【数学】2021届一轮复习人教A版古典概型学案

【数学】2021届一轮复习人教A版古典概型学案

2021 届一轮复习人教 A 版 古典概型 学案 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的。 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。 (2)每个基本事件出现的可能性相等。 3．如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么 每一个基本事件的概率都是 1 n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)＝ m n。 4．古典概型的概率公式 P(A)＝ A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 。 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等 可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。正确地判断试验的类型是解决概率 问题的关键。 一、走进教材 1．(必修 3P134A 组 T5 改编)一个盒子里装有标号为 1,2,3,4 的 4 张卡片，随机地抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　) A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 解析　从盒中装有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片中随机抽取 2 张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,3)，(2,4)，(3,4)共 6 种，取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的取法有(1,2)，(1,4)， (2,3)，(3,4)共 4 种，故取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 4 6＝ 2 3。故选 D。 答案　D 2．(必修 3P145A 组 T5 改编)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个， 黄色球 2 个。若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率为________。 解析　设 3 个红色球为 A1，A2，A3,2 个黄色球为 B1，B2，从 5 个球中，随机取出 2 个球 的基本事件有 A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2 共 10 种。其中 2 个球的颜色不同的有 A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2 共 6 种，所以所求概率为 6 10＝ 3 5。 答案　 3 5 二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 解析　将 2 名男同学分别记为 x，y,3 名女同学分别记为 a，b，c。设“选中的 2 人都 是女同学”为事件 A，则从 5 名同学中任选 2 人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)， (x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共 10 种， 其中事件 A 包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共 3 种，故 P(A)＝ 3 10＝0.3。故选 D。 答案　D 4．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随 机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　) A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 解析　两次抽取卡片上的数字所有可能有 5×5＝25(种)，其中两次抽取卡片上的数大 小相等的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，共 5 种，剩余的 25－5＝20(种)里第一 张卡片上的数比第二张卡片上的数大的种数和第一张卡片上的数比第二张卡片上的数小的 种数相同，各有 10 种，因此第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 10 25＝ 2 5，故选 D。 答案　D 三、走出误区 微提醒：①基本事件个数错误；②古典概型公式应用错误。 5．从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是________。 解析　总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 个。两个不同的数之和为偶数包 含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共 4 个，所以所求概率 P＝ 4 10＝ 2 5。 答案　 2 5 6．从含有两件正品 a1，a2 和一件次品 b 的三件产品中，每次任取一件。若每次取后放 回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________。 解析　有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)， (a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共 9 个基本事件。由于每一件 产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的。用 B 表示事件“恰 有一件次品”，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以事件 B 由 4 个基本事件 组成，所以 P(B)＝ 4 9。 答案　 4 9 7．小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的 笔帽，平时小王都将同颜色的圆珠笔和笔帽套在一起，但偶尔会将圆珠笔和笔帽搭配成不同 色。若将圆珠笔和笔帽随机套在一起，则小王将两支圆珠笔和笔帽的颜色混搭的概率是 ________。 解析　设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为 A，B，C 与之相同颜色的笔帽分别为 a，b，c。将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba， Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共 6 个，其中满足条件的有 3 个。故 所求事件的概率 P＝ 3 6＝ 1 2。 答案　 1 2 考点一较简单的古典概型问题 【例 1】　(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160。现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动。 (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承 担敬老院的卫生工作。 ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率。 解　(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用分 层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人。 (2)①从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A， D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C， E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共 21 种。 ②由(1)，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E， 来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可 能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 种。所以，事件 M 发生的概率 P(M) ＝ 5 21。 本题在用列举法列出随机抽取 2 名同学的所有可能结果时，需注意两名同学之间无先后 顺序，做到不重不漏。 【变式训练】　(1)(2019·南昌摸底调研)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个 微信群聊，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个 9 元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人抢 到的钱数均为整数，且每人至少抢到 2 元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于 其他两人)的概率是(　　) A． 1 3 B． 3 10 C． 2 5 D． 3 4 (2)(2019·福州高三期末)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸 伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是________。 解析　(1)设乙、丙、丁分别抢到 x 元，y 元，z 元，记为(x，y，z)，则基本事件有： (2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,3,2)，(4,2,3)， (3,3,3)，共 10 个，其中符合丙获得“手气最佳”的有 4 个，所以丙获得“手气最佳”(即 丙领到的钱数不少于其他两人)的概率 P＝ 4 10＝ 2 5。故选 C。 (2)记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为 a，b，c，则并排贴的情况有 abc，acb， bac，bca，cab，cba，共 6 种，其中 b，c 相邻的情况有 abc，acb，bca，cba，共 4 种，故 由古典概型的概率计算公式，得所求概率 P＝ 4 6＝ 2 3。 答案　(1)C　(2) 2 3 考点二古典概型的交汇问题微点小专题 方向 1：古典概型与平面向量的交汇 【例 2】　从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数 a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数 b， 则向量 m＝(a，b)与向量 n＝(1，－1)垂直的概率为________。 解析　由题意可知 m＝(a，b)所有基本事件有 4×3＝12 种情况。m⊥n，即 m·n＝0，所 以 a×1＋b×(－1)＝0，即 a＝b，满足条件的有(3,3)，(5,5)，共 2 种情况，所以所求概率 为 1 6。 答案　 1 6 古典概型与平面向量交汇问题的一般处理方法 1．根据平面向量的知识，进行坐标运算，得出事件满足的约束条件。 2．根据约束条件列举出所有符合要求的基本事件。 3．利用古典概型的概率计算公式求解。 方向 2：古典概型与解析几何的交汇 【例 3】　将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为 m， 第二次向上的点数记为 n，曲线 C： x2 m2＋ y2 n2＝1。则曲线 C 的焦点在 x 轴上且离心率 e≤ 3 2 的 概率等于(　　) A． 5 6 B． 1 6 C． 3 4 D． 1 4 解析　因为离心率 e≤ 3 2 ，所以 1－ n2 m2≤ 3 2 ，解得 n m≥ 1 2。由列举法得，当 m＝6 时，n ＝5,4,3；当 m＝5 时，n＝4,3；当 m＝4 时，n＝3,2；当 m＝3 时，n＝2；当 m＝2 时，n＝1， 共 9 种情况，故其概率为 9 6 × 6＝ 1 4。故选 D。 答案　D 古典概型与解析几何交汇问题的一般处理方法 1．根据解析几何的知识，构建事件满足的约束条件。 2．根据约束条件列举出所有符合条件的基本事件。 3．利用古典概型的概率计算公式求解。 方向 3：古典概型与函数的交汇 【例 4】　已知关于 x 的二次函数 f(x)＝ax2－bx＋1，设集合 P＝{1,2,3}，Q＝{－ 1,1,2,3,4)，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数 a 和 b 得到数对(a，b)。 (1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数 y＝f(x)有零点的概率； (2)求函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率。 解　(1)数对(a，b)的所有可能情况为(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－ 1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共 15 种。 函数 y＝f(x)有零点，即 Δ＝b2－4a≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)， (3,4)，共 6 种情况满足条件，所以函数 y＝f(x)有零点的概率为 6 15＝ 2 5。 (2)函数 y＝f(x)图象的开口向上，对称轴为直线 x＝ b 2a，y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是 增函数，则有 b 2a≤1，即 b≤2a，有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)， (2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共 13 种情况满足条件，所以函 数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为 13 15。 古典概型与函数交汇问题的处理方法 1．根据函数的相关性质，确定相关系数应满足的条件。 2．根据系数满足的条件进行分类考虑，求出所有符合条件的基本事件个数。 3．利用古典概型的概率计算公式求解概率。 【题点对应练】　 1．(方向 1)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和 n，记向量 a＝(m，n)与向量 b＝(1，－ 1)的夹角为 θ，则 θ 为锐角的概率是________。 解析　由题意得，连掷两次骰子得到的点数分别为 m，n 所组成的(m，n)的所有可能情 况共有 36 种，因为向量(m，n)与向量(1，－1)的夹角 θ 为锐角，m>0，n>0，所以(m， n)·(1，－1)>0，即 m>n。满足题意的情况如下：当 m＝2 时，n＝1；当 m＝3 时，n＝1,2； 当 m＝4 时，n＝1,2,3；当 m＝5 时，n＝1,2,3,4；当 m＝6 时，n＝1,2,3,4,5。所以满足题 意的情况共有 15 种，故所求事件的概率为 15 36＝ 5 12。 答案　 5 12 2．(方向 2)以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m，n 作为点 P 的坐标(m，n)，则点 P 在直线 x＋y＝7 上的概率为________。 解析　由题意知 m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，所以(m，n)的所有情况共 36 种。点 P 在直线 x＋y＝7 上的情况有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共 6 种， 所以点 P 在直线 x＋y＝7 上的概率为 6 36＝ 1 6。 答案　 1 6 3．(方向 3)已知函数 f(x)＝ 1 2ax2＋bx＋1，其中 a∈{2,4}，b∈{1,3}，则 f(x)在(－ ∞，－1]上是减函数的概率为(　　) A． 1 2 B． 3 4 C． 1 6 D．0 解析　(a，b)的所有可能情况为(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，记事件A 为“f(x)在(－ ∞，－1]上是减函数”，由条件知f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－ b a，若 f(x)在(－ ∞，－1]上是减函数，则－ b a≥－1，即 b≤a，所以事件 A 包含(2,1)，(4,1)，(4,3)，共 3 个基本事件，所以 P(A)＝ 3 4。故选 B。 答案　B 考点三古典概型的综合问题 【例 5】　(2019·贵阳市监测考试)A 市某校学生社团针对“A 市的发展环境”对男、 女各 10 名学生进行问卷调查，每名学生给出评分(满分 100 分)，得到如图所示的茎叶图。 (1)计算女生打分的平均分，并根据茎叶图判断男生、女生打分谁更分散(不必说明理由)； (2)如图②是按该 20 名学生的评分绘制的频率分布直方图(每个分组包含左端点，不包 含右端点)，求 a 的值； (3)从打分在 70 分以下(不含 70 分)的学生中抽取 2 人，求有女生被抽中的概率。 解　(1)女生打分的平均数为 1 10×(68＋69＋76＋75＋70＋78＋79＋82＋87＋96)＝78； 男生打分比较分散。 (2)由茎叶图可知，20 名学生中评分在[70,80)内的有 9 人，则 a＝ 9 20÷10＝0.045。 (3)设“有女生被抽中”为事件 A，由茎叶图可知，有 4 名男生，2 名女生的打分在 70 分以下(不含 70 分)，其中 4 名男生分别记为 a，b，c，d,2 名女生分别记为 m，n，从中抽 取 2 人的基本事件有 ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn， 共 15 种，其中有女生被抽中的事件有 am，an，bm，bn，cm，cn，dm，dn，mn，共 9 种，所 以 P(A)＝ 9 15＝ 3 5。 求解古典概型与统计交汇问题的思路 1．依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信 息，提炼需要的信息。 2．进行统计与古典概型概率的正确计算。 【变式训练】　(2019·开封高三定位考试)为了研究某种农作物在特定温度下(要求最 高温度 t 满足：27 ℃≤t≤30 ℃)的生长状况，某农学家需要在 10 月份去某地进行为期 10 天的连续观察试验。现有关于该地区近十年 10 月份日平均最高温度和日平均最低温度(单 位：℃)的记录如下： (1)根据农学家的试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期； (2)设该地区今年 10 月上旬(10 月 1 日至 10 月 10 日)的最高温度的方差和最低温度的 方差分别为 D1，D2，估计 D1，D2 的大小(直接写出结论即可)； (3)从 10 月份的 31 天中随机选择连续 3 天，求所选 3 天中日平均最高温度值都在[27,30] 的概率。 解　(1)农学家观察试验的起始日期为 10 月 7 日或 10 月 8 日。 (2)D1>D2。 (3)设“所选 3 天中日平均最高温度值都在[27,30]”为事件 A，则基本事件为(1,2,3)， (2,3,4)，(3,4,5)，…，(29,30,31)，共 29 个。 由题图可以看出，事件 A 中包含 10 个基本事件， 所以 P(A)＝ 10 29， 故所选 3 天中日平均最高温度值都在[27,30]的概率为 10 29。