2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

5.4.2 　正弦函数、余弦函数的性质 ( 一 ) 必备知识 · 自主学习 1. 函数的周期性 (1) 周期函数：一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D ，如果存在一个非零常数 T ， 使得对每一个 x∈D 都有 x+T∈D ，且 f(x+T)=f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做周期函 数，非零常数 T 叫做这个函数的周期 . (2) 最小正周期：如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的 _____ ， 那么这个最小 _____ 就叫做 f(x) 的最小正周期 . (3) 本质：随着自变量的取值周期性出现相同的函数值 . (4) 应用：函数的周期性是函数重要性质，是高考的常见考查知识点，在生 活中也有很多的应用 . 正数 正数 【 思考 】 周期函数都有最小正周期吗？ 提示： 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如，对于常数函数 f(x)=c(c 为常数， x∈R) ，所有非零实数 T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期 . 2. 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y=sin x y=cos x 周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 最小正周期 ____ ____ 奇偶性 ___ 函数 ___ 函数 2π 2π 奇 偶 【 思考 】 正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？ 提示： 正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于 y 轴对称 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 若 ，则 是函数 y=sin x 的一个周期 . ( 　　 ) (2) 若存在正数 T ，使 f(x+T)=-f(x) ，则函数 f(x) 的周期为 2T. ( 　　 ) (3) 函数 y= 是奇函数 . ( 　　 ) 提示： (1)×. 因为对任意 x ， sin 与 sin x 并不一定相等 . (2)√.f(x+2T)=f[(x+T)+T]=-f(x+T)=-[-f(x)]=f(x) ，所以 f(x) 的周期为 2T. (3)×. 函数 y= 的定义域为 {x|2kπ≤x≤2kπ+π ， k∈Z} ，不关于原点 对称，故非奇非偶 . 2. 函数 f(x)= sin 2x 为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 【 解析 】 选 A.f(x)= sin 2x 的定义域为 R ， f(-x)= sin 2(-x)= - sin 2x=-f(x) ，所以 f(x) 是奇函数 . 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 函数 f(x)=cos 的最小正周期是 _____.  【 解析 】 令 u= ，则 cos =cos u 是周期函数，且最小正周期为 2π. 所以 cos(u+2π)=cos u ， 所以 f(x)= 的最小正周期为 4π. 答案： 4π 关键能力 · 合作学习 类型一　求函数的周期 ( 数学运算 ) 　 【 题组训练 】 　　 　　　　　　　　　　　　　　 1. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+2)f(x)=-1 ，则 f(x) 的周期为 ( 　　 ) A.2 B.4 C.6 D.1 2. 函数 f(x)=sin 的周期为 ( 　　 ) A. B. C.π D.2π 3. 函数 f(x)=|cos x| 的周期为 _______.  【 解析 】 1. 选 B. 因为 f(x+2)f(x)=-1 ， 所以函数 f(x) 是周期函数， 4 是一个周期 . 2. 选 C. 因为 所以周期为 π. 3.y=|cos x| 的图象如图 ( 实线部分 ) 所示， 由图象可知， y=|cos x| 的周期为 π. 答案： π 【 解题策略 】 求三角函数周期方法 (1) 定义法：找一个非零常数 T ，使得定义域内的每一个 x ，都有 f(x+T)= f(x) ，那么这个函数的周期为 T. (2) 公式法：将函数化为 y=Asin(ωx+ φ )+B 或 y=Acos(ωx+ φ )+B 的形式，再利 用 T= 求得； (3) 图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期 . 【 补偿训练 】 下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 对于 D ， x∈(-1 ， 1) 时的图象与其他区间图象不同，不是周期函 数 . 类型二　三角函数奇偶性的判断 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 1. 函数 y=sin 的图象 ( 　　 ) 　 A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 对称 2. 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x) ； (2)f(x)= 【 思路导引 】 1. 依据 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x) 推导函数的奇偶性，再根据奇偶函数的性质判断即可 . 2. 先求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则用定义判断函数的奇偶性 . 【 解析 】 1. 选 B. 因为 y=sin =cos x ， 又因为 cos(-x)=cos x ，为偶函数， 所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于 y 轴对称 . 2.(1) 由 得 -10 ，所以 f(-x)=sin(-x)=-sin x ， 又 f(-x)=f(x) ，所以 f(x)=-sin x ， 即 f(x)= 答案： f(x)=