【数学】2019届一轮复习浙江专版第二章不等式学案

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【数学】2019届一轮复习浙江专版第二章不等式学案

第二章Error!不等式 第一节 不等关系与不等式 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔a＞b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b＜0⇔a＜b. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a>b>0⇒n a > n b(n∈N，n≥2)． [小题体验] 1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d； (2)a＞b＞0，c>d>0⇒ac________bd； (3)a＞b＞0⇒3 a________3 b. 答案：(1)＞　(2)>　(3)＞ 2. 2＋ 7， 3＋ 6的大小关系为____________． 答案： 2＋ 7< 3＋ 6 3．若 00，则b＋c a＋c与a＋c b＋c的大小关系为________． 答案：b＋c a＋c>a＋c b＋c 1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 a≤b，bb⇒ac2>bc2；若 无 c≠0 这个条件，a>b⇒ac2>bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)． [小题纠偏] 1．设 a，b，c∈R，且 a>b，则(　　) A．ac>bc　 B.1 a<1 b　 　 C．a2>b2　 　 D. a3>b3 答案：D 2．“a>b>0”是“ 1 a2< 1 b2”的________条件． 答案：充分不必要 考点一　比较两个数(式)的大小(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 1．已知 x∈R，m＝(x＋1)(x2＋x 2＋1)，n＝(x＋1 2 )(x2＋x＋1)，则 m，n 的大小关系为(　　) A．m≥n　　　　　　　　　 B．m＞n C．m≤n D．m＜n 答案：B 2．若 a＝ln 2 2 ，b＝ln 3 3 ，则 a____b(填“＞”或“＜”)． 解析：易知 a，b 都是正数，b a＝2ln 3 3ln 2＝log89＞1，所以 b＞a. 答案：＜ 3．已知等比数列{a n}中，a 1 ＞0，q＞0，前 n 项和为 S n ，则S3 a3与S5 a5的大小关系为 ________． 解析：当 q＝1 时，S3 a3＝3，S5 a5＝5，所以S3 a3＜S5 a5. 当 q＞0 且 q≠1 时， S3 a3－S5 a5＝ a1(1－q3) a1q2(1－q)－ a1(1－q5) a1q4(1－q) ＝q2(1－q3)－(1－q5) q4(1－q) ＝ －q－1 q4 ＜0， 所以S3 a3＜S5 a5.综上可知S3 a3＜S5 a5. 答案：S3 a3＜S5 a5 [谨记通法] 比较两实数(式)大小的 2 种常用方法 作差法 其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论．用作差法比较大小的 关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变 形方法 作商法 判断商与 1 的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与 1 的大小确定 后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时 最容易漏掉的关键步骤 考点二　不等式的性质(重点保分型考点——师生共研) [典例引领] 1．已知 a，b，c 满足 c0 C.b2 c >a2 c D．a－c ac <0 解析：选 C　由 c0，不一定能成立的是 C. 2．(2018·嘉兴模拟)若 a，b 为正实数，且 a≠1，b≠1，则“a>b>1”是“loga2b>1 时 ， loga2 － logb2 ＝ ln 2 ln a－ ln 2 ln b＝ ln 2(ln b－ln a) ln a·ln b <0 ， 所 以 loga2b>1 不成立．故“a>b>1”是“loga2b，则 ac2>bc2 B．若 aab>b2 C．若 aa b 解析：选 B　A 选项需满足 c≠0；取 a＝－2，b＝－1 知选项 C、D 错误．故选 B. 考点三　不等式性质的应用(重点保分型考点——师生共研) [典例引领] 1 ． (2018· 嘉 兴 期 末 ) 已 知 － 10，b>0，求证：a＋b＋2≥2( a＋ b)． 证明：a＋b＋2－2( a＋ b)＝( a－1)2＋( b－1)2≥0， 所以 a＋b＋2≥2( a＋ b)． 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．设 a，b∈[0，＋∞)，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系是(　　) A．A≤B　　　　　　　 B．A≥B C．A＜B D．A＞B 解析：选 B　由题意得，B2－A2＝－2 ab≤0，且 A≥0，B≥0，可得 A≥B. 2．若 a1 a B.1 a>1 b C．|a|>|b| D．a2>b2 解析：选 A　取 a＝－2，b＝－1，则 1 a－b>1 a不成立． 3．(2018·杭州二中月考)a(a－b)>0 是b a<1 成立的(　　) A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C　b a<1⇔b a－1<0⇔b－a a <0⇔a－b a >0⇔a(a－b)>0，所以 a(a－b)>0 是b a<1 成立 的充要条件，故选 C. 4．(2018·金华模拟)设 a，b∈R，若 a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是(　　) A．b－a＞0 B.a3＋b3＜0 C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0 解析：选 D　利用赋值法，令 a＝1，b＝0，排除 A、B、C，选 D. 5．b g 糖水中有 a g 糖(b＞a＞0)，若再添 m g 糖(m＞0)，则糖水变甜了．试根据这一事 实，提炼出一个不等式____________． 答案：a b＜a＋m b＋m 二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知 a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是(　　) A．MN C．M＝N D．不确定 解析：选 B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即 M－N>0.∴M >N. 2．若1 a<1 b<0，给出下列不等式：① 1 a＋b< 1 ab；②|a|＋b>0；③a－1 a>b－1 b；④ln a2>ln b2. 其中正确的不等式的序号是(　　) A．①④ B.②③ C．①③ D．②④ 解析：选 C　法一：因为1 a<1 b<0，故可取 a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所 以②错误；因为 ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排 除 A、B、D，故选 C. 法二：由1 a<1 b<0，可知 b0，所以 1 a＋b< 1 ab，故①正确； ②中，因为 b－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误； ③中，因为 b－1 b>0，所以 a－1 a>b－1 b，故③正确； ④中，因为 ba2>0，而 y＝ln x 在定 义域(0，＋∞)上为增函数，所以 ln b2>ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确。 3．(2018·宁波模拟)设 a，b 是实数，则“a>b>1”是“a＋1 a>b＋1 b”的(　　) A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选 A　因为 a＋ 1 a－(b＋1 b )＝ (a－b)(ab－1) ab ，若 a>b>1，显然 a＋1 a－(b＋1 b )＝ (a－b)(ab－1) ab >0，则充分性成立，当 a＝1 2，b＝2 3时，显然不等式 a＋1 a>b＋1 b成立，但 a>b>1 不成立，所以必要性不成立． 4．若 m＜0，n＞0 且 m＋n＜0，则下列不等式中成立的是(　　) A．－n＜m＜n＜－m B.－n＜m＜－m＜n C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m 解析：选 D　法一：(取特殊值法)令 m＝－3，n＝2 分别代入各选项检验即可． 法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于 m＜0＜n，故 m＜－n＜n＜－m 成立． 5．设 a<0，b<0，则 p＝b2 a ＋a2 b 与 q＝a＋b 的大小关系是(　　) A．p>q B.p≥q C．pa>ab，则实数 b 的取值范围是__________． 解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0， 当 a>0 时，b2>1>b， 即Error!解得 b<－1； 当 a<0 时，b2<1x2} {xx ≠ － b 2a} R 一元二次不等式 ax2＋ bx＋c＜0 (a＞0)的解 集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [小题体验] 1．设集合 A＝{x|13}， 所以 A∩∁RB＝(3,4)． 2．(教材习题改编)不等式－x2＋2x－3＞0 的解集为________． 答案：∅ 3．不等式 ax2＋abx＋b>0 的解集为{x|20，求解时不要忘记讨论 a＝0 时的情形． 2．当 Δ<0 时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为 R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． [小题纠偏] 1．不等式x－3 x－1≤0 的解集为(　　) A．{x|x＜1 或 x≥3} B.{x|1≤x≤3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1＜x＜3} 解析：选 C　由x－3 x－1≤0，得Error! 解得 1＜x≤3. 2．若不等式 mx2＋2mx＋1>0 的解集为 R，则 m 的取值范围是________． 解析：①当 m＝0 时，1>0 显然成立． ②当 m≠0 时，由条件知Error!得 00 时，原不等式 等价于－2x－x≤2，∴x>0.综上所述，原不等式的解集为{xx ≥ －1 2}. 答案：{xx ≥ －1 2} 2．不等式2x＋1 x－5 ≥－1 的解集为________． 解析：将原不等式移项通分得3x－4 x－5 ≥0， 等价于Error!解得 x＞5 或 x≤4 3. 所以原不等式的解集为Error!. 答案：Error! 3．解下列不等式： (1)(易错题)－3x2－2x＋8≥0； (2) x＋5 (x－1)2 ≥2. 解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤4 3， 所以原不等式的解集为Error!. (2)不等式等价于Error! 即Error! 解得－1 2≤x<1 或 1a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为 12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－a 4，x2＝a 3. 当 a>0 时，不等式的解集为(－∞，－a 4)∪(a 3，＋∞)； 当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当 a<0 时，不等式的解集为(－∞，a 3)∪(－a 4，＋∞). 考点三　一元二次不等式恒成立问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向] 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题 时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问 题，常根据二次函数图象与 x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范 围． 常见的命题角度有： (1)形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围； (2)形如 f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数的范围； (3)形如 f(x)≥0(参数 m∈[a，b])确定 x 的范围．　　　 　 [题点全练] 角度一：形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 1．若不等式 2kx2＋kx－3 8<0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为(　　) A．(－3,0)　　　　　　　 B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0] 解析：选 D　当 k＝0 时，显然成立； 当 k≠0 时，即一元二次不等式 2kx2＋kx－3 8<0 对一切实数 x 都成立，则Error!解得－ 30 恒成立⇔Error! 若 f(x)<0 恒成立⇔Error! 若在分离参数时会 遇到讨论参数与变 量，使求函数的最值 比较麻烦，或者即使 能容易分离出却难 以求出时 (如“题点全练”第 3 题) [演练冲关] 1．(2018·台州模拟)不等式 a 2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的 a，b∈R 恒成立，则实数 λ 的 取值范围为________． 解析：因为 a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的 a，b∈R 恒成立， 所以 a2＋8b2－λb(a＋b)≥0 对于任意的 a，b∈R 恒成立，即 a2－λba＋(8－λ)b2≥0 恒成 立， 由二次不等式的性质可得， Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4] 2．设函数 f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于 x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5 恒成立，求 m 的 取值范围． 解：要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立， 则 mx2－mx＋m－6＜0， 即 m(x－1 2 )2＋3 4m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立． 因为 x2－x＋1＝(x－1 2 )2＋3 4＞0， 又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所以 m＜ 6 x2－x＋1. 因为函数 y＝ 6 x2－x＋1＝ 6 (x－1 2 )2＋3 4 在[1,3]上的最小值为6 7，所以只需 m＜6 7即可． 因为 m≠0，所以 m 的取值范围是(－∞，0)∪(0，6 7 ). 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．设集合 A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合 B 为函数 y＝ 1 x－1 的定义域，则 A∩B 等于(　　) A．(1,2)　　　　　　　　　 B．[1,2] C．[1,2) D．(1,2] 解析：选 D　A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}， 由 x－1>0 得 x>1，即 B＝{x|x>1}， 所以 A∩B＝{x|10 的解集为{x|－3＜x＜－2}． 答案：{x|－3＜x＜－2} 4．(2018·金华十校联考)若不等式 2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围为___________． 解析：原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)＜0. 令 f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)(－2≤m≤2)． 则Error! 解得 －1＋ 7 2 ＜x＜1＋ 3 2 ， 故 x 的取值范围为(－1＋ 7 2 ，1＋ 3 2 ). 答案：(－1＋ 7 2 ，1＋ 3 2 ) 5．(2018·湖州五校联考)已知实数 x，y 满足 x2＋2y2＋1 2≤x(2y＋1)，则 x＝________，y＝ ________，2x＋log2y＝________. 解析：法一：由已知得 2x2＋4y2－4xy－2x＋1≤0，即(x－1)2＋(x－2y)2≤0，所以Error! 解得 x＝1，y＝1 2，2x＋log2y＝2＋log2 1 2＝2－1＝1. 法二：由已知得，关于 x 的不等式 x2－(2y＋1)x＋2y2＋1 2≤0(*)有解，所以 Δ＝[－(2y＋ 1)]2－4(2y2＋1 2)≥0，即 Δ＝－(2y－1)2≥0，所以 2y－1＝0，即 y＝1 2，此时不等式(*)可化为 x2 －2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，所以 x＝1,2x＋log2y＝2＋log2 1 2＝2－1＝1. 答案：1　1 2　1 二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知不等式 x2－2x－3＜0 的解集为 A，不等式 x2＋x－6＜0 的解集为 B，不等式 x2＋ ax＋b＜0 的解集为 A∩B，则 a＋b 等于(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．1 C．－1 D．3 解析：选 A　由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜ 2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，则 a＋b＝－3. 2．(2018·丽水五校联考)不等式 x＋ 2 x＋1＞2 的解集是(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　　 B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选 A　法一：x＋ 2 x＋1＞2⇔x－2＋ 2 x＋1＞0⇔x(x－1) x＋1 ＞0⇔x(x－1)(x＋1)＞0⇔ － 1＜x＜0 或 x＞1. 故原不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 法二：验证，x＝－2，1 2不满足不等式，排除 B、C、D. 3．(2018·丽水五校联考)设函数 f(x)＝Error!若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于 x 的不 等式 f(x)≤1 的解集为(　　) A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B.[－3，－1] C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞) 解析：选 C　因为 f(－4)＝f(0)，所以当 x≤0 时，f(x)的对称轴为 x＝－2，又 f(－2)＝0， 则 f(x)＝Error!不等式 f(x)≤1 的解为[－3，－1]∪(0，＋∞)，故选 C. 4．(2018·宁波四校联考)设二次函数 f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若 f(m)<0，则 f(m－1)的值为 (　　) A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、负数和零都有可能 解析：选 A　设 f(x)＝x2－x＋a＝0 的两个根为 α，β，由 f(m)<0，则 α0，则|α－β|<1，f(m－1)>0， 故选 A. 5．若不等式 x2－(a＋1)x＋a≤0 的解集是[－4,3]的子集，则 a 的取值范围是(　　) A．[－4,1] B.[－4,3] C．[1,3] D．[－1,3] 解析：选 B　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当 a<1 时，不等式的解集为[a,1]，此时只要 a≥－4 即可，即－4≤a<1；当 a＝1 时，不等式的解为 x＝1，此时符合要求；当 a>1 时，不 等式的解集为[1，a]，此时只要 a≤3 即可，即 10，即 a2>16. ∴a>4 或 a<－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞) 7．若关于 x 的不等式 ax＞b 的解集为(－∞，1 5)，则关于 x 的不等式 ax2＋bx－4 5a＞0 的 解集为________． 解析：由已知 ax＞b 的解集为(－∞，1 5)，可知 a＜0，且b a＝1 5，将不等式 ax2＋bx－4 5a＞ 0 两边同除以 a，得 x2＋b ax－4 5＜0，即 x2＋1 5x－4 5＜0，即 5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜4 5，故 所求解集为(－1，4 5). 答案：(－1，4 5) 8．(2018·萧山月考)不等式 x2＋ax＋b>0(a，b∈R)的解集为Error!，若关于 x 的不等式 x2 ＋ax＋b0(a，b∈R)的解集为Error!， 所以 x2＋ax＋b＝(x＋ 1 2a)2＝0， 那么不等式 x2＋ax＋b＜c， 即 (x＋ 1 2a)20； (2)若不等式 f(x)>b 的解集为(－1,3)，求实数 a，b 的值． 解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6， ∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3， ∴原不等式可化为 a2－6a－3<0， 解得 3－2 3b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0 的两根为－1,3， 等价于Error!解得Error! 10．关于 x 的不等式Error!的整数解的集合为{－2}，求实数 k 的取值范围． 解：由 x2－x－2＞0 可得 x＜－1 或 x＞2. ∵Error!的整数解为 x＝－2， 又∵方程 2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0 的两根为－k 和－5 2. ①若－k＜－5 2， 则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}； ②若－5 2＜－k，则应有－2＜－k≤3.∴－3≤k＜2. 综上，所求 k 的取值范围为[－3,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．若关于 x 的不等式 x2－4x－2－a>0 在区间(1,4)内有解，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) 解析：选 A　不等式 x2－4x－2－a>0 在区间(1,4)内有解等价于 a<(x2－4x－2)max，令 g(x) ＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)a 的解法： 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|a {x|x > a或x < －a} {x|x ∈ R且x ≠ 0} R (2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. [小题体验] 1．不等式|2x－1|＞3 的解集为________． 答案：{x|x＜－1 或 x＞2} 2．不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集为________． 答案：{x|x ≥ 1} 3．函数 y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________． 解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 即函数 y 的最小值为 8. 答案：8 1．对形如|f(x)|>a 或|f(x)||a－b|　　　　　　 B．|a＋b|<|a－b| C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b| 解析：选 B　∵ab<0， ∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|. 2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值范围是________． 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案：[－2,4] 考点一　绝对值不等式的解法(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 1．若不等式|kx－4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3}，则实数 k＝________. 解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 答案：2 2．解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6. 解：法一：当 x>1 2时，原不等式转化为 4x≤6⇒1 21 的解集． 解：(1)由题意得 f(x)＝Error! 故 y＝f(x)的图象如图所示． (2)由 f(x)的函数表达式及图象可知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝1 3或 x＝5. 故 f(x)>1 的解集为{x|11 的解集为Error!. [谨记通法] 解绝对值不等式的基本方法 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通 不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 考点二　绝对值不等式的证明(重点保分型考点——师生共研) [典例引领] 已知函数 f(x)＝|x－1 2 |＋|x＋1 2 |，M 为不等式 f(x)<2 的解集． (1)求 M； (2)证明：当 a，b∈M 时，|a＋b|<|1＋ab|. 解：(1)f(x)＝Error! 当 x≤－1 2时， 由 f(x)<2 得－2x<2，解得 x>－1； 当－1 2a 恒成立⇔f(x)min＞a. [即时应用] (2018·浙江七校联考)已知函数 f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式 f(x)<4－|x－1|； (2)已知 m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤ 1 m＋1 n(a>0)恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：(1)不等式 f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4. 当 x<－2 3时，即－3x－2－x＋1<4， 解得－5 41 时，即 3x＋2＋x－1<4，无解． 综上所述，x∈(－5 4，1 2). (2)1 m＋1 n＝(1 m＋1 n)(m＋n)＝1＋1＋n m＋m n≥4， 当且仅当 m＝n＝1 2时等号成立． 令 g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝ Error! ∴x＝－2 3时，g(x)max＝2 3＋a，要使不等式恒成立， 只需 g(x)max＝2 3＋a≤4，即 0h D．|x－y| >2h 解析：选 B　2h>|x－a|＋|y－a|≥|x－a－(y－a)|＝|x－y|，故选 B. 3．不等式|x＋2|>3x＋14 5 的解集是(　　) A．(－3，－2) B.(－2,0) C．(0,2) D．(－∞，－3)∪(2，＋∞) 解析：选 D　不等式即为 5(x＋2)>3x＋14 或 5(x＋2)<－(3x＋14)，解得 x>2 或 x<－3， 故选 D. 4．不等式|x－1|－|x－5|<2 的解集为____________． 解析：不等式|x－1|－|x－5|<2 等价于 Error!或Error! 或Error! 即Error!或Error!或Error! 故原不等式的解集为{x|x<1}∪{x|1≤x<4}∪∅＝{x|x<4}． 答案：{x|x<4} 5．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集为________． 解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即 x(x－2)<0 的解集，解得 0(|x－1|－|x－2|)max. 因为|x－1|－|x－2|≤|x－1－(x－2)|＝1，故 a>1. 故 a 的取值范围为(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞) 7．设|x－2|0，所以由题意得Error!解得 04 时，令 2x－6≤5，得 40(a>0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不 一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有． 3．在通过求直线的截距z b的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b>0 时，截距z b取最 大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值；当 b<0 时，截距z b取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值． [小题纠偏] 1．若用阴影表示不等示组Error!所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为 ________． 答案：15° 2．(2017·全国卷Ⅱ)设 x，y 满足约束条件Error!则 z＝2x＋y 的最小值是(　　) A．－15 B.－9 C．1 D．9 解析：选 A　法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的 顶点 A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线 z＝2x＋y 过点 B(－6，－3)时，z 取得最小 值，zmin＝2×(－6)－3＝－15. 法二：易求可行域顶点 A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对 应的 z 的值依次为 1，－15,9，故最小值为－15. 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 1．(易错题)若满足条件Error!的整点(x，y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整 数的点，则整数 a 的值为(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．－2 C．－1 D．0 解析：选 C　不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正 好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个 整点． 2．(2018·金华十校联考)若不等式组Error!表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数 a 的值为________． 解析：若 a≤0，则约束条件表示的平面区域不是三角形区域， 不符合题意；则 a>0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 所示，联立Error! 解得 C( 4 3－2a，4－4a 3－2a)，又 A(4,0) ，B(4 a，0 )， 由题意，得 ( 4 3－2a－4 a)2＋(4－4a 3－2a)2＝4－4 a，解得 a＝4. 答案：4 3．(2018·杭州五校联考)设不等式组Error!所表示的平面区域为 D，则区域 D 的面积为 ________． 解析：如图，画出可行域． 易得 A(4 3，4 3 )，B(0,2)，C(0,4)，∴可行域 D 的面积为1 2×2×4 3＝4 3. 答案：4 3 [谨记通法] 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等 式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊 点异侧的平面区域．如“题组练透”第 1 题易忽视边界． (2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原 点． 考点二　求目标函数的最值(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向] 线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、 平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透． 常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)线性规划中的参数问题．　　　 [题点全练] 角度一：求线性目标函数的最值 1．(2017·全国卷Ⅰ)设 x，y 满足约束条件Error!则 z＝3x－2y 的最小值为________． 解析：画出不等式组Error! 所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线 y＝3 2 x－z 2过点 A 时，在 y 轴上的截距最大，此时 z 最小，由Error!解得 Error! ∴zmin＝－5. 答案：－5 角度二：求非线性目标函数的最值 2．(2018·温州模拟)若实数 x，y 满足约束条件Error!则约束条件内的 y 的最大值为 ________，目标函数y＋1 x＋2的取值范围为________． 解析：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， 由Error! 可知 A(1 2，3 2 )，所以 y 的最大值为3 2.易知y＋1 x＋2的几何意义是可行域内的点与点(－2，－1) 所在直线的斜率，(2,0)与(－2，－1)两点连线的斜率为1 4，所以y＋1 x＋2的最小值为1 4，由图可知y＋1 x＋2 的最大值为直线 x－y＋1＝0 的斜率 1，所以y＋1 x＋2的取值范围为[1 4，1 ]. 答案：3 2　[1 4，1 ] 角度三：线性规划中的参数问题 3．(2018·温州七校联考)设 x，y 满足约束条件Error!若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0) 的最大值为 6，则1 a＋2 b的最小值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．4 解析：选 B　不等式表示的平面区域为如图所示阴影部分，当直线 ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线 x－y＋2＝0 与直线 4x－y－4＝0 的交点 (2,4)时，目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值 6，即 2a＋4b＝6， 即 a＋2b＝3，∴1 a＋2 b＝(1 a＋2 b )·a＋2b 3 ＝5 3＋1 3(2b a ＋2a b )≥5 3＋4 3＝3，当且 仅当2b a ＝2a b ，即 a＝b＝1 时取等号，故选 B. [通法在握] 1．求目标函数的最值 3 步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点 的那一条直线； (2)平移——将 l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的 3 类目标函数 (1)截距型：形如 z＝ax＋by. 求这类目标函数的最值常将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－a bx＋z b，通过求 直线的截距z b的最值间接求出 z 的最值． (2)距离型：形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2. (3)斜率型：形如 z＝y－b x－a. [提醒]　注意转化的等价性及几何意义． [演练冲关] 1．已知实数 x，y 满足Error!则 z＝3x－y 的取值范围为(　　) A.[0，12 5 ]　　　　　　　　 B．[0,2] C.[2，12 5 ] D．[2，8 3 ] 解析：选 A　画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部 分)及直线 3x－y＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点 A(1,3)(该点是直线 x－y＋2＝ 0 与 x＋y－4＝0 的交点)时，相应直线在 x 轴上的截距达到最小，此时 z＝3x－y 取得最小值 3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点 B(8 5，12 5 )(该点是直线 4x－y－4＝0 与 x＋y－4 ＝0 的交点)时，相应直线在 x 轴上的截距达到最大，此时 z＝3x－y 取得最大值 3×8 5－12 5 ＝12 5 ， 因此 z 的取值范围是[0，12 5 ]，选 A. 2．已知实数 x，y 满足Error!若 z＝kx－y 的最小值为－5，则实数 k 的值为(　　) A．－3 B.3 或－5 C．－3 或－5 D．±3 解析：选 D　不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及 其内部，当 z 取得最小值时，直线 y＝kx－z 在 y 轴上的截距最大，当 k≤1 时，目标函数直 线经过点(1,2)时，zmin＝k－2＝－5，k＝－3 适合；当 k＞1 时，目标函数直线经过点(－2，－ 1)时，zmin＝－2k＋1＝－5，k＝3 适合，故 k＝±3，选项 D 正确． 3．已知实数 x，y 满足约束条件Error!则 z＝x2＋y2 的取值范围为(　　) A．[1,13] B.[1,4] C.[4 5，13] D．[4 5，4 ] 解析：选 C　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得 z＝x2＋y2 的最小值 为点 O 到直线 BC：2x－y＋2＝0 的距离的平方，z min＝4 5，最大值为点 O 与点 A(－2,3)的距 离的平方，zmax＝|OA|2＝13. 考点三　线性规划的实际应用(重点保分型考点——师生共研) [典例引领] (2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件 产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg， 乙材料 0.3 kg，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产 产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为________元． 解析：设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，由已知可得约束条件为 Error!即Error! 目标函数为 z＝2 100x＋900y， 由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分． 作直线 2 100x＋900y＝0，即 7x＋3y＝0，当直线经过点 M 时，z 取得最大值，联立Error! 解得 M(60,100)． 则 zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [由题悟法] 1．解线性规划应用题 3 步骤 (1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题； (3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的 3 个注意点 (1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x，y 的取值范围，特别注意分析 x， y 是否是整数、是否是非负数等． (3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [即时应用] 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种 植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 每亩年产量 每亩年种植成本 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入—总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种 植面积(单位：亩)分别为(　　) A．50,0　　　　　　　　　 B．30,20 C．20,30 D．0,50 解析：选 B　设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x，y 亩，则总利润 z＝4×0.55x＋6×0.3y－ 1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时 x，y 满足条件Error! 画出可行域如图，得最优解为 A(30,20)． 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．不等式组Error!所表示的平面区域的面积等于(　　) A.3 2　　　　　　　　　　 B.2 3 C.4 3 D．3 4 解析：选 C　平面区域如图所示． 解Error!得 A(1,1)， 易得 B(0,4)，C(0，4 3 )， |BC|＝4－4 3＝8 3. 所以 S△ABC＝1 2×8 3×1＝4 3. 2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(　　) 解析：选 C　(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔ Error!或Error!画出图形可知选 C. 3．设变量 x，y 满足Error!则目标函数 z＝2x＋3y 的最大值为(　　) A．7 B.8 C．22 D．23 解析：选 D　由约束条件Error!作出可行域如图中阴影部分， 由Error!解得Error!则 B(4,5)，将目标函数 z＝2x＋3y 变形 为 y＝－2 3x＋z 3. 由图可知，当直线 y＝－2 3x＋z 3过 B 时，直线在 y 轴上的截 距最大，此时 z 取最大值，为 2×4＋3×5＝23. 4．点(－2，t)在直线 2x－3y＋6＝0 的上方，则 t 的取值范围是________． 解析：因为直线 2x－3y＋6＝0 的上方区域可以用不等式 2x－3y＋6＜0 表示，所以由点 (－2，t)在直线 2x－3y＋6＝0 的上方得－4－3t＋6＜0，解得 t＞2 3. 答案：(2 3，＋∞) 5．已知实数 x，y 满足Error!则 z＝x＋3y 的最小值为________． 解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线 x＋3y＝0，如图，平 移直线 y＝－x 3，当直线经过点(4，－4)时，在 y 轴上的截距达到最 小，此时 z＝x＋3y 取得最小值 4＋3×(－4)＝－8. 答案：－8 二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2018·金华四校联考)已知实数 x，y 满足Error!如果目标函 数 z＝x－y 的最小值为－1，则实数 m 等于(　　) A．7 B.5 C．4 D．3 解析：选 B　画出 x，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线 y＝2x－1 与直线 x ＋y＝m 的交点使目标函数 z＝x－y 取得最小值，由Error!解得 x＝ m＋1 3 ，y＝2m－1 3 ，代入 x－y＝－1，得m＋1 3 －2m－1 3 ＝－1，∴m＝5.选 B. 2．在平面直角坐标系中，若不等式组Error!(a 为常数)所表示的平 面区域的面积等于 2，则 a 的值为(　　) A．－5 B.1 C．2 D．3 解析：选 D　因为 ax－y＋1＝0 的直线恒过点(0,1)，故看作直线 绕点(0,1)旋转，不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分△ABC. 由题意可求得 A(0,1)，B(1,0)，C(1，a＋1)， ∵S△ABC＝2，BC＝|a＋1|，BC 边上的高为 AD＝1， ∴S△ABC＝1 2×|a＋1|×1＝2，解得 a＝－5 或 3， ∵当 a＝－5 时，可行域不是一个封闭区域， 当 a＝3 时，满足题意，选 D. 3．(2017·浙江新高考研究联盟)过点 P(－1,1)的光线经 x 轴上点 A 反射后，经过不等式 组Error!所表示的平面区域内某点(记为 B)，则|PA|＋|AB|的取值范围是(　　) A．(2 2，5) B.[2 2，5] C．[2,5] D．[2 2，5) 解析：选 B　不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 点 P 关于 x 轴的对称点为 P1(－1，－1)，|PA|＋|AB|＝|P1B|，过点 P1 作直线 x＋y－2＝0 的垂线， 则|P1B|的最小值为|－1－1－2| 2 ＝2 2. 由Error!得 B0(2,3)， 则|P1B|的最大值为|P1B0|＝ (2＋1)2＋(3＋1)2＝5. 故 2 2≤|PA|＋|AB|≤5. 4．(2018·浙江东部六校联考)实数 x，y 满足Error!(a＜1)，且 z＝2x＋y 的最大值是最小 值的 4 倍，则 a 的值是(　　) A. 2 11 B.1 4 C.1 2 D．11 2 解析：选 B　如图所示，平移直线 2x＋y＝0，可知在点 A(a，a)处 z 取最小值，即 zmin＝ 3a，在点 B(1,1)处 z 取最大值，即 zmax＝3，所以 12a＝3，即 a＝1 4. 5．(2018·余杭地区部分学校测试)若函数 y＝f(x)的图象上的任意一点 P 的坐标为(x，y)， 且满足条件|x|≥|y|，则称函数 f(x)具有性质 S，那么下列函数中具有性质 S 的是(　　) A．f(x)＝ex－1 B.f(x)＝ln(x＋1) C．f(x)＝sin x D．f(x)＝|x2－1| 解析：选 C　作出不等式|x|≥|y|所表示的平面区域如图中阴影部 分所示，若函数 f(x)具有性质 S，则函数 f(x)的图象必须完全分布在阴影 区域①和②部分，易知 f(x)＝ex－1 的图象分布在区域①和③部分，f(x) ＝ln(x＋1)的图象分布在区域②和④部分，f(x)＝sin x 的图象分布在区 域①和②部分，f(x)＝|x2－1|的图象分布在①、②和③部分，故选 C. 6．(2018·湖州五校联考)设 x，y 满足约束条件Error!且目标函数 z＝x＋ky－2(k>1)的最 大值小于 0，则实数 k 的取值范围为________． 解析：目标函数可变形为 y＝－1 kx＋z＋2 k .由于 k>1，所以－1<－1 k<0，不等式组表示的平 面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的几何意义，只有直线 y ＝－1 kx＋z＋2 k 在 y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然 在点 A 处取得最大值，由Error!得交点 A( 1 1＋k， k 1＋k)，所以目标函 数的最大值 1 1＋k＋ k2 1＋k－2<0，即 k2－2k－1<0，解得 1－ 21，所以实数 k 的取值范围为(1,1＋ 2)． 答案：(1,1＋ 2) 7．(2018·金丽衢十二校联考)若实数 x，y 满足Error!则y＋1 x＋1的取值范围是________． 解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示， y＋1 x＋1的几何意义为可行域内一点(x，y)与点(－1，－1)连线的斜率，故 由图可知，(y＋1 x＋1 )min＝0＋1 3＋1＝1 4，(y＋1 x＋1 )max＝3＋1 4＋1＝4 5，故y＋1 x＋1 的取值范围为[1 4，4 5 ]. 答案：[1 4，4 5 ] 8．(2018·西安质检)若变量 x，y 满足Error!则 2x＋y 的取值范围为________． 解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直 线 2x＋y＝0，经过点(1,0)时，2x＋y 取得最大值 2×1＋0＝2，经过点(－1,0) 时，2x＋y 取得最小值 2×(－1)＋0＝－2，所以 2x＋y 的取值范围为[－2,2]． 答案：[－2,2] 9．已知 D 是以点 A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域 (包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域 D 的不等式组． (2)设点 B(－1，－6)，C(－3,2)在直线 4x－3y－a＝0 的异侧，求 a 的取值范围． 解：(1)直线 AB，AC，BC 的方程分别为 7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0. 原点(0,0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为Error! (2)根据题意有 [4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0， 即(14－a)(－18－a)＜0， 解得－18＜a＜14. 故 a 的取值范围是(－18,14)． 10．若 x，y 满足约束条件Error! (1)求目标函数 z＝1 2x－y＋1 2的最值； (2)若目标函数 z＝ax＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求 a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得 A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)． 平移初始直线 1 2x－y＋1 2＝0，过 A(3,4)取最小值－2， 过 C(1,0)取最大值 1. 所以 z 的最大值为 1， 最小值为－2. (2)直线 ax＋2y＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－ a 2＜2，解得－4＜a＜2. 故所求 a 的取值范围为(－4,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．设 x，y 满足条件Error!若目标函数 z＝y＋3 x 的最小值为 1，则 a 的值为________． 解析：可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z＝y＋3 x 可看作是过 点(0，－3)与可行域内一点(x，y)的直线的斜率． 从可行域可看出，过点 A 时斜率最小，即0－(－3) 3a－0 ＝1，∴a＝1. 答案：1 2．某工厂投资生产 A 产品时，每生产一百吨需要资金 200 万元，需场地 200 m2，可获 利润 300 万元；投资生产 B 产品时，每生产一百吨需要资金 300 万元，需场地 100 m2，可获 利润 200 万元．现某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900 m2，问：应做怎样的组合投资， 可使获利最大？ 解：先将题中的数据整理成下表，然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数. 资金(百万元) 场地(百平方米) 利润(百万元) A 产品(百吨) 2 2 3 B 产品(百吨) 3 1 2 限制 14 9 设生产 A 产品 x 百吨，生产 B 产品 y 百吨，利润为 S 百万元， 则约束条件为Error! 目标函数 S＝3x＋2y.作出可行域如图阴影部分所示，将目标函 数 S＝3x＋2y 变形为 y＝－3 2x＋S 2，这是斜率为－3 2，随 S 变化而变化 的一组平行直线． S 2是直线在 y 轴上的截距． 由图知，使 3x＋2y 取得最大值的(x，y)是直线 2x＋y＝9 与 2x＋3y＝14 的交点 (3.25,2.50)， 此时 S＝3×3.25＋2×2.50＝14.75. ∴生产 A 产品 325 吨，生产 B 产品 250 吨时，获利最大，且最大利润为 1 475 万元． 第五节 基本不等式 1．基本不等式 ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b. 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；(2)b a＋a b≥2(a，b 同号)； (3)ab≤(a＋b 2 )2(a，b∈R)；(4)(a＋b 2 )2≤a2＋b2 2 (a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设 a＞0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋b 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记：积定和最 小)． (2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是q2 4 (简记：和定积最大)． [小题体验] 1．(教材习题改编)设 x，y∈R＋，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为________． 答案：81 2．若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x2＋2y2 的最小值为________． 解析：x2＋2y2＝x2＋( 2y)2≥2x( 2y)＝2 2， 所以 x2＋2y2 的最小值为 2 2. 答案：2 2 1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当 a＝b 时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至 关重要，忽略它往往会导致解题错误． 3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． [小题纠偏] 1．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg(x2＋1 4)＞lg x(x＞0) B．sin x＋ 1 sin x≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D. 1 x2＋1＞1(x∈R) 解析：选 C　对于 A 选项，当 x＝1 2时，lg(x2＋1 4)＝lg x，故 A 不一定正确；B 选项，需 要满足当 sin x＞0 时，不等式才成立，故 B 也不正确；C 选项等价于(|x|－1)2≥0，显然正确； D 选项不正确，∵x2＋1≥1，∴0＜ 1 x2＋1≤1. 2．若 f(x)＝x＋ 1 x－2(x>2)在 x＝n 处取得最小值，则 n 等于(　　) A.5 2　　　　　　　　　 B．3 C.7 2 D．4 答案：B 3．函数 f(x)＝x＋1 x的值域为____________________． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 考点一　利用基本不等式求最值(重点保分型考点——师生共研) [典例引领] 1．(2018·浙江六校联考)已知 x>0，y>0，且 x＋y＋1 x＋1 y＝5，则 x＋y 的最大值是(　　) A．3　　　　　　　　　　 B.7 2 C．4 D．9 2 解析：选 C　由 x＋y＋1 x＋1 y＝5， 得 5＝x＋y＋x＋y xy ， ∵x＞0，y＞0， ∴5≥x＋y＋ x＋y (x＋y 2 )2 ＝x＋y＋ 4 x＋y， ∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0， 解得 1≤x＋y≤4， ∴x＋y 的最大值是 4. 2．(2018·金华模拟)已知 x>0，y>0，且 x＋2y＝xy，若 x＋2y－m 2－2m>0 恒成立，则实 数 m 的取值范围是(　　) A．[－4,2) B.(－4,2) C．(－3,3) D．[－3,3] 解析：选 B　由 x>0，y>0，x＋2y＝xy 变形得，2 x＋1 y＝1，所以 x＋2y＝(x＋2y)(2 x＋1 y )＝ 4y x ＋x y＋4≥4＋4＝8，当且仅当4y x ＝x y，即 x＝2y 时等号成立，又2 x＋1 y＝1，得 x＝4，y＝2， 即当 x＝4，y＝2 时，x＋2y 取得最小值，且最小值为 8.由 x＋2y－m2－2m>0 恒成立，得(x＋ 2y)min>m2＋2m，从而 8>m2＋2m，解得－40，b>0，且满足 3a＋b＝a 2＋ab，则 2a＋b 的最小值为 ________． 解析：由 a>0，b>0,3a＋b＝a2＋ab， 可得 b＝a2－3a 1－a >0， 解得 10，解得 00，b>0，a，b 的等比中项是 1，且 m＝b＋1 a，n＝a＋1 b，则 m＋n 的最小值是 (　　) A．3 B.4 C．5 D．6 解析：选 B　由题意知 ab＝1，∴m＝b＋1 a＝2b，n＝a＋1 b＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4 ab ＝4，当且仅当 a＝b＝1 时取等号． 3．(2018·义乌六校统测)a，b∈R，且 2a＋3b＝2，则 4 a＋8b 的最小值是(　　) A．2 6 B.4 2 C．2 2 D．4 解析：选 D　4a＋8b＝22a＋23b≥2 22a＋3b＝4，当且仅当 a＝1 2，b＝1 3时取等号，∴最小 值为 4. 4．把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面 积之和的最小值是(　　) A.3 2 3 cm2 B.4 cm2 C．3 2 cm2 D．2 3 cm2 解析：选 D　设两段长分别为 x cm，(12－x)cm，则 S＝ 3 4 (x 3 )2＋ 3 4 (12－x 3 )2＝ 3 36 [x2＋(12－x)2]≥ 3 36 × (x＋12－x)2 2 ＝2 3，当且仅当 x＝12－x，即 x＝6 时取等号．故两个 正三角形面积之和的最小值为 2 3 cm2. 5．若 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，则 ab＋ 1 ab的最小值为(　　) A．2 B.4 C.17 4 D．2 2 解析：选 C　∵a＋b＝1≥2 ab，∴ab∈(0，1 4 ]，则不能使用基本不等式求最值，根据 函数的单调性，当 ab＝1 4时，ab＋ 1 ab取到最小值，∴最小值为17 4 .选 C. 6．(2018·温州模拟)“a＝ 1 4”是“对任意的正数 x，均有 x＋ a x≥1”的____________条 件． 解析：当 a＝1 4时，对任意的正数 x，x＋a x＝x＋ 1 4x≥2 x· 1 4x＝1.当“对任意的正数 x， 都有 x＋a x≥1”，显然 a＞0，则只要 x＋a x≥2 x·a x＝2 a≥1，∴a≥1 4，∴“a＝1 4”是“对 任意的正数 x，均有 x＋a x≥1”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 7．(2018·金华十校联考)已知实数 x，y，z 满足Error!则 xyz 的最小值为________． 解析：由 xy＋2z＝1，得 z＝1－xy 2 ， 所以 5＝x2＋y2＋(1－xy 2 )2≥2|xy|＋ (1－xy)2 4 ， 即Error!或Error! 解得 0≤xy≤－3＋2 7或 5－2 11≤xy<0， 所以 xyz＝xy·1－xy 2 ＝－1 2(xy－1 2)2＋1 8. 综上，知当 xy＝5－2 11时，xyz 取得最小值 9 11－32. 答案：9 11－32 8．如图，动点 A 在函数 y＝1 x(x<0)的图象上，动点 B 在函数 y＝2 x(x>0)的图象上，过点 A，B 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为 A1，A2，B1，B2，若|A1B1|＝4，则|A2B2|的最小 值为________．　 解析：设 A(a，1 a )，B(b，2 b )，a<0，b>0，因为|A1B1|＝4，所以 b－a＝4， 故|A2B2|＝2 b－1 a＝1 4 [b＋(－a)]·(2 b＋ 1 －a)＝1 4(3＋－2a b ＋ b －a)≥1 4(3＋2 2)，当且仅当 b2＝ 2a2，即 a＝4－4 2，b＝8－4 2时，|A2B2|取得最小值3＋2 2 4 . 答案：3＋2 2 4 9．(1)当 x<3 2时，求函数 y＝x＋ 8 2x－3的最大值； (2)已知 a>b>0，求 a2＋ 16 b(a－b)的最小值． 解：(1)y＝1 2(2x－3)＋ 8 2x－3＋3 2 ＝－(3－2x 2 ＋ 8 3－2x)＋3 2. 当 x<3 2时，有 3－2x>0， ∴3－2x 2 ＋ 8 3－2x≥2 3－2x 2 · 8 3－2x＝4， 当且仅当3－2x 2 ＝ 8 3－2x， 即 x＝－1 2时取等号． 于是 y≤－4＋3 2＝－5 2，故函数的最大值为－5 2. (2)∵b(a－b)≤(b＋a－b 2 )2＝a2 4 ， ∴a2＋ 16 b(a－b)≥a2＋64 a2≥16. 当且仅当Error!即Error!时取等号． 故 a2＋ 16 b(a－b)的最小值为 16. 10．已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x＋y 的最小值． 解：(1)由 2x＋8y－xy＝0，得8 x＋2 y＝1， 又 x＞0，y＞0， 则 1＝8 x＋2 y≥2 8 x·2 y＝ 8 xy ，得 xy≥64， 当且仅当 x＝16，y＝4 时，等号成立． 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x＋8y－xy＝0，得8 x＋2 y＝1， 则 x＋y＝(8 x＋2 y )(x＋y)＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x ＝18. 当且仅当 x＝12 且 y＝6 时等号成立， ∴x＋y 的最小值为 18. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2017·浙江新高考研究联盟联考)已知非负实数 x，y 满足 2x 2＋4xy＋2y2＋x2y2＝9， 则 2 2(x＋y)＋xy 的最大值为________． 解析：由题意，得 2(x＋y)2＋(xy)2＝9， 记 x＋y＝m，xy＝n，mn≥0， 则 2m2＋n2＝9，令Error! ∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≥4xy， ∴m2≥4n，即 ( 3 2sin θ)2≥12cos θ， ∴sin2θ≥8 3cos θ， ∴1－cos2θ≥8 3cos θ，解得 0≤cos θ≤1 3， ∴2 2 3 ≤sin θ≤1. 故 2 2(x＋y)＋xy＝2 2m＋n＝6sin θ＋3cos θ＝3 5sin(θ＋φ)(其中tan φ＝1 2)， 当 sin θ＝2 2 3 ，cos θ＝1 3时，2 2(x＋y)＋xy 取得最大值，最大值为 4 2＋1. 答案：4 2＋1 2．(2018·台州三区适应性测试)设 a>b>c>0，若不等式 loga b2 018＋logb c2 018≥d·loga c2 018 对所有满足题设的 a，b，c 均成立，则实数 d 的最大值是________． 解析：不等式 loga b2 018＋logb c2 018≥d·loga c2 018⇔ lg 2 018 lg a－lg b＋ lg 2 018 lg b－lg c≥d· lg 2 018 lg a－lg c， 即 1 lg a－lg b＋ 1 lg b－lg c≥ d lg a－lg c， 又 a>b>c>0，故 lg a>lg b>lg c， 即 d≤( 1 lg a－lg b＋ 1 lg b－lg c)(lg a－lg c) ＝( 1 lg a－lg b＋ 1 lg b－lg c)·(lg a－lg b＋lg b－lg c) ＝2＋lg b－lg c lg a－lg b＋lg a－lg b lg b－lg c. 又lg b－lg c lg a－lg b＋lg a－lg b lg b－lg c≥2 lg b－lg c lg a－lg b·lg a－lg b lg b－lg c＝2， 当且仅当lg b－lg c lg a－lg b＝lg a－lg b lg b－lg c，即 ac＝b2 时取等号， 故 d≤4，即 dmax＝4. 答案：4 命题点一　不等关系与一元二次不等式 命题指数：☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 1.(2017·山东高考)若 a>b>0，且 ab＝1，则下列不等式成立的是(　　) A．a＋1 b< b 2a1， 因此 a＋1 b>log2(a＋b)> b 2a. 2．(2016·四川高考)设 p：实数 x，y 满足 x＞1 且 y＞1，q：实数 x，y 满足 x＋y＞2，则 p 是 q 的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A　∵Error! ∴x＋y＞2，即 p⇒q. 而当 x＝0，y＝3 时， 有 x＋y＝3＞2，但不满足 x＞1 且 y＞1， 即 q⇒/ p．故 p 是 q 的充分不必要条件． 3．(2014·浙江高考)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且 09 解析：选 C　由题意，不妨设 g(x)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，m∈(0,3]，则 g(x)的三个零点 分别为 x1＝－3，x2＝－2，x3＝－1，因此有(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，则 c－ m＝6，因此 c＝m＋6∈(6,9]． 4．(2016·浙江高考)已知实数 a，b，c，(　　) A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则 a2＋b2＋c2＜100 B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则 a2＋b2＋c2＜100 C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则 a2＋b2＋c2＜100 D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则 a2＋b2＋c2＜100 解析：选 D　对于 A，取 a＝b＝10，c＝－110， 显然|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1 成立， 但 a2＋b2＋c2＞100， 即 a2＋b2＋c2＜100 不成立． 对于 B，取 a2＝10，b＝－10，c＝0， 显然|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1 成立， 但 a2＋b2＋c2＝110， 即 a2＋b2＋c2＜100 不成立． 对于 C，取 a＝10，b＝－10，c＝0， 显然|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1 成立， 但 a2＋b2＋c2＝200， 即 a2＋b2＋c2＜100 不成立． 综上知，A、B、C 均不成立，所以选 D. 命题点二　简单的线性规划问题 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 1.(2017·浙江高考)若 x，y 满足约束条件Error!则 z＝x＋2y 的取值范围是(　　) A．[0,6] B.[0,4] C．[6，＋∞) D．[4，＋∞) 解析：选 D　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由 z＝x＋2y，得 y＝－1 2x＋z 2， ∴z 2是直线 y＝－1 2x＋z 2在 y 轴上的截距，根据图形知，当直线 y＝－1 2x＋z 2过 A 点时，z 2取 得最小值．由Error!得 x＝2，y＝1，即 A(2,1)，此时，z＝4，∴z＝x＋2y 的取值范围是[4，＋ ∞)． 2．(2016·北京高考)已知 A(2,5)，B(4,1)．若点 P(x，y)在线段 AB 上，则 2x－y 的最大值 为(　　) A．－1 B.3 C．7 D．8 解析：选 C　法一：作出线段 AB，如图所示． 作直线 2x－y＝0 并将其向下平移至直线过点 B(4,1)时，2x－y 取最大值为 2×4－1＝7. 法二：依题意得 kAB＝5－1 2－4＝－2， ∴线段 lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2,4]， 即 y＝－2x＋9，x∈[2,4]， 故 2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2,4]． 设 h(x)＝4x－9， 易知 h(x)＝4x－9 在[2,4]上单调递增， 故当 x＝4 时，h(x)max＝4×4－9＝7. 3．(2015·重庆高考)若不等式组Error!表示的平面区域为三角形，且其面积等于4 3，则 m 的值为(　　) A．－3 B.1 C.4 3 D．3 解析：选 B　作出可行域，如图中阴影部分所示， 易求 A，B，C，D 的坐标分别为 A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C 2－4m 3 ，2＋2m 3 ，D(－ 2m,0)． S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝1 2|AD|·|yB－yC| ＝1 2(2＋2m)(1＋m－2＋2m 3 ) ＝(1＋m)(1＋m－2 3 )＝4 3， 解得 m＝1 或 m＝－3(舍去)． 4．(2016·浙江高考)若平面区域Error!夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平 行直线间的距离的最小值是(　　) A.3 5 5 B. 2 C.3 2 2 D． 5 解析：选 B　根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示， 当斜率为 1 的直线分别过 A 点和 B 点时满足条件，联立方程组Error!求得 A(1,2)，联立 方程组Error!求得 B(2,1)，可求得分别过 A，B 两点且斜率为 1 的两条直线方程为 x－y＋1＝ 0 和 x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1| 2 ＝ 2，故选 B. 5．(2016·全国卷Ⅱ)若 x，y 满足约束条件Error!则 z＝x－2y 的最小值为________． 解析：不等式组 Error!表示的可行域如图阴影部分所示． 由 z＝x－2y 得 y＝1 2x－1 2z. 平移直线 y＝1 2x，易知经过点 A(3,4)时，z 有最小值，最小值为 z＝3－2×4＝－5. 答案：－5 6．(2014·浙江高考)当实数 x，y 满足Error!时，1≤ax＋y≤4 恒成立，则实数 a 的取值 范围是________． 解析：由线性规划的可行域( 如图) ，求出三个交点坐标分别为 A(1,0) ，B(2 ，1) ， C(1，3 2 )，都代入 1≤ax＋y≤4，可得 1≤a≤3 2. 答案：[1，3 2 ] 命题点三　基本不等式 命题指数：☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 1.(2015·湖南高考)若实数 a，b 满足1 a＋2 b＝ ab，则 ab 的最小值为(　　) A. 2 B.2 C．2 2 D．4 解析：选 C　由1 a＋2 b＝ ab，知 a＞0，b＞0， 所以 ab＝1 a＋2 b≥2 2 ab，即 ab≥2 2， 当且仅当Error!即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”， 所以 ab 的最小值为 2 2. 2．(2014·重庆高考)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a＋b 的最小值是(　　) A．6＋2 3 B.7＋2 3 C．6＋4 3 D．7＋4 3 解析：选 D　因为 log4(3a＋4b)＝log2 ab， 所以 log4(3a＋4b)＝log4(ab)， 即 3a＋4b＝ab， 且Error!即 a>0，b>0， 所以4 a＋3 b＝1(a>0，b>0)， a＋b＝(a＋b)·(4 a＋3 b )＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3， 当且仅当4b a ＝3a 4 时取等号，故选 D. 3．(2017·天津高考)若 a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1 ab 的最小值为________． 解析：因为 ab>0，所以a4＋4b4＋1 ab ≥2 4a4b4＋1 ab ＝4a2b2＋1 ab ＝4ab＋ 1 ab≥2 4ab· 1 ab＝4， 当且仅当Error!时取等号，故a4＋4b4＋1 ab 的最小值是 4. 答案：4 4．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次， 一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 ________． 解析：由题意，一年购买600 x 次，则总运费与总存储费用之和为600 x ×6＋4x＝4(900 x ＋x) ≥8 900 x ·x＝240，当且仅当 x＝30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是 30. 答案：30 命题点四　绝对值不等式 命题指数：☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题、解答题 1.(2015·山东高考)不等式|x－1|－|x－5|<2 的解集是(　　) A．(－∞，4) B.(－∞，1) C．(1,4) D．(1,5) 解析：选 A　①当 x≤1 时，原不等式可化为 1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴ x≤1. ②当 11 时，若要 f(x)≥|x 2＋a |恒成立，结合图象，只需 x＋2 x≥x 2＋a，即x 2＋2 x≥a.又x 2＋2 x≥2，当且 仅当x 2＝2 x，即 x＝2 时等号成立，所以 a≤2.综上，a 的取值范围是[－47 16，2]. 法二：关于 x 的不等式 f(x)≥|x 2＋a |在 R 上恒成立等价于－f(x)≤a＋x 2≤f(x)， 即－f(x)－x 2≤a≤f(x)－x 2在 R 上恒成立， 令 g(x)＝－f(x)－x 2. 当 x≤1 时，g(x)＝－(x2－x＋3)－x 2＝－x2＋x 2－3 ＝－(x－1 4 )2－47 16， 当 x＝1 4时，g(x)max＝－47 16； 当 x>1 时，g(x)＝－(x＋2 x )－x 2＝－(3x 2 ＋2 x)≤－2 3， 当且仅当3x 2 ＝2 x，且 x>1， 即 x＝2 3 3 时，“＝”成立， 故 g(x)max＝－2 3. 综上，g(x)max＝－47 16. 令 h(x)＝f(x)－x 2， 当 x≤1 时，h(x)＝x2－x＋3－x 2＝x2－3x 2 ＋3 ＝(x－3 4 )2＋39 16， 当 x＝3 4时，h(x)min＝39 16； 当 x>1 时，h(x)＝x＋2 x－x 2＝x 2＋2 x≥2， 当且仅当x 2＝2 x，且 x>1， 即 x＝2 时，“＝”成立， 故 h(x)min＝2. 综上，h(x)min＝2. 故 a 的取值范围为[－47 16，2]. 3．(2016·江苏高考)设 a＞0，|x－1|＜a 3，|y－2|＜a 3，求证：|2x＋y－4|＜a. 证明：因为|x－1|＜a 3，|y－2|＜a 3， 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×a 3＋a 3＝a. 4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝1 时， f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解； 当－10， 解得2 30， 解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1 的解集为{x2 3 < x < 2}. (2)由题设可得 f(x)＝Error! 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A(2a－1 3 ，0)，B(2a＋1,0)， C(a，a＋1)， △ABC 的面积为2 3(a＋1)2. 由题设得2 3(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
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