2020年秋人教版八年级数学上册第11章 三角形 测试卷（3）

2020年秋人教版八年级数学上册第11章 三角形 测试卷（3）

第 1页（共 20页） 2020 年秋人教版八年级数学上册第 11 章 三角形 测试卷（3） 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．（3 分）已知△ABC 中，AB=6，BC=4，那么边 AC 的长可能是下列哪个值（ ） A．11 B．5 C．2 D．1 2．（3 分）在同一平面内，线段 AB=7，BC=3，则 AC 长为（ ） A．AC=10 B．AC=10 或 4 C．4＜AC＜10 D．4≤AC≤10 3．（3 分）如图，△ABC 的角平分线 BD 与中线 CE 相交于点 O．有下列两个结论： ①BO 是△CBE 的角平分线；②CO 是△CBD 的中线． 其中（ ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 4．（3 分）下列说法正确的是（ ） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 5．（3 分）如图，直线 a、b、c、d 互不平行，对它们截出的一些角的数量关系 描述错误的是（ ） A．∠1+∠6﹦∠2 B．∠4+∠5﹦∠2 C．∠1+∠3+∠6﹦180° D．∠1+∠5+∠4﹦180° 6．（3 分）如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于（ ） 第 2页（共 20页） A．120°B．115°C．110°D．105° 7．（3 分）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到 2013 个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A．2011 B．2015 C．2014 D．2016 8．（3 分）如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到 了一个新多边形．若新多边形的内角和为 540°，则对应的是下列哪个图形（ ） A． B． C． D． 9．（3 分）具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠C 10．（3 分）如果在△ABC 中，∠A=60°+∠B+∠C，则∠A 等于（ ） A．30° B．60° C．120°D．140° 11．（3 分）已知三角形的两边长是 2cm，3cm，则该三角形的周长 l 的取值范围 是（ ） A．1＜l＜5 B．1＜l＜6 C．5＜l＜9 D．6＜l＜10 12．（3 分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别是 边 AB、AC 上的点，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A=70°，则∠ 1+∠2=（ ） A．110°B．140°C．220°D．70° 第 3页（共 20页） 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 13．（3 分）如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳 子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 ． 14．（3 分）如图，一副三角板△AOC 和△BCD 如图摆放，则∠AOB= ． 15．（3 分）如图，在△ABC 中，∠B=46°，∠C=54°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D， DE∥AB，交 AC 于 E，则∠ADE 的大小是 ． 16．（3 分）若 n 边形的每一个外角都是 72°，则边数 n 为 ． 17．（3 分）三角形的三条边长分别是 2，2x﹣3，6，则 x 的取值范围是 ． 18．（3 分）在△ABC 中，AC=5cm，AD 是△ABC 中线，把△ABC 周长分为两部分， 若其差为 3cm，则 BA= ． 19．（3 分）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ． 20．（3 分）如图，在△ABC 中，∠B=42°，△ABC 的外角∠DAC 和∠ACF 的平分 线交于点 E，则∠AEC= ． 第 4页（共 20页） 三、解答题（共 4 小题，满分 0 分） 21．如图△ABC 中，∠A=20°，CD 是∠BCA 的平分线，△CDA 中，DE 是 CA 边上 的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B 的大小． 22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数． 23．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为 7 和 9，另一条 边长为偶数． （1）请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长． （2）若符合上述条件的三角形共有 a 个，求 a 的值． 24．将一块直角三角板 DEF 放置在锐角△ABC 上，使得该三角板的两条直角边 DE、DF 恰好分别经过点 B、C． （1）如图①，若∠A=40°时，点 D 在△ABC 内，则∠ABC+∠ACB= 度，∠DBC+ ∠DCB= 度，∠ABD+∠ACD= 度； （2）如图②，改变直角三角板 DEF 的位置，使点 D 在△ABC 内，请探究∠ABD+ 第 5页（共 20页） ∠ACD 与∠A 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板 DEF 的位置，使点 D 在△ABC 外，且在 AB 边的 左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A 三者之间存在的数量关系． 第 6页（共 20页） 人教版第 11 章 三角形 拓展卷（3） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．（3 分）已知△ABC 中，AB=6，BC=4，那么边 AC 的长可能是下列哪个值（ ） A．11 B．5 C．2 D．1 【考点】三角形三边关系． 【分析】直接利用三角形三边关系得出 AC 的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：AB﹣BC＜AC＜AB+BC， ∵AB=6，BC=4， ∴6﹣4＜AC＜6+4， 即 2＜AC＜10， 则边 AC 的长可能是 5． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出 AC 的取值范围是解题关键． 2．（3 分）在同一平面内，线段 AB=7，BC=3，则 AC 长为（ ） A．AC=10 B．AC=10 或 4 C．4＜AC＜10 D．4≤AC≤10 【考点】三角形三边关系；两点间的距离． 【分析】此题要分三点共线和不共线两种情况．三点共线时，根据线段的和、差 进行计算；三点不共线时，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边”，进行计算． 【解答】解：若点 A，B，C 三点共线，则 AC=4 或 10； 若三点不共线，则根据三角形的三边关系，应满足大于 4 而小于 10． 所以 4≤AC≤10． 故选：D． 【点评】此题主要考查了线段的和与差以及三角形的三边关系，关键是要考虑全 面，此题有两种情况，不要漏解． 第 7页（共 20页） 3．（3 分）如图，△ABC 的角平分线 BD 与中线 CE 相交于点 O．有下列两个结论： ①BO 是△CBE 的角平分线；②CO 是△CBD 的中线． 其中（ ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据角平分线的定义和中线的定义，可直接得出结论． 【解答】解：∵△ABC 的角平分线 BD 与中线 CE 相交于点 O， ∴∠ABD=∠CBD，AE=BE， ∴∠EBO=∠CBO， ∴BO 和 DO 不一定相等， 故选 A． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，是基础知识要熟练掌握． 4．（3 分）下列说法正确的是（ ） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定 义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可． 【解答】解：①三角形的角平分线是线段，说法错误； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确； ③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另 第 8页（共 20页） 一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内 部．说法错误； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确． 故选 D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从 三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高； 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交 的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线 叫做三角形的中线． 5．（3 分）如图，直线 a、b、c、d 互不平行，对它们截出的一些角的数量关系 描述错误的是（ ） A．∠1+∠6﹦∠2 B．∠4+∠5﹦∠2 C．∠1+∠3+∠6﹦180° D．∠1+∠5+∠4﹦180° 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，对顶角相等结 合图形对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、∠1+∠6 与∠2 没有关系，结论不成立，故本选项正确； B、由三角形的外角性质，∠4+∠5﹦∠2 成立，故本选项错误； C、由三角形的内角和定理与对顶角相等，∠1+∠3+∠6﹦180°成立，故本选项错 误； D、由三角形的内角和定理与对顶角相等，∠1+∠5+∠4﹦180°成立，故本选项错 误． 故选 A． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质， 第 9页（共 20页） 三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 6．（3 分）如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于（ ） A．120°B．115°C．110°D．105° 【考点】三角形的外角性质． 【分析】根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和可得∠AEB=∠A+∠C=65°，∠DFE=∠B+∠AEC，进而可得答案． 【解答】解：∵∠A=27°，∠C=38°， ∴∠AEB=∠A+∠C=65°， ∵∠B=45°， ∴∠DFE=65°+45°=110°， 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和． 7．（3 分）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到 2013 个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A．2011 B．2015 C．2014 D．2016 【考点】多边形的对角线． 【分析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个 数与多边形的边数的关系求解． 【解答】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到 2003 个三角形， 则这个多边形的边数为 2013+1=2014． 故选 C． 第 10页（共 20页） 【点评】此题考查了多边形的对角线的知识，多边形一条边上的一点（不是顶点） 出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数﹣1． 8．（3 分）如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到 了一个新多边形．若新多边形的内角和为 540°，则对应的是下列哪个图形（ ） A． B． C． D． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据新多边形的内角和为 540°，n 边形的内角和公式为（n﹣2）•180°， 由此列方程求 n． 【解答】解：设这个新多边形的边数是 n， 则（n﹣2）•180°=540°， 解得：n=5， 故选：C． 【点评】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角 和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解． 9．（3 分）具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠C 【考点】直角三角形的性质；三角形内角和定理． 【分析】由直角三角形内角和为 180°求得三角形的每一个角，再判断形状． 【解答】解：A 中∠A+∠B=∠C，即 2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形， 同理，B，C 均为直角三角形， D 选项中∠A=∠B=3∠C，即 7∠C=180°，三个角没有 90°角，故不是直角三角形， 故选：D． 【点评】注意直角三角形中有一个内角为 90°． 第 11页（共 20页） 10．（3 分）如果在△ABC 中，∠A=60°+∠B+∠C，则∠A 等于（ ） A．30° B．60° C．120°D．140° 【考点】三角形内角和定理． 【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠A 和∠B+∠C 的关系，再代入已知条 件即可求出∠A 的度数． 【解答】解：∵△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B+∠C=180°﹣∠A， ∵∠A=60°+∠B+∠C， ∴∠A=240°﹣∠A， ∴∠A=120°， 故选 C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 180°，属于基础性提报， 比较简单． 11．（3 分）已知三角形的两边长是 2cm，3cm，则该三角形的周长 l 的取值范围 是（ ） A．1＜l＜5 B．1＜l＜6 C．5＜l＜9 D．6＜l＜10 【考点】三角形三边关系． 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即 可求解． 【解答】解：第三边的取值范围是大于 1 而小于 5． 又∵另外两边之和是 5， ∴周长的取值范围是大于 6 而小于 10． 故选 D． 【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边关系：两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边． 12．（3 分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别是 边 AB、AC 上的点，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A=70°，则∠ 第 12页（共 20页） 1+∠2=（ ） A．110°B．140°C．220°D．70° 【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据三角形的内角和等于 180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性 质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于 180°列式计算即可得 解． 【解答】解：∵∠A=70°， ∴∠ADE+∠AED=180°﹣70°=110°， ∵△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合， ∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED， ∴∠1+∠2=180°﹣（∠A′ED+∠AED）+180°﹣（∠A′DE+∠ADE）=360°﹣2× 110°=140°． 故选 B． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求 解更简便． 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 13．（3 分）如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳 子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 三角形的稳定性 ． 【考点】三角形的稳定性． 【专题】应用题． 【分析】根据三角形的稳定性进行解答． 第 13页（共 20页） 【解答】解：给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，应用的数学原理是 三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识． 14．（3 分）如图，一副三角板△AOC 和△BCD 如图摆放，则∠AOB= 165° ． 【考点】三角形的外角性质． 【分析】根据邻补角求出∠ADO 的度数，再利用外角的性质，即可解答． 【解答】解：∵∠BDC=60°， ∴∠ADO=180°﹣∠BDC=120°， ∴∠OAD=45°， ∴∠AOB=∠OAD+∠ADO=165°． 故答案为：165°． 【点评】本题考查了三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和．充分利用三角板中的特殊角进行计算． 15．（3 分）如图，在△ABC 中，∠B=46°，∠C=54°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D， DE∥AB，交 AC 于 E，则∠ADE 的大小是 40° ． 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质． 【分析】根据 DE∥AB 可求得∠ADE=∠BAD，根据三角形内角和为 180°和角平分 第 14页（共 20页） 线平分角的性质可求得∠BAD 的值，即可解题． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴∠ADE=∠BAD， ∵∠B=46°，∠C=54°， ∴∠BAD=180°﹣46°﹣54°=80°， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=40°， ∴∠ADE=40°， 故答案为 40°． 【点评】本题考查了三角形内角和为 180°性质，考查了角平分线平分角的性质， 本题中求∠ADE=∠BAD 是解题的关键． 16．（3 分）若 n 边形的每一个外角都是 72°，则边数 n 为 5 ． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】先判断出此多边形是正多边形，然后根据正多边形的边数等于 360°除以 每一个外角的度数计算即可得解． 【解答】解：∵多边形的每一个外角都是 72°， ∴此多边形是正多边形， 360°÷72°=5， 所以，它的边数是 5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的边数、每一个外 角的度数、外角和三者之间的关系是解题的关键． 17．（3 分）三角形的三条边长分别是 2，2x﹣3，6，则 x 的取值范围是 3.5＜x ＜5.5 ． 【考点】三角形三边关系；解一元一次不等式组． 【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小 于第三边，即可得出第三边的取值范围． 第 15页（共 20页） 【解答】解：∵三角形的两边长分别为 2 和 6， ∴第三边长 x 的取值范围是：6﹣2＜2x﹣3＜6+2， 即：3.5＜x＜5.5． 故答案为：3.5＜x＜5.5． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解 决问题的关键． 18．（3 分）在△ABC 中，AC=5cm，AD 是△ABC 中线，把△ABC 周长分为两部分， 若其差为 3cm，则 BA= 8cm 或 2cm ． 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】先根据三角形中线的定义可得 BD=CD，再求出 AD 把△ABC 周长分为的 两部分的差等于|AB﹣AC|，然后分 AB＞AC，AB＜AC 两种情况分别列式计算即 可得解． 【解答】解：∵AD 是△ABC 中线， ∴BD=CD． AD 把△ABC 周长分为的两部分分别是：AB+BD，AC+CD， |（AB+BD）﹣（AC+CD）|=|AB﹣AC|=3， 如果 AB＞AC，那么 AB﹣5=3，AB=8cm； 如果 AB＜AC，那么 5﹣AB=3，AB=2cm． 故答案为：8cm 或 2cm． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出 AD 把△ ABC 周长分为的两部分的差等于|AB﹣AC|是解题的关键． 19．（3 分）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 75° ． 第 16页（共 20页） 【考点】三角形的外角性质；直角三角形的性质． 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：如图，∠1=90°﹣60°=30°， ∴∠α=30°+45°=75°． 故答案为：75°． 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 20．（3 分）如图，在△ABC 中，∠B=42°，△ABC 的外角∠DAC 和∠ACF 的平分 线交于点 E，则∠AEC= 69° ． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得 ∠ DAC+ ∠ACF= （∠B+∠B+∠1+∠2）=111°；最后在△AEC 中利用三角形内角和 定理可以求得∠AEC 的度数． 【解答】解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E， ∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF， ∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1 ∴ ∠DAC+ ∠ACF= （∠B+∠2）+ （∠B+∠1）= （∠B+∠B+∠1+∠2）， 第 17页（共 20页） ∵∠B=42°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理）， ∴ ∠DAC+ ∠ACF=111° ∴∠AEC=180°﹣（ ∠DAC+ ∠ACF）=69°． 故答案是：69°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐 含在题干中已知条件“三角形内角和是 180°”． 三、解答题（共 4 小题，满分 0 分） 21．如图△ABC 中，∠A=20°，CD 是∠BCA 的平分线，△CDA 中，DE 是 CA 边上 的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B 的大小． 【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理． 【专题】计算题． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠EDA 的度数，再根据平角的定义求出 ∠CDE 的度数，再次利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE 的度数，从而得到∠ BCA 的度数，最后利用三角形内角和等于 180°计算即可． 【解答】解：∵DE 是 CA 边上的高， ∴∠DEA=∠DEC=90°， ∵∠A=20°， ∴∠EDA=90°﹣20°=70°， ∵∠EDA=∠CDB， ∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°， 第 18页（共 20页） 在 Rt△CDE 中，∠DCE=90°﹣40°=50°， ∵CD 是∠BCA 的平分线， ∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°， 在△ABC 中，∠B=180°﹣∠BCA﹣∠A=180°﹣100°﹣20°=60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的高以及三角形的内角和 定理，稍微复杂，但仔细分析图形也不难解决． 22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数，只要求出∠D+∠1+∠2 的度数，利 用三角形外角性质得，∠1=∠A+∠E，∠2=∠B+∠C；在△DOF 中，∠D+∠1+∠ 2=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠D+∠1+∠2=180°． 【解答】解：∵∠1 是△AEF 的外角， ∴∠1=∠A+∠E． ∵∠2 是△BOC 的外角， ∴∠2=∠B+∠C． 在△DOF 中，∠D+∠1+∠2=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠D+∠1+∠2=180°． 【点评】考查三角形外角性质与内角和定理．将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 拼凑在一 个三角形中是解题的关键． 23．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为 7 和 9，另一条 边长为偶数． （1）请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长． （2）若符合上述条件的三角形共有 a 个，求 a 的值． 第 19页（共 20页） 【考点】三角形三边关系． 【分析】（1）根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，即可求解； （2）找到第三边的取值范围内的正整数的个数，即为所求； 【解答】解：两边长分别为 9 和 7，设第三边是 a，则 9﹣7＜a＜7+9，即 2＜a ＜16． （1）第三边长是 4．（答案不唯一）； （2）∵2＜a＜16， ∴a 的值为 4，6，8，10，12，14 共六个， ∴a=6； 【点评】考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角 形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两 条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个 三角形． 24．将一块直角三角板 DEF 放置在锐角△ABC 上，使得该三角板的两条直角边 DE、DF 恰好分别经过点 B、C． （1）如图①，若∠A=40°时，点 D 在△ABC 内，则∠ABC+∠ACB= 140 度，∠ DBC+∠DCB= 90 度，∠ABD+∠ACD= 50 度； （2）如图②，改变直角三角板 DEF 的位置，使点 D 在△ABC 内，请探究∠ABD+ ∠ACD 与∠A 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板 DEF 的位置，使点 D 在△ABC 外，且在 AB 边的 左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A 三者之间存在的数量关系． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠DBC+ ∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD 的度数； 第 20页（共 20页） （2）根据三角形内角和定义有 90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ ACD=90°﹣∠A． （3）由（1）（2）的解题思路可得：∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A． 【解答】解：（1）在△ABC 中，∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°， 在△DBC 中，∵∠BDC=90°， ∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°， ∴∠ABD+∠ACD=140°﹣90°=50°； 故答案为：140；90；50． （2）∠ABD+∠ACD 与∠A 之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．证明如 下： 在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A． 在△DBC 中，∠DBC+∠DCB=90°． ∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣∠A﹣90°． ∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A． （3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角 形的外角和是 360°，解答的关键是沟通外角和内角的关系．