【数学】2020届一轮复习人教B版9-5古典概型学案

【数学】2020届一轮复习人教B版9-5古典概型学案

第五节　古典概型 古典概型 ‎(1)理解古典概型及其概率计算公式．‎ ‎(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．‎ 知识点　古典概型 古典概型 ‎(1)特点：‎ ‎①试验中所有可能出现的结果个数只有有限个，即有限性．‎ ‎②每个结果发生的可能性相等，即等可能性．‎ ‎(2)概率公式：‎ P(A)＝＝.‎ 易误提醒　(1)在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．‎ ‎(2)概率的一般加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.‎ ‎[自测练习]‎ ‎1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．‎ 故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.‎ 答案：A ‎2．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．‎ 解析：∵P(A)＝，P(B)＝，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.‎ 答案： ‎3．(2018·南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．‎ 解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲、乙，甲、丙，乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为.‎ 答案： ‎4．(2018·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．‎ 解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为＝.‎ 答案： 考点一　古典概型|‎ ‎1．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a，b，使得a2≥4b的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a2≥4b的概率是.‎ 答案：C ‎2．(2018·高考湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．‎ ‎(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；‎ ‎(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．‎ 解：(1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．‎ ‎(2)不正确．理由如下：‎ 由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．‎ 计算古典概型事件的概率可分三步 ‎(1)算出基本事件的总个数n.(2)求出事件A所包含的基本事件个数m.(3)代入公式求出概率P.‎ 考点二　古典概型的交汇命题|‎ 古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．‎ 归纳起来常见的交汇探究角度有：‎ ‎1．古典概型与平面向量相结合．‎ ‎2．古典概型与直线、圆相结合．‎ ‎3．古典概型与函数相结合．‎ ‎4．古典概型与统计相结合．‎ 探究一　古典概型与平面向量相结合 ‎1．已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1,3}，y随机选自集合{1,3,9}．‎ ‎(1)求a∥b的概率；‎ ‎(2)求a⊥b的概率．‎ ‎[解]　(1)由题意，得(x，y)所有的基本事件为(－1，1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个．‎ ‎(1)设“a∥b”为事件A，则xy＝－3.‎ 事件A包含的基本事件有(－1,3)，共1个．‎ 故a∥b的概率为P(A)＝.‎ ‎(2)设“a⊥b”为事件B，则y＝3x.‎ 事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个．‎ 故a⊥b的概率为P(B)＝.‎ 探究二　古典概型与直线、圆相结合 ‎2．(2018·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．‎ 解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，a2≤b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.‎ 答案： 探究三　古典概型与函数相结合 ‎3．设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.‎ ‎(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；‎ ‎(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．‎ 解：(1)f　′(x)＝ax＋b，由题意f′(－1)≤0，即b≤a，而(a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足b≤a的有3种，故概率为.‎ ‎(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．‎ ‎∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，‎ ‎∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，∴概率为.‎ 探究四　古典概型与统计相结合 ‎4．(2018·高考安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求频率分布直方图中a的值；‎ ‎(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．‎ 解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，‎ 所以a＝0.006.‎ ‎(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，‎ 所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.‎ ‎(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；‎ 受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.‎ 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.‎ 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．‎ ‎　　‎ ‎　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎　　9.古典概型综合问题的答题模板 ‎【典例】　(12分)(2018·高考福建卷)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道相供的全网传播2018年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎[4,5)‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎[5,6)‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[6,7)‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎[7,8]‎ ‎3‎ ‎(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；‎ ‎(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．‎ ‎[易误点析]　(1)观察表中数据，先求出样本空间所含的基本事件数，再求出至少有1家的融合指数在[7,8]‎ 内所含的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式，即可求出所求事件的概率；(2)利用频率分布直方图中的平均数的计算方法，即可得结果．‎ ‎[规范解答]　(1)法一：融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．(3分)‎ 其中，至少有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．(6分)‎ 所以所求的概率P＝.(8分)‎ 法二：融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．(3分)‎ 其中，没有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．(6分)‎ 所以所求的概率P＝1－＝.(8分)‎ ‎(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 ‎4．5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.(12分)‎ ‎[模板形成]　‎ ‎↓‎ ‎↓‎ ‎↓‎ ‎↓‎ ‎[跟踪练习]　在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，‎ CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝＝，故选B.‎ 答案：B A组　考点能力演练 ‎1．第22届冬季奥运会于2018年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有2名来自莫斯科国立大学，有4名来自圣彼得堡国立大学，现从这6名志愿者中随机抽取2人，则至少有1名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：从6人中抽取2人的基本事件个数为15，而事件“两名志愿者都来自圣彼得堡国立大学”包含的基本事件个数为6，∴所求概率为P＝1－＝.故选C.‎ 答案：C ‎2．(2018·威海一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．‎ 因为m⊥n，即m·n＝0，‎ 所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，‎ 满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个，‎ 故所求的概率为.‎ 答案：A ‎3．记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，而方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的条件是a2－8b>0，因此满足此条件的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共9个，故所求的概率为＝.‎ 答案：B ‎4．(2018·亳州质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.‎ 答案：C ‎5．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，ba，满足题意的b>a共有15种情况，因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为＝.‎ 答案： ‎9．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．‎ ‎(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；‎ ‎(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．‎ 解：(1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n＝C×C＝9种选法．‎ 记“2名教师性别相同”为事件A，则事件A包含基本事件总数m＝C·1＋C·1＝4，∴P(A)＝＝.‎ ‎(2)从报名的6人中任选2名，有n＝C＝15种选法．‎ 记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B，则事件B包含基本事件总数m＝2C＝6.‎ ‎∴选出2名教师来自同一学校的概率P(B)＝＝.‎ ‎10．(2018·烟台一模)某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：‎ ‎[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，4.‎ ‎(1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上；‎ ‎(2)估计成绩在85分以上学生的比例；‎ ‎(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90,100)中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．‎ 样本频率分布表 分组 频数 频率 ‎[40,50)‎ ‎2‎ ‎0.04‎ ‎[50,60)‎ ‎3‎ ‎0.06‎ ‎[60,70)‎ ‎14‎ ‎0.28‎ ‎[70,80)‎ ‎15‎ ‎0.30‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 合计 解：(1)样本的频率分布表：‎ 分组 频数 频率 ‎[40,50)‎ ‎2‎ ‎0.04‎ ‎[50,60)‎ ‎3‎ ‎0.06‎ ‎[60,70)‎ ‎14‎ ‎0.28‎ ‎[70,80)‎ ‎15‎ ‎0.30‎ ‎[80,90)‎ ‎12‎ ‎0.24‎ ‎[90,100)‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 合计 ‎50‎ ‎1.00‎ ‎(2)估计成绩在85分以上的有6＋4＝10人，‎ 所以估计成绩在85分以上的学生比例为＝.‎ ‎(3)[40,50)内有2人，记为甲、A.[90,100)内有4人，记为乙，B、C、D.则“二帮一”小组有以下12种分组办法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)，(甲，B，C)，(甲，B，D)，(甲，C，D)，(A，乙，B)，(A，乙，C)，(A，乙，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)．‎ 其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)．‎ 所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P＝＝.‎ B组　高考题型专练 ‎1．(2018·高考广东卷)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解析：由题意得基本事件的总数为C，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为CC，所以所求概率P＝＝.‎ 答案：B ‎2．(2018·高考江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．‎ 解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为.‎ 答案： ‎3．(2018·高考四川卷)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．‎ ‎(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．‎ 解：(1)余下两种坐法如下表所示：‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎(2)若乘客P1‎ 坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示为：‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 于是，所有可能的坐法共8种．‎ 设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，‎ 所以P(A)＝＝.‎ 答：乘客P5坐到5号座位的概率是.‎ ‎4．(2018·高考福建卷)根据世行2018年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：‎ 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP(单位：美元)‎ A ‎25%‎ ‎8 000‎ B ‎30%‎ ‎4 000‎ C ‎ 15% ‎ ‎ 6 000‎ D ‎10%‎ ‎3 000‎ E ‎20%‎ ‎10 000‎ ‎(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；‎ ‎(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．‎ 解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为 (8 000×‎0.25a＋4 000×‎0.30a＋6 000×‎0.15a＋3 000×‎0.10a＋10 000×‎0.20a)＝6 400.‎ 因为6 400∈[4 085,12 616)，‎ 所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．‎ ‎(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．‎ 设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，‎ 所以所求概率为P(M)＝.‎