【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系学案

第49讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 考试说明 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.‎ ‎2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.‎ ‎3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 直线与圆的 位置关系 利用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系 ‎2017全国卷Ⅲ1,2013全国卷Ⅰ20‎ ‎★☆☆‎ 圆的切线与 弦长问题 利用垂径定理来求有关弦长问题 ‎2017全国卷Ⅱ9,2016全国卷Ⅲ16,2015全国卷Ⅱ7,2013全国卷Ⅰ20‎ ‎★★☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2017·全国卷Ⅲ 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为(　　)‎ A.3 B.2‎ C.1 D.0‎ ‎[解析 B　A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合.∵直线y=x过圆心,∴直线与圆的交点有两个,故选B.‎ ‎2.[2017·全国卷Ⅲ 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎[解析 A　∵以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴圆心到此直线的距离d等于圆的半径,即d==a.又a>b>0,则上式可化简为a2=3b2.∵b2=a2-c2,∴a2=3(a2-c2),即=,∴e==.‎ ‎3.[2017·全国卷Ⅱ 若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为 (　　)‎ A.2 B.‎ C. D.‎ ‎[解析 A　设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心到该直线的距离d==.根据已知得12+=4,即=3,所以b2=c2,所以e====2.‎ ‎4.[2016·全国卷Ⅱ 圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= (　　)‎ A.- B.-‎ C. D.2‎ ‎[解析 A　圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),圆心到直线的距离d==1,解得a=-.‎ ‎5.[2016·全国卷Ⅲ 已知直线l:mx+y+‎3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=　　　　. ‎ ‎[答案 4‎ ‎[解析 直线l:m(x+3)+y-=0过定点(-3,),又|AB|=2,∴2+()2=12,解得m=-.直线方程中,当x=0时,y=2.又(-3,),(0,2)两点都在圆上,∴直线l与圆的两交点为A(-3,),B(0,2).‎ 设过点A(-3,)且与直线l垂直的直线为x+y+c1=0,将(-3,)代入直线方程x+y+c1=0,得c1=2.令y=0,得xC=-2,同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标为xD=2,∴|CD|=4.‎ ‎6.[2015·全国卷Ⅱ 过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= (　　)‎ A.2 B.8‎ C.4 D.10‎ ‎[解析 C　方法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以=2=4.‎ 方法二:因为 AB=-, BC=3,所以 AB BC=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC为直角三角形,所以△ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r==5,所以=2=4.‎ 方法三:由·=0得AB⊥BC,下同方法二.‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎[2016·江苏卷 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;‎ ‎(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.‎ 解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).‎ 因为圆N与x轴相切,与圆M外切,‎ 所以0　>　=　<‎ ‎2.d>R+r　d=R+r　R-r0,∴d=<2,∴直线与圆相交,故选A.‎ 方法二:因为直线x+ay+1=0经过定点(-1,0),而点(-1,0)在圆x2+(y-1)2=4的内部,所以直线与圆相交,故选A.‎ ‎(2)联立直线与圆的方程得消去y,得2x2+(‎2m-2)x+m2-1=0,根据题意得Δ=(‎2m-2)2-8(m2-1)=-4(m+1)2+16>0,得-3=r,则直线与圆的位置关系为相离.‎ ‎(2)易知曲线C:(x-2)2+y2=4(0≤x≤3)表示的是以C(2,0)为圆心,以2为半径的圆的,其中两个端点为A(3,),B(3,-).当直线与曲线C相切时,设直线方程为y= (x+2),即 x-y+2 =0,得=2,解得 =±.又 PA=, PB=-,所以直线l的斜率的取值范围是-,-∪,.‎ 例2　[思路点拨 (1)分直线的斜率是否存在两种情况进行求解,当直线斜率存在时设出直线方程,然后根据条件利用弦长公式建立方程进行求解;(2)利用圆心与切点的连线与切线垂直求解.‎ ‎(1)x+2y-3=0　(2)x+y-=0　[解析 (1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,但≠4,不符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1= (x-1).由=4,得=,解得 =-,所以直线l的方程为y-1=- (x-1),即x+2y-3=0.‎ ‎(2)因为M,是圆x2+y2=1上的点,所以圆的切线的斜率为-1则设切线方程为x+y+a=0,所以++a=0,得a=-,故切线方程为x+y-=0. ‎ 变式题　(1)22　(2)　(3)D　[解析 (1)由题设知圆的圆心与半径分别为C(6,6),r=,则圆心C(6,6)到直线x+y-2=0的距离d==5,所以=5,解得m=22.‎ ‎(2)因为点A,B关于直线l:x+y=0对称,所以直线y= x+1的斜率 =1,即y=x+1.又圆心-1,在直线l:x+y=0上,所以m=2,则圆心的坐标为(-1,1),半径R=,所以圆心到直线y=x+1的距离d=,所以=2=.‎ ‎(3)设圆心O到直线x+y+a=0的距离为d,则d=,又过点M引圆x2+y2=2的切线,切线长的最小值为2,则2+(2)2=,解得a=±2,故选D.‎ 例3　[思路点拨 (1)直接利用圆心距与两个圆的半径之间的关系进行判断;(2)首先分别设出两个圆C1,C2的圆心坐标,并根据相切条件分别确定出其坐标间关系,然后利用半径分别建立关于两个圆心的横坐标的方程,进而利用韦达定理可求得结果.‎ ‎(1)B　(2)　[解析 (1)圆C2的方程化为(x+3)2+(y-4)2=9,圆C1,C2的半径分别为r1=2,r2=3,则圆C1与C2的圆心距为=5=r1+r2,所以圆C1和圆C2外切,故选B.‎ ‎(2)设圆心C1(a,b),C2(c,d),则=,所以a2=b2.因为圆C1过点P1, ,所以a=b>0,同理c=d>0.由=,得‎9a2‎-25a+=0,同理‎9c2‎-25c+=0,即a,c为方程9x2-25x+=0的两个根,因此|C‎1C2|=|a-c|==.‎ 变式题　(1)5-　(2)D　[解析 (1)设P(x,y),∵|PO|=|PM|,∴x2+y2=2(x-1)2+2y2,即(x-2)2+y2=2.∴≤r+,即r≥5-,∴r的最小值是5-.‎ ‎(2)根据题意可知圆O1上存在到圆O2的圆心的距离为圆O2的半径的点,即两圆有公共点,所以两圆可能是相切的,也可能是相交的.故选D.‎ ‎【备选理由】例1是判断直线与圆的位置关系问题,例2是与平面向量、不等式结合的综合题;例3是直线与圆相交所得弦长问题;例4是综合解答题.‎ ‎1　[配合例1使用 [2017·石家庄质检 圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为 (　　)‎ A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 ‎[解析 C　由题意知,直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)恒过点(1,-2),而12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,所以点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,所以圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为相交,故选C.‎ ‎2　[配合例2使用 [2017·河北武邑中 五模 直线x+2y=m(m>0)与圆O:x2+y2=5交于相异两点A,B,若|+|>2||,则实数m的取值范围是 (　　) ‎ A.(,2) B.(2,2)‎ C.(2,5) D.(2,)‎ ‎[解析 C　∵直线x+2y-m=0与圆O:x2+y2=5交于相异两点A,B,∴O点到直线x+2y-m=0的距离d<.设线段AB的中点为D,则OD⊥AB,∵|+|>2||,∴|2|>2||,∴||<||.∵||2+||2=5,∴||2>4.∴4<||2<5,即4<<5,又m>0,∴2

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