【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第6节双曲线学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第6节双曲线学案

第六节　双曲线 ‎1．双曲线的定义 ‎(1)平面内与两个定点F1，F2(|F‎1F2|＝‎2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数‎2a(‎2a<‎2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．‎ ‎(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝‎2a}，|F‎1F2|＝‎2c，‎ 其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；‎ ‎②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；‎ ‎③当2a>|F1F2|时，M点不存在．‎ ‎2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)‎ ‎3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x ‎，离心率为e＝.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)‎ ‎(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)‎ ‎(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)‎ ‎(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B. C. D．1‎ D　[依题意，e＝＝＝2，‎ ‎∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]‎ ‎3．(2017·台州质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)‎ A．11 B．9‎ C．5 D．3‎ B　[由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝‎2a＝6，∴|PF2|＝9.]‎ ‎4．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　) 【导学号：51062290】‎ A．(－1,3) B．(－1，)‎ C．(0,3) D．(0，)‎ A　[∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.‎ ‎∴则 因此－10，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为__________．‎ x2－＝1　[由于2x＋y＝0是－＝1的一条渐近线，‎ ‎∴＝2，即b＝2a，①‎ 又∵双曲线的一个焦点为(，0)，则c＝，‎ 由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5，②‎ 联立①②得a2＝1，b2＝4. ‎ ‎∴所求双曲线的方程为x2－＝1.]‎ 双曲线的定义及应用 ‎　(2017·绍兴质检)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)‎ A．48 B．24‎ C．12 D．6‎ B　[由双曲线的定义可得 ‎|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝‎2a＝2，‎ 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，‎ 由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.]‎ ‎[规律方法]　1.应用双曲线的定义需注意的问题：‎ 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“‎ 到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．‎ ‎2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝‎2a平方，建立|PF1|·|PF2|间的联系．‎ ‎[变式训练1]　已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F‎1A|＝2|F‎2A|，则cos∠AF‎2F1＝(　　)‎ A. B. C. D. A　[由e＝＝2得c＝‎2a，如图，由双曲线的定义得|F‎1A|－|F‎2A|＝‎2a.‎ 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，‎ ‎|F‎2A|＝‎2a，‎ ‎∴cos∠AF2F1‎ ‎＝＝.]‎ 双曲线的标准方程 ‎　(1)(2017·杭州二中模拟)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－y2＝1 B．x2－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(1)C　(2)A　[(1)由焦点F2(5,0)知c＝5.‎ 又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9.‎ ‎∴双曲线C的标准方程为－＝1.‎ ‎(2)由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.‎ 又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，‎ 所以双曲线的方程为－y2＝1.]‎ ‎[规律方法]　1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．‎ ‎2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎[变式训练2]　(1)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________________．‎ ‎(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．‎ ‎(1)－y2＝1　(2)－＝1　[(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ ‎∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎∵双曲线过点(4，)，‎ ‎∴λ＝16－4×()2＝4，‎ ‎∴双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ ‎(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.‎ 由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.‎ 故曲线C2的标准方程为－＝1，即－＝1.]‎ 双曲线的简单几何性质 ‎　(1)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF‎2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D．2‎ ‎(2)(2017·宁波调研)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A‎1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A‎2C，则该双曲线的渐近线为__________. 【导学号：51062291】‎ ‎(1)A　(2)x±y＝0　[(1)如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝.‎ 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 tan∠MF‎2F1＝.‎ 所以＝，即＝，即＝，‎ 整理得c2－ac－a2＝0，‎ 两边同除以a2得e2－e－1＝0.‎ 解得e＝(负值舍去)．‎ ‎(2)由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.‎ 因为A1B⊥A2C，‎ 所以·＝－1，整理得a＝b.‎ 因此该双曲线的渐近线为y＝±x，即x±y＝0.]‎ ‎[规律方法]　1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e>1这一条件．‎ ‎2．双曲线中c2＝a2＋b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系＝.抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程．‎ ‎[变式训练3]　已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)‎ A. B．2‎ C. D. D　[不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝‎2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，‎ ‎∴M点的坐标为.‎ ‎∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，‎ ‎∴c＝a，e＝＝.故选D.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．求双曲线标准方程的主要方法：‎ ‎(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．‎ ‎(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．‎ ‎①若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．‎ ‎②当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ‎＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎③与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．‎ ‎2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，只需将双曲线的标准方程中“‎1”‎改为“‎0”‎即可．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.‎ ‎2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e∈(0,1)．求它们的离心率，不要忽视这一前提条件，否则会产生增解或扩大取值范围．‎ ‎3．直线与双曲线有一个公共点时，不一定相切，也可能直线与渐近线平行．‎ 课时分层训练(四十八)　双曲线 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)‎ A．x2－＝1　　　　　　　 B.－y2＝1‎ C.－x2＝1 D．y2－＝1‎ C　[由于焦点在y轴上，且渐近线方程为y＝±2x.‎ ‎∴＝2，则a＝2b.C中a＝2，b＝1满足．]‎ ‎2．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　) 【导学号：51062292】‎ A. B. C. D. D　[由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.‎ 又b2＝c2－a2，∴＝，‎ 即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.]‎ ‎3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A.－＝1(y>0)‎ B.－＝1(x>0)‎ C.－＝1(y>0)‎ D.－＝1(x>0)‎ B　[由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.‎ 所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．]‎ ‎4．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)‎ A.　　　 B. C. D. A　[由题意知a＝，b＝1，c＝，‎ ‎∴F1(－，0)，F2(，0)，‎ ‎∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．‎ ‎∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，‎ 即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，‎ ‎∴－y＝1，即x＝2＋2y，‎ ‎∴2＋2y－3＋y<0，∴－0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝__________. ‎ ‎【导学号：51062293】‎ 　[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.]‎ ‎8．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．‎ ‎2　[如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.‎ 又2|AB|＝3|BC|，‎ ‎∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，‎ ‎∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．]‎ 三、解答题 ‎9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．‎ ‎[解]　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.3分 设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ ‎∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，8分 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.‎ ‎∴＝3，得a＝3，b＝4，12分 ‎∴双曲线G的方程为－＝1.15分 ‎10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)求证：·＝0；‎ ‎(3)求△F1MF2的面积. 【导学号：51062294】‎ ‎[解]　(1)∵e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．‎ ‎∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.2分 ‎∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.‎ ‎∴双曲线方程为x2－y2＝6.4分 ‎(2)证明：∵＝(－3－2，－m)，‎ ＝(2－3，－m)．‎ ‎∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.6分 ‎∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ ‎∴·＝0.9分 ‎(3)△F1MF2的底|F‎1F2|＝4.‎ 由(2)知m＝±.12分 ‎∴△F1MF2的高h＝|m|＝，‎ ‎∴S△F1MF2＝×4×＝6.15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·浙江名校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. D　[由题意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝.‎ 因此e＝.]‎ ‎2．(2017·杭州质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为__________．‎ x2－＝1　[由双曲线的渐近线y＝±x，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切，‎ ‎∴＝，则b2＝3a2.①‎ 又双曲线的一个焦点为F(2,0)，‎ ‎∴a2＋b2＝4，②‎ 联立①②，解得a2＝1，b2＝3.‎ 故所求双曲线的方程为x2－＝1.]‎ ‎3．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围. 【导学号：51062295】‎ ‎[解]　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.4分 故C2的方程为－y2＝1.6分 ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 ‎∴k2≠且k2<1.①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－.10分 ‎∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.‎ 又·>2，得x1x2＋y1y2>2，‎ ‎∴>2，即>0，‎ 解得

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