【数学】2019届一轮复习人教A版数形结合思想学案

【数学】2019届一轮复习人教A版数形结合思想学案

【数形结合思想概述】1．数形结合的数 思想 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大 致可以分为两种情形 一是借助形的生动性和直观性 阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的， 比如应用函数的图象 直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性 阐明形的某些属性， 即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程 精确地阐明曲线的几何性质． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则 （1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏 洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说 明，要注意其带 的负面效应． ] （2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分 析容易出错． （3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利； 二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值 范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线． 3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点 （1）集合的运算及 Venn 图； （2）函数及其图象； （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线； （5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可； （6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关 键点），做好知识的迁移与综合运用． 4．数形结合思想是解答高考数 试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇 特功效，这就要求我们在平时 习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下 几点 （1）准确画出函数图象，注意函数的定义域； （2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首 先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个 函数的图象，由图求解；[ ] （3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理 论证． 应用一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； 例 1.【2017 江苏，14】设 是定义在 且周期为 1 的函数，在区间 上, 其中集合 ，则方程 的解的个数是 . 【答案】8 【解析】由于 ，则需考虑 的情况 在此范围内， 且 时，设 ，且 互质 若 ，则由 ，可设 ，且 互质 因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此 因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等， 只需考虑 与每个周期 的部分的交点， 例 2【2016 高考天津】已知函数 f（x）= （a>0,且 a≠1）在 R 上单调递减，且关 于 x 的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ） （A）（0， ] （B）[ ， ] （C）[ ， ] { }（D）[ ， ） { } 【答案】C 【解析】 由 在 上递减可知 ，由方程 恰好有两个不相等的实数解， ( )f x R [0,1) 2 , ,( ) , , x x Df x x x D  ∈=  ∉ 1, *nD x x nn − = = ∈  N ( ) lg 0f x x− = ( ) [0,1)f x ∈ 1 10x≤ < x Q∈ x∈Z *, , , 2qx p q pp = ∈ ≥N ,p q lg x Q∈ lg (0,1)x∈ *lg , , , 2nx m n mm = ∈ ≥N ,m n 10 n m q p = 10 ( )n mq p = lg x Q∉ lg x x D∈ lg x x D∉ 2 (4 , 0, log ( 1) 1 3 , 0 3) a x a xa x x x + <  + + ≥ − +  | ( ) | 2f x x= − 2 3 2 3 3 4 1 3 2 3  3 4 1 3 2 3  3 4 ( )f x R 3 4 0 1 3 3 1,0 1 3 4 a aa a − ≥ ⇒ ≤ ≤ ≥ < < | ( ) | 2f x x= − 可知 ， ，又∵ 时，抛物线 与直线 相切， 也符合题意，∴实数 的去范围是 ，故选 C. 应用二、构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； 例 3.对于实数 a 和 b，定义运算“*” a*b＝Error!设 f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于 x 的方程 f(x)＝m(m∈R)恰 有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 x1x2x3 的取值范围是________． 【答案】(1－ 3 16 ，0) 应用三、构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系； 例 4.函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） （A） ， ， （B） ， ， （C） ， ， （D） ， ， 13 2, 1 2a a ≤ − ≤ 1 2 3 3a≤ ≤ 3 4a = 2 (4 3) 3y x a x a= + − + 2y x= − a 1 2 3[ , ] { }3 3 4 ( ) ( )2 ax bf x x c += + 0a > 0b > 0c < 0a < 0b > 0c > 0a < 0b > 0c < 0a < 0b < 0c < 【答案】C 应用四、构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； 例 5【2018 届湖北省荆州中 、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三 2 月联考】 满足 ，则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】作出可行域 的表示可行域上的点到原点的距离的平方，其最小值显然是原点到直线 AC 距离的平方 ( ),P x y 2 2 { 1 0 2 4 x y x y x y + ≥ − − ≤ + ≤ 2 2x y+ 4 5 2 2x y+ 故答案为 例 6.【2018 届山东省威海市高三上期末】在平面直角坐标系 中， ， ，点 在圆 上，若 ，则点 的横坐标的取值范围是________. 【答案】 应用五、构建立体几何模型研究代数问题； 例 7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E、F 分别 为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 的最大值为 . [ ] 【答案】 20 0 2 4 54 1 + −  = +  4 5 θ θcos 2 5 例 8.【2016 高考上海文 】如图，已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P 是曲线 上一个动点，则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，设 , ，则 ，又 , 所以 . z y x F M E Q P D CB A 21y x= - OP BA×   [ 1, 2]− (cos ,sin )P α α [0,π]α ∈ (cos ,sin )OP α α= (1,1)BA = cos sin 2 sin( ) [ 1, 2]4OP BA α α α π⋅ = + = + ∈ −  应用六、构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； 例 9.【2018 届云南省昆明市第一中 高三第六次月考】已知函数 ，若两个正数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 例 10.等腰直角△ 内接于抛物线 ， 为抛物线的顶点， ，△ 的面积 是 16，抛物线的焦点为 ，若 是抛物线上的动点，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． AOB 2 2 ( 0)y px p= > O OA OB⊥ AOB F M | | | | OM MF 3 3 6 3 2 3 3 2 6 3 【答案】C 【解析】 因为等腰直角△ 内接于抛物线 ， 为抛物线的顶点， 所以，可设 ，得 ，将 代入 ，得 ，抛物线的方程为 ，所以 ，设 ，则 ，设 ，则 ， 时，“ ” 成 立.故选 C. 应用七、构建方程模型，求根的个数； 例 11.已知函数 的周期为 4，且当 时， 其中 ．若方程 恰有 3 个实数解，则 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 应用八、研究图形的形状、位置关系、性质等． AOB 2 2 ( 0)y px p= > O OA OB⊥ ( ) 1, , 2 162ABCA a a S a a∆ = × = 4a = ( )4,4A 2 2y Px= 2P = 2 4y x= ( )1,0F 例 12.【2018 届江西省南昌市高三第一次模拟】函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】A 例 13.如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点 沿着边 ， 与 运动， 记 ．将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图像大致为（ ） ABCD 2AB = 1BC = O AB P BC CD DA BOP x∠ = P A B x ( )f x ( )y f x= D P C B OA x 【答案】B 【反思提升】总的 说“数形结合”思想是解决许多数 问题的重要思想方法，它可以将抽象数 问题具体化、 准确化、形象化．用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数 问题． 1．在数中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实 现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解 题的目的． 2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达 到解题的目的． 3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象． 4．数形结合思想是解决高考数试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时更方便，可以提 高解题速度． 5．数形结合思想常用模型一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）； 点到直线的距离公式等． 6．是否选择应用数形结合的原则是 是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的．