【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第38讲 数学归纳法学案
第38讲 数学归纳法
考纲要求
考情分析
命题趋势
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
2015·陕西卷，21
2014·重庆卷，22
数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查.
分值：0～5分
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( × )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × )
(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( × )
(4)用数学归纳法证明不等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23.( √ )
解析 (1)错误．用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n为初始值时结论成立，不一定是n＝1.
(2)错误．不一定所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．
(3)错误．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数的增加根据题目而定．
(4)正确．用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23是正确的．
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步检验n＝( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.
3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到( D )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
解析 由条件知，左边从20,21到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.
4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，则从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( B )
A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2 D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
解析 由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2，故选B．
5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)时命题为真，进而需证n＝__2k＋1__时，命题亦真．
解析 因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1.
一 数学归纳法证明等式
数学归纳法证明等式的思路和注意点
(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确地写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
【例1】 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
证明 ①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任意n∈N*都成立．
二 数学归纳法证明不等式
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．
(2)数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等方法证明．
【例2】 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an
0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解析 (1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．
②假设n＝k(k∈N*)时猜想正确，即ak＝，
当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝.
这说明n＝k＋1时猜想正确．
由①②知，对于任意n∈N*，都有an＝.
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
证明 ①当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，
左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，
即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝
(k＋1)－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时结论仍然成立．
由①②可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
2．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
证明 ①当n＝1时，左边＝1＋，右边＝＋1，
∴≤1＋≤，即命题成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即
1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋，
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1时，命题成立．
由①②可知，命题对所有n∈N*都成立．
3．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解析 由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1
＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]
＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据①和②，可知对于任意的n∈N*，
S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．
4．已知函数f(x)＝x－xln x，数列{an}满足00，故f(x)在x∈(0,1)时为单调递增函数．
下面用数学归纳法证明：对任意n∈N*，不等式0a1>0，且有a2＝f(a1)＝a1－a1ln a10，所以有0，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…，你能猜想得到一个怎样的一般不等式？用数学归纳法证明你的结论．
解析 根据给出的几个不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…，
即一般不等式为1＋＋＋…＋>.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，1>，猜想正确．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，
即不等式为1＋＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，1＋＋…＋＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋＝＋＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立，
所以对任意的n∈N*，不等式成立．
【跟踪训练1】 设a1＝1，an＋1＝＋1(n∈N*)，求a2，a3，an，并用数学归纳法证明你的结论．
解析 a2＝2，a3＝＋1，
可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.
因此猜想an＝＋1.
下面用数学归纳法证明上式：
当n＝1时结论显然成立．假设n＝k时结论成立，
即ak＝＋1，
则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.
这就是说，当n＝k＋1时结论成立．
综上可知，an＝＋1(n∈N*)．
课时达标 第38讲
[解密考纲]在高考中，数学归纳法常在压轴题中使用，考查利用数学归纳法证明不等式．
一、选择题
1．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为( B )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
解析 当n＝k时，有(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，则当n＝k＋1时，有(k＋2)(k＋3)·…·(2k＋1)(2k＋2)显然增乘的＝2(2k＋1)．
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( C )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析 n＝4时，24＜42＋1；n＝5时，25＞52＋1，故n0＝5.
3．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是( A )
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
解析 f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故选A．
4．(2018·安徽黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( B )
A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立
解析 根据数学归纳法步骤可知，要证n为正偶数对原式成立，已知假设n＝k(k≥2且k为偶然)时，命题为真，则下一步需证下一个正偶数即n＝k＋2时命题为真，故选B．
5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )
A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立
B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析 A，B项与题设中不等方向不同，故A，B项错；C项中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；D项符合题意．
6．对于不等式1)时，第一步应验证的不等式是__1＋＋<2__.
解析 由n∈N*，n>1知，n取第一个值n0＝2，当n＝2时，不等式为1＋＋<2.
8．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝____.
解析 由(S1－1)2＝S，得：S1＝；
由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得：S2＝；
由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得：S3＝.猜想Sn＝.
9．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)个平面区域，则f(2)＝__4__，f(n)＝__n2－n＋2__(n≥1，n∈N*)．
解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.
三、解答题
10．求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
证明 ①当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝＝，左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，
即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
＋
＝＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综合①，②可知，对一切n∈N*等式成立．
11．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．
证明 ①当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
②假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，
即1＋＋＋…＋<2－.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．
由①，②知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．
12．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．
解析 ∵f′(x)＝x2－1，且an＋1≥f′(an＋1)，
∴an＋1≥(an＋1)2－1.
∵函数g(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，
于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，
进而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：an≥2n－1.
下面用数学归纳法证明这个猜想：
①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1.
当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上是增函数知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，
即n＝k＋1时，结论也成立．
由①②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.
即1＋an≥2n，∴≤，
∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n<1.
