【数学】2019届一轮复习人教A版（理）专题16圆锥曲线的综合问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理）专题16圆锥曲线的综合问题学案

直线与圆锥曲线综合问题 一．考点分析。‎ ‎⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.‎ 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.‎ ‎⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长 上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.‎ 当直线斜率不存在是,则.‎ 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；‎ ‎2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；‎ ‎3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围,二是建立不等式，通过解不等式求范围.‎ 二．考试探究 圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主，一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等.‎ ‎1. （2006年北京卷，文科，19）‎ 椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.‎ ‎〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c的值即可，（Ⅱ）可以设出A、B点的坐标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.‎ ‎〖答案〗解法一：‎ ‎(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.‎ 在Rt△PF‎1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2－c2=4,‎ 所以椭圆C的方程为＝1.‎ ‎(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.‎ 已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,‎ 代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.‎ 因为A，B关于点M对称.‎ 所以 解得，‎ 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0.‎ ‎(经检验，所求直线方程符合题意)‎ 解法二：‎ ‎(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ ‎ 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 由①－②得 ‎ ③‎ 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,‎ 代入③得＝，即直线l的斜率为，‎ 所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.‎ ‎(经检验，所求直线方程符合题意.)‎ ‎2．（2008年山东卷，文科，22）‎ 已知曲线所围成的封闭图形的面积为，‎ 曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．‎ 是上异于椭圆中心的点．‎ ‎（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，‎ 求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．‎ ‎〖解析〗（Ⅰ）由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于a，b的方程组， 曲线与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然为焦点在x轴的椭圆；‎ ‎（Ⅱ）（1）设出的方程，，，联立直线与椭圆得到方程组后，由可得的轨迹方程，注意或不存在时所得方程仍然成立；（2）由直线的方程：和椭圆方程联立后表示出由不等式放缩即可求出最小值.‎ ‎〖答案〗（Ⅰ）由题意得又，解得，．‎ 因此所求椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为 ‎，．‎ 解方程组得，，‎ 所以．‎ 设，由题意知，‎ 所以，即，‎ 因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，‎ 因此，‎ 又，所以，故．‎ 又当或不存在时，上式仍然成立．‎ 综上所述，的轨迹方程为．‎ ‎（2）当存在且时，由（1）得，，‎ 由解得，，‎ 所以，，．‎ 解法一：由于 ‎，‎ 当且仅当时等号成立，即时等号成立，‎ 此时面积的最小值是．‎ 当，．‎ 当不存在时，．‎ 综上所述，的面积的最小值为．‎ 解法二：因为，‎ 又，，‎ 当且仅当时等号成立，即时等号成立，‎ 此时面积的最小值是．‎ 当，．‎ 当不存在时，．‎ 综上所述，的面积的最小值为．‎ ‎3．（广东省实验中学2008届高三第三次模拟考试，理科，20）‎ 已知抛物线x2=－y，直线L：(m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m∈R且m≠－1)与抛物线交于A，B两点.‎ ‎（1） 当m=0时，试用x,y的不等式组表示由直线L和抛物线围成的封闭图形所在平面区域(包边界) ,并求该区域的面积.‎ ‎（2）求证：对任意不为零的实数m，抛物线的顶点都在以线段AB为直径的圆C上；并求圆C的圆心的轨迹方程.‎ ‎（3）将抛物线x2=－y的图像按向量=（4，16）移动后得到函数y=f(x)的图像，若 问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.‎ ‎〖解析〗（1）所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应 的面积，计算时可以整体代入；‎ ‎（2）证明抛物线的顶点在以线段AB为直径的圆C上，即证明，圆C的圆心的 轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得；‎ ‎（3）构造函数，因为，所以y=f（x）的图 象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数有两个正零点的 问题，要对的单调性进行讨论，从而求出使得由两个正零点的的取值范围 解 ：.‎ ‎（3）依题意，f(x)=-x2+8x,令 因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数 的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点 当x∈（0，1）时，是增函数；‎ 当x∈（1，3）时，是减函数 当x∈（3，+∞）时，是增函数 当x=1或x=3时，‎ ‎∴‎ 又因为当x→0时， 当 所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须 ‎ 即 ‎∴m=7或 ‎∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点.‎ ‎4．（2008年广东卷，文科，20）‎ 设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；‎ ‎（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．‎ 〖解析〗（1）由已知可求出G点的坐标，从而求出抛物线在点的切线方程，进而求出点的坐标，由椭圆方程也可以求出点的坐标，从而求出，得出椭圆方程和抛物线方程；（2）以为直角和以为直角的直角三角形显然各一个，以为直角的直角三角形是否存在可以转化成对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的P点的个数.‎ ‎〖答案〗（1）由得，‎ 当得，G点的坐标为，，，‎ 过点G的切线方程为即，‎ 令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，‎ 即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；‎ ‎（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，‎ 同理 以为直角的只有一个。‎ 若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， ‎ ‎。‎ 关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。‎ 高考预测 ‎1. （2007年山东高考真题模拟试卷八，理科，22）‎ 椭圆G：的两个焦点F1（－c，0）、F2（c，0），M是椭圆上的 一点，且满足 ‎（Ⅰ）求离心率e的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为求此时 椭圆G的方程；（ⅱ）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q 为AB的中点，问A、B两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值 范围；若不能，请说明理由.‎ ‎〖答案〗（I）设M（x0，y0） ‎ ‎ ①‎ 又 ②‎ 由②得代入①式整理得 ‎ 又 解得 ‎ ‎（Ⅱ）（i）当 设H（x，y）为椭圆上一点，则 若0‎ 由（舍去）‎ 若b≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2+18‎ 由2b2+18=50得b2=16‎ ‎∴所求椭圆方程为 ‎ ‎（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则由 ‎ ③‎ 又直线PQ⊥直线l ∴直线PQ方程为 将点Q（x0，y0）代入上式得， ④‎ 由③④得Q ‎（解1）而Q点必在椭圆内部 ‎ 由此得 ‎ 故当时A、B两点关于点P、Q的直线对称. ‎ ‎（解2）∴AB所在直线方程为 由得 ‎ 显然1+2k2≠0‎ 而 ‎ ‎ 直线l与椭圆有两不同的交点A、B ∴△＞0 解得 故当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。‎ ‎（ii）另解；设直线l的方程为y=kx+b 由得 设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则 ‎ ③‎ 又直线PQ⊥直线l ∴直线PQ方程为 将点Q（x0，y0）代入上式得， ④‎ 将③代入④⑤‎ ‎∵x1，x2是（*）的两根 ‎⑥‎ ‎⑤代入⑥得 ‎∴当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称 ‎2．（2008年山东卷，理科，22）‎ 如图，设抛物线方程为为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为 ‎（I）求证：三点的横坐标成等差数列；‎ ‎（II）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；‎ ‎（III）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中点满足（为坐标原点）。若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎〖答案〗（I）证明：由题意设，，‎ ‎，‎ 所以三点的横坐标成等差数列。‎ ‎（II）解：由（I）知，‎ 所以是方程的两根， ‎ 或 因此所求抛物线方程为或 ‎（III）解：设由题意得，则中点坐标为 设直线的方程为 与都在上，代入得.‎ 若在抛物线上，则即 ‎.‎ ‎1）当 ‎2）当 ‎（1）对于 矛盾.‎ ‎（2）对于，，则与轴平行，而直线不垂直矛盾。‎ 综上可知，仅存在一点适合题意.‎