2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识4
4.2
一元二次不等式及其
解法
4.3
一元二次不等式的应用
激趣诱思
知识点拨
某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本
1
万元
/
辆
,
出厂价为
1
.
2
万元
/
辆
,
年销售量为
1 000
辆
.
本年度为适应市场需求
,
计划提高产品档次
,
适当增加投入成本
,
若每辆车投入成本增加的比例为
x
(0
0
或
ax
2
+bx+c<
0,
或
ax
2
+bx+c
≥
0
或
ax
2
+bx+c
≤
0
,(
其中
x
为未知数
,
a
,
b
,
c
均为常数
,
且
a
≠
0)
的不等式叫做一元二次不等式
.
2
.
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的
叫作这个一元二次不等式的解集
.
名师点析
1
.
一元二次不等式中的
“
一元
”
是指不等式中所要求解的未知数
,
并且这个未知数是唯一的
,
但这并不是说
,
不等式中不能含有其他字母
,
若含有其他字母
,
则把其他字母看成常数
.
2
.
一元二次不等式中的
“
二次
”
是指所要求解的未知数的最高次数必须是
2,
且最高次项的系数不为
0
.
集合
激趣诱思
知识点拨
微练习
下面哪些不等式是一元二次不等式
:
(1)
x
2
>
0;(2)
-x-x
2
≤
5;
(3)
x
3
+
5
x-
6
>
0;
(4)3
x
2
-x+y<
0;
(5)
ax
2
+bx+c>
0
.
解
:
(1)
是
;(2)
是
;
(3)
不是
,
因为
x
的最高次为
3
次
;
(4)
不是
,
它含有两个未知数
;
(5)
不是
,
因为
a=
0
时
,
不符合一元二次不等式的定义
.
激趣诱思
知识点拨
二、一元二次不等式的解法
一元
二次函数
与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表
:
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
名师点析
一元二次不等式
ax
2
+bx-c>
0(
a>
0)
的求解方法
,
如图
.
激趣诱思
知识点拨
微技巧
解一元二次不等式的口诀
:
先看开口再看根
,
函数图象是根本
;
横轴上方
y
为正
,
根间根外想谨慎
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1
)
不等式
x
2
-
2
x>
0
的解集为
(
)
A.{
x|x>
0}
B.{
x|x<
2}
C.{
x|
0
2}
答案
:
D
解析
:
解方程
x
2
-
2
x=
0,
得两根
x
1
=
0,
x
2
=
2,
画出
y=x
2
-
2
x
的图象
.
如图
,
观察图象得原不等式解集为
{
x|x<
0
或
x>
2}
.
激趣诱思
知识点拨
(2)
求不等式
-x
2
+
2
x-
3
>
0
的解集
.
解
:
不等式可化为
x
2
-
2
x+
3
<
0
.
因为
Δ=-
8
<
0,
所以方程
x
2
-
2
x+
3
=
0
无实数根
.
画出二次函数
y=x
2
-
2
x+
3
的图象
(
如图
)
.
观察图象得原不等式的解集为
⌀
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
一元二次不等式的求解
例
1
解下列不等式
:
(1)2
x
2
-
3
x-
2
>
0;
(2)
-
3
x
2
+
6
x-
2
>
0;
(3)4
x
2
-
4
x+
1
≤
0;
(4)
x
2
-
2
x+
2
>
0
.
分析
先求出对应一元二次方程的解
,
再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解
:
(1)
因为方程
2
x
2
-
3
x-
2
=
0
的判别式
Δ=
9
+
4
×
2
×
2
=
25
>
0,
所以该方程的解是
x
1
=-
,
x
2
=
2
.
因为该函数的图象是开口向上的抛物线
,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(4)
因为
x
2
-
2
x+
2
=
0
的判别式
Δ=
4
-
4
×
1
×
2
=-
4
<
0,
所以方程
x
2
-
2
x+
2
=
0
无解
.
又因为函数
y=x
2
-
2
x+
2
的图象是开口向上的抛物线
,
所以原不等式的解集为
R
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)
化标准
.
通过对不等式的变形
,
使不等式的右侧为
0,
使二次项系数为正
.
(2)
判别式
.
对不等式的左侧进行因式分解
,
若不能分解
,
则计算对应方程的判别式
.
(3)
求实根
.
求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根
.
(4)
画图
像
.
根据一元二次方程根的情况画出对应
的
一元
二次函数的图
像
.
(5)
写解集
.
根据图象写出不等式的解集
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
1
解下列不等式
:
(1)4
x
2
-
20
x<-
25;
(2)(
x-
3)(
x-
7)
<
0;
(3)
-
3
x
2
+
5
x-
4
<
0;
(4)
x
(1
-x
)
≥
x
(2
x-
3)
+
1
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解
:
(1)
不等式可化为
4
x
2
-
20
x+
25
<
0,
由于
Δ=
0,
且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线
,
所以不等式的解集是
⌀
.
(2)
由题意知不等式对应方程的两个根是
3
和
7,
且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线
,
故不等式的解集是
{
x|
3
0,
由于
判别式
Δ=
25
-
48
=-
23
<
0,
函数
y=
3
x
2
-
5
x+
4
的图象开口向上
,
所以不等式的解集是
R
.
(4)
不等式
x
(1
-x
)
≥
x
(2
x-
3)
+
1
可化为
3
x
2
-
4
x+
1
≤
0
.
因为方程
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
已知不等式的解集求参数值
例
2
求实数
a
,
b
的值
,
使得关于
x
的不等式
ax
2
+bx+a
2
-
1
≤
0
的解集分别为
:
(1)[
-
1,2];
(2)(
-∞
,
-
1]
∪
[2,
+∞
);
(3)[
-
1,
+∞
)
.
分析
根据解一元二次不等式的方法
,
逆向分析与思考
,
得出不等式对应
方程
解
的
情况
,
利用根与系数的关系进行求解
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根
,
要充分利用这个关系解题
.
2
.
不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系
,
对于关于
x
的一元二次不等式
a
(
x-x
1
)(
x-x
2
)
>
0(
x
1
0
时
,
其解集是
{
x|xx
2
},
当
a<
0
时
,
其解集是
{
x|x
1
0
的解集
.
解
:
∵
关于
x
的不等式
x
2
+ax+b<
0
的解集为
(1,2),
∴
1,2
是关于
x
的方程
x
2
+ax+b=
0
的两根
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
含参数的一元二次不等式的解法
例
3
解关于
x
的不等式
ax
2
-
(
a+
1)
x+
1
<
0
.
分析
先对二次项的系数进行讨论
,
再按不等式的解法求解
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
解含参数的一元二次不等式
,
与
解
不含参数
的
一元二次不等式的基本思路是一致的
,
但要注意分类讨论思想的运用
.
(1)
若二次项系数含有参数
,
需对二次项系数等于
0
与不等于
0
进行讨论
,
对于
不
等于
0
的情况再按大于
0
或小于
0
进行讨论
.
(2)
若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定
,
需对其判别式
Δ
进行讨论
.
(3)
若求出的根中含有参数
,
则应对两根的
大小
关系
进行
讨论
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
3
解关于
x
的不等式
x
2
+
3
ax-
4
a
2
<
0(
a
∈
R
)
.
解
:
由于
x
2
+
3
ax-
4
a
2
<
0
可化为
(
x-a
)(
x+
4
a
)
<
0,
且方程
(
x-a
)(
x+
4
a
)
=
0
的两个根分别是
a
和
-
4
a.
当
a=-
4
a
,
即
a=
0
时
,
不等式的解集为
⌀
;
当
a>-
4
a
,
即
a>
0
时
,
解不等式为
-
4
a
0
时
,
不等式的解集为
{
x|-
4
a
0)
时
,
将多项式分解成若干个不可约因式的积
,
根据实数运算法则
,
把它等价转化为两个或多个不等式
(
组
)(
由各因式的符号所有可能的组合决定
)
.
于是原不等式的解集就是各不等式解集的并集
.
但这一方法在因式较多时比较烦琐
.
此时通常采用下面的方法
:
(1)
将不等式化为标准形式
:
一端为
0,
另一端为一次因式
(
因式中
x
的系数为正
)
或二次不可分解因式的积
.
(2)
求出各因式的实数根
,
并在数轴上依次标出
.
(3)
自最右端上方起
,
用曲线自右至左依次由各根穿过数轴
,
遇到奇
次重
根
要
一次穿过
,
遇到偶次
重
根要
穿
而不过
.
(4)
记数轴上方为正
,
下方为负
,
根据不等式的符号写出解集
.
这种方法
叫穿
根
法
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
典例
2
解不等式
:
x
3
+
2
x
2
-x-
2
>
0
.
解
:
原不等式可化为
(
x+
1)(
x-
1)(
x+
2)
>
0
.
将方程
(
x+
1)(
x-
1)(
x+
2)
=
0
的各个根
-
2,
-
1,1
标在数轴上
,
并用
穿
根
法
依次通过每一个根
.
如图
:
所以
,
原不等式的解集为
{
x|-
2
1}
.
注意
(1)
对于数轴穿根法求解高次不等式
,
分解因式后
x
或
x
2
的系数须为正数
;(2)
要注意准确考察各根是否在解集内
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1
.
不等式
x
2
-
9
<
0
的解集为
(
)
A.{
x|x<-
3}
B
.{
x|x<
3}
C.{
x|x<-
3,
或
x>
3} D.{
x|-
3
0
的解集为
R
,
则实数
a
的取值范围是
(
)
A.(
-
16,0)
B.(
-
16,0]
C.(
-∞
,0)
D.(
-
8,8)
答案
:
D
解析
:
由
x
2
-
9
<
0,
可得
x
2
<
9,
解得
-
3
0
的解集为
R
,
∴
Δ=a
2
-
4
×
4
×
4
<
0,
解得
-
8
-
1
时
,
原不等式的解集为
{
x|-
1
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