已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；
(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．
28.已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k>0)．若f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，求k的值．
答案解析
1.【答案】D
【解析】y′＝3ax2－1，∵函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，
则3ax2－1≤0在R上恒成立，
∴a＝0或∴a≤0.
2.【答案】D
【解析】由条件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，
∴k≥1.
3.【答案】C
【解析】f′(x)＝－＝.
∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
∴ax－1≥0在(1，＋∞)上恒成立，
显然，需a>0，
∴函数y＝ax－1在(1，＋∞)上是增函数，
∴a－1≥0，a≥1，
∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．
4.【答案】A
【解析】对任意两个不等的正实数x1，x2，都有>0恒成立，即f(x)为增函数．
则当x>0时，f′(x)>0恒成立，
f′(x)＝＋x>0在(0，＋∞)上恒成立，
则a>(－x2)max，
而－x2<0，则a≥0.
5.【答案】B
【解析】由f(x)＝－x3＋2ax，所以f′(x)＝－3x2＋2a，
因为f(x)＝－x3＋2ax在(0,1]上是单调递增函数，
所以f′(x)＝－3x2＋2a≥0在(0,1]上恒成立，
即2a≥3x2在(0,1]上恒成立．
因为函数y＝3x2≤3在(0,1]上恒成立，
所以a≥.
6.【答案】C
【解析】∵f(x)＝ex－ax－1在R上单调递增，
∴f′(x)≥0恒成立，
即f′(x)＝ex－a≥0恒成立，
即a≤ex，
∵ex>0，
∴a≤0.
7.【答案】B
【解析】∵a，b是正实数，函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x∈[－1,2]上单调递增，
∴f′(x)＝－x2＋2ax＋b，
且f′(x)＝－x2＋2ax＋b≥0在区间[－1,2]上恒成立．
由于二次函数f′(x)＝－x2＋2ax＋b的图象是抛物线，开口向下，对称轴为x＝a，
故有f′(－1)≥0，且f′(2)≥0，即
化简可得 2a＋2b≥5，a＋b≥，故a＋b的取值范围为[，＋∞)．
8.【答案】A
【解析】f′(x)＝3x2＋a，
∵函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
∵f′(x)＝3x2＋a在[1，＋∞)上是增函数，
∴3x2＋a≥3×12＋a＝3＋a，
∴3＋a≥0，
∴a≥－3.
9.【答案】B
【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
由Δ＝4a2－12≤0得－≤a≤.
10.【答案】D
【解析】若函数f(x)＝x－alnx在区间(0,2]上单调递减，则等价为f′(x)≤0在(0,2]上恒成立，
即1－≤0，即≥1，即a≥x，
∵01，∴a≤1.
14.【答案】B
【解析】因为f(x)＝x3＋ax－2，所以f′(x)＝3x2＋a，因为函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，所以f′(x)＝3x2＋a≥0在区间(1，＋∞)内恒成立且不恒为零，即a≥－3x2在区间(1，＋∞)内恒成立且不恒为零，又x∈(1，＋∞)时，(－3x2)max＝－3，所以实数a的取值范围是[－3，＋∞)．
15.【答案】(－∞，－3]
【解析】由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立．
当a＝0时，6x－1≤0，x≤不满足题意，∴a≠0；
当a≠0时，由题意得∴a≤－3.
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－3]．
16.【答案】
【解析】令f′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝m，所以m＝3，m＝.
17.【答案】(0，＋∞)
【解析】由f′(x)＝a(3x2－1)＝3a(x－)(x＋)<0的解集为(－，)，知a>0.
18.【答案】(0，＋∞)
【解析】y′＝－4x2＋a且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
19.【答案】－ －6
【解析】∵y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1,2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，
∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－，c＝－6.
20.【答案】(－∞，)
【解析】f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，∴a的取值范围是(－∞，)．
21.【答案】[，＋∞)
【解析】对任意x1，x2∈R，均满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，
即函数f(x)在R上为增函数，
即有f′(x)≥0在R上恒成立．
由f(x)＝x3－x2＋mx＋2的导数为f′(x)＝3x2－2x＋m，
由3x2－2x＋m≥0恒成立，
可得判别式Δ＝4－12m≤0，
解得m≥，
则所求m的取值范围是[，＋∞)．
22.【答案】[1，＋∞)
【解析】f′(x)＝－＝，
若函数f(x)＝lnx＋在[1，＋∞)上是增函数(a>0)，
则ax－1≥0在[1，＋∞)恒成立，即a≥()max＝1.
23.【答案】1
【解析】y′＝a＋cosx，
∵y＝ax＋sinx在R上单调递增，
∴a＋cosx≥0，在R上恒成立．
∴a≥－cosx，
－cosx的最大值为1，
∴a≥1，
即a的最小值为1.
24.【答案】(0，＋∞)
【解析】f′(x)＝(ax－)′＝a＋，
由题意得，a＋≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，
所以a≥－在x∈(0，＋∞)上恒成立，
故a≥0.
25.【答案】(－∞，3)
【解析】y′＝3x2－a，
∵y＝x3－ax＋4在(1，＋∞)上为增函数，
∴y′＝3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，
∴a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，
∵3x2>3在(1，＋∞)上恒成立，
∴a≤3.
26.【答案】解 由已知得f′(x)＝2a＋，
∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立．
而g(x)＝－在(0,1]上单调递增，
∴g(x)max＝g(1)＝－1，
∴a≥－1，∴f(x)在(0,1]上为增函数，a的取值范围是[－1，＋∞)．
【解析】
27.【答案】解 f′(x)＝3x2－a.
(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，
∴－1
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