2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业5函数的单调性与最值含解析苏教版

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2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业5函数的单调性与最值含解析苏教版

课时作业5 函数的单调性与最值 一、选择题 ‎1.(2020·长春质监)下列函数中,在(0,+∞)上单调递减的是( A )‎ A.y=22-x B.y= C.y=log D.y=-x2+2x+a 解析:A中,y=22-x,令t=2-x,∵t=2-x在(0,+∞)上单调递减,∴t∈(-∞,2),y=2t在(-∞,2)上单调递增,∴y=22-x在(0,+∞)上单调递减.B中,y==1-,令t=x+1,∵t=x+1在(0,+∞)上单调递增,∴t∈(1,+∞),y=1-在(1,+∞)上单调递增,∴y=在(0,+∞)上单调递增.C中,y=log=log2x在(0,+∞)上单调递增.D中,y=-x2+2x+a图象的对称轴为直线x=1,所以函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故选A.‎ ‎2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( D )‎ A.(-∞,-2) B.(-∞,1)‎ C.(1,+∞) D.(4,+∞)‎ 解析:由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞).注意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).‎ ‎3.已知函数f(x)=a+log2(x2+a)(a>0)的最小值为8,则( A )‎ A.a∈(5,6) B.a∈(7,8)‎ C.a∈(8,9) D.a∈(9,10)‎ 解析:因为f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=a+log‎2a=8.令g(a)=a+log‎2a-8,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(5)=5+log25-8<0,g(6)=6+log26-8>0,所以a∈(5,6).故选A.‎ ‎4.函数f(x)=的单调递增区间是( C )‎ A.(-∞,1) B.(1,+∞)‎ C.(-∞,1),(1,+∞) D.(-∞,-1),(1,+∞)‎ 解析:因为f(x)==-1+,所以f(x)的图象是由y=-的图象沿x 5‎ 轴向右平移1个单位,然后沿y轴向下平移一个单位得到,而y=-的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞);所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1),(1,+∞).故选C.‎ ‎5.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( A )‎ A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)‎ C.f(π)f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).‎ ‎6.若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是( B )‎ A. B.[-6,-4]‎ C.[-3,-2] D.[-4,-3]‎ 解析:由于f(x)为R上的偶函数,因此只需考虑函数f(x)在(0,+∞)上的单调性即可.由题意知函数f(x)在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故-∈[2,3],即a∈[-6,-4].‎ ‎7.函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( D )‎ A.(1,2) B.(-1,2)‎ C.[1,2) D.[-1,2)‎ 解析:函数y===-1,‎ 且在x∈(-1,+∞)时单调递减,在x=2时,y=0;‎ 根据题意x∈(m,n]时,y的最小值为0,所以-1≤m<2.‎ ‎8.(2020·福州质检)已知函数f(x)= 当x∈[m,m+1]时,不等式f(‎2m-x)x+m,即2x>,所以f()>f()>f(),‎ 即b>a>c,故选A.‎ 二、填空题 ‎10.函数f(x)=(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于.‎ 解析:f(x)=在[2,5]上是减函数,所以最大值为f(2)=1,最小值为f(5)=,f(2)+f(5)=.‎ ‎11.设函数f(x)=的最小值为2,则实数a的取值范围是[3,+∞).‎ 解析:当x≥1时,f(x)≥2,当x<1时,f(x)>a-1.由题意知a-1≥2,所以a≥3.‎ ‎12.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为a>b>c.‎ 解析:∵f(x)在R上是奇函数,‎ ‎∴a=-f=f=f(log25).‎ 又f(x)在R上是增函数,‎ 且log25>log24.1>log24=2>20.8,‎ ‎∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),∴a>b>c.‎ ‎13.(2020·济南模拟)已知函数f(x)= 若f(x)的最小值为f(1),则实数a的取值范围是[2,+∞).‎ 解析:由题意可知要保证f(x)的最小值为f(1),需满足解得a≥2.‎ 三、解答题 ‎14.已知函数f(x)=-(a>0,x>0).‎ ‎(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;‎ ‎(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.‎ 解:(1)证明:设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,‎ 因为f(x2)-f(x1)=- ‎=-=>0,‎ 所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎(2)因为f(x)在上的值域是,‎ 又由(1)得f(x)在上是单调增函数,‎ 5‎ 所以f=,f(2)=2,解得a=.‎ ‎15.(2020·河南南阳月考)设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)= ‎(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;‎ ‎(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.‎ 解:(1)∵f(-1)=0,∴b=a+1.‎ 由f(x)≥0恒成立,知a>0且方程ax2+bx+1=0中Δ=b2-‎4a=(a+1)2-‎4a=(a-1)2≤0,‎ ‎∴a=1,b=2.‎ 从而f(x)=x2+2x+1.∴F(x)= ‎(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,‎ ‎∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,‎ 由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-≤-2或-≥2,得k≤-2或k≥6.‎ 即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).‎ ‎16.(2020·陕西西安八校联考)如果定义在R上的奇函数y=f(x),对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x‎1f(x1)+x‎2f(x2)>x‎1f(x2)+x‎2f(x1),则称函数y=f(x)为“H函数”.下列函数为“H函数”的是( D )‎ A.f(x)=sinx B.f(x)=ex C.f(x)=x3-3x D.f(x)=x|x|‎ 解析:根据题意,对于任意的不相等实数x1,x2,都有x‎1f(x1)+x‎2f(x2)>x‎1f(x2)+x‎2f(x1)恒成立,则有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,即函数f(x)是定义在R上的增函数,则“H函数”为奇函数且在R上为增函数.对于A,f(x)=sinx为正弦函数,为奇函数但不是增函数,不符合题意;对于B,f(x)=ex为指数函数,不是奇函数,不符合题意;对于C,f(x)=x3-3x为奇函数,但在R上不是增函数,不符合题意;对于D,f(x)=x|x|=为奇函数且在R上为增函数,符合题意.故选D.‎ ‎17.(2020·郑州质量预测)设函数f(x)=2ln(x+)+3x3(-20成立的x的取值范围是( B )‎ A.(-1,1) B.(,1)‎ C.(,1) D.(,)‎ 解析:因为f(x)=2ln(x+)+3x3,-20可转化为f(2x)>-f(4x-3)=f(3-4‎ 5‎ x),则由题意,得解得0,试确定a的取值范围.‎ 解:(1)由x+-2>0,得>0,‎ 当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞);‎ 当a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1};‎ 当01+}.‎ ‎(2)设g(x)=x+-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g′(x)=1-=>0恒成立,‎ 所以g(x)=x+-2在[2,+∞)上是增函数.‎ 所以f(x)=lg在[2,+∞)上是增函数.‎ 所以f(x)=lg在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg.‎ ‎(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,‎ 即x+-2>1对任意x∈[2,+∞)恒成立.‎ 所以a>3x-x2,令h(x)=3x-x2,‎ 而h(x)=3x-x2=-2+在[2,+∞)上是减函数,所以h(x)max=h(2)=2,所以a>2.‎ 即a的取值范围为(2,+∞).‎ 5‎
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