【数学】2019届一轮复习人教A版（文）9-8-1圆锥曲线的综合问题第1课时学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）9-8-1圆锥曲线的综合问题第1课时学案

9.8 圆锥曲线的综合问题 最新考纲 考情考向分析 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关 系的思想方法． 2.了解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想. 以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置 关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、 对称、存在性问题．题型主要以解答题形式 出现，属于中高档题. 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝ 0(或 ay2＋by＋c＝0)． (1)若 a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离． (2)若 a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 E 相交，且只有一个交 点， ①若 E 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若 E 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2|x2 －x1|＝ 1＋1 k2|y2－y1|. 3．圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值， 或围绕函数思想求范围、最值．或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解 决定值、定点问题． 知识拓展 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交． (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴 平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行 或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直 线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和 两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的 直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与抛物线 y2＝2px 只有一个公共点，则 l 与抛物线相切．( × ) (2)设点 P(x0，y0)为双曲线y2 a2 －x2 b2 ＝1 上的任一点，则|x0|≥a.( × ) (3)椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 上的点到焦点距离的最大值是 a＋c.( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x2 4 ＋y2＝1 只有一条切线．( × ) (6)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线 y2＝2px(p>0)上，且直线 AB 过抛物线的焦点，则 y1y2 ＝－p2.( √ ) 题组二 教材改编 2．[P71 例 6]过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 答案 C 解析 过(0,1)与抛物线 y2＝4x 相切的直线有 2 条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三 条直线与抛物线都只有一个公共点． 3．[P80A 组 T8]已知与向量 v＝(1,0)平行的直线 l 与双曲线x2 4 －y2＝1 相交于 A，B 两点，则 |AB|的最小值为________． 答案 4 解析 由题意可设直线 l 的方程为 y＝m， 代入x2 4 －y2＝1 得 x2＝4(1＋m2)， 所以 x1＝ 41＋m2＝2 1＋m2， x2＝－2 1＋m2， 所以|AB|＝|x1－x2|＝4 1＋m2≥4， 即当 m＝0 时，|AB|有最小值 4. 题组三 易错自纠 4．过抛物线 y2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，它们的横坐标之和等于 2， 则这样的直线( ) A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有且只有四条 答案 B 解析 设该抛物线的焦点为 F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋p 2 ＋xB＋p 2 ＝xA ＋xB＋1＝3>2p＝2. 所以符合条件的直线有且只有两条． 5．(2017·江西省南昌市三模)已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共 点，且∠F1PF2＝π 4 ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为________． 答案 2 2 6．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点 为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为 ________． 答案 y＝±x 解析 抛物线的准线方程为 y＝－p 2 ，焦点为 F 0，p 2 ， ∴a2＋ p 2 2＝c2.① 设抛物线的准线 y＝－p 2 交双曲线于 M x1，－p 2 ，N x2，－p 2 两点，∴ y＝－p 2 ， x2 a2 －y2 b2 ＝1， 即x2 a2 － －p 2 2 b2 ＝1，解得 x＝±a p2 4b2 ＋1， ∴2a p2 4b2 ＋1＝2c.② 又∵b2＝c2－a2，③ ∴由①②③，得c2 a2 ＝2. ∴b2 a2 ＝c2 a2 －1＝1，解得b a ＝1. ∴双曲线的渐近线方程为 y＝±x. 第 1 课时 范围、最值问题 题型一 范围问题 典例 (2016·天津)设椭圆x2 a2 ＋y2 3 ＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 1 |OF| ＋ 1 |OA| ＝ 3e |FA| ， 其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H.若 BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线 l 的斜率的取值范围． 解 (1)设 F(c,0)，由 1 |OF| ＋ 1 |OA| ＝ 3e |FA| ， 即1 c ＋1 a ＝ 3c aa－c ，可得 a2－c2＝3c2. 又 a2－c2＝b2＝3，所以 c2＝1，因此 a2＝4. 所以椭圆的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)设直线 l 的斜率为 k(k≠0)， 则直线 l 的方程为 y＝k(x－2)． 设 B(xB，yB)，由方程组 x2 4 ＋y2 3 ＝1， y＝kx－2 消去 y， 整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0. 解得 x＝2 或 x＝8k2－6 4k2＋3 . 由题意得 xB＝8k2－6 4k2＋3 ，从而 yB＝ －12k 4k2＋3 . 由(1)知，F(1,0)，设 H(0，yH)， 有FH→ ＝(－1，yH)，BF→＝ 9－4k2 4k2＋3 ， 12k 4k2＋3 . 由 BF⊥HF，得BF→·FH→ ＝0， 所以4k2－9 4k2＋3 ＋ 12kyH 4k2＋3 ＝0，解得 yH＝9－4k2 12k . 因此直线 MH 的方程为 y＝－1 kx＋9－4k2 12k . 设 M(xM，yM)，由方程组 y＝kx－2， y＝－1 kx＋9－4k2 12k ， 消去 y，解得 xM＝ 20k2＋9 12k2＋1. 在△MAO 中，由∠MOA≤∠MAO，得|MA|≤|MO|， 即(xM－2)2＋y2M≤x2M＋y2M， 化简，得 xM≥1，即 20k2＋9 12k2＋1 ≥1， 解得 k≤－ 6 4 或 k≥ 6 4 . 所以直线 l 的斜率的取值范围为 －∞，－ 6 4 ∪ 6 4 ，＋∞ . 思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量 关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的 取值范围． 跟踪训练 (2018·开封质检)已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)与双曲线x2 3 －y2＝1 的离心率互为 倒数，且直线 x－y－2＝0 经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，且直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等 比数列，求△OMN 面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为2 3 3 ， ∴椭圆的离心率 e＝c a ＝ 3 2 . 又∵直线 x－y－2＝0 经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即 a＝2，c＝ 3，b＝1， ∴椭圆方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)由题意可设直线的方程为 y＝kx＋m(k≠0，m≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立 y＝kx＋m， x2 4 ＋y2＝1， 消去 y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则 x1＋x2＝－ 8km 1＋4k2 ，x1x2＝4m2－1 1＋4k2 ， 于是 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. 又直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等比数列， 故y1 x1 ·y2 x2 ＝k2x1x2＋kmx1＋x2＋m2 x1x2 ＝k2， 则－ 8k2m2 1＋4k2 ＋m2＝0. 由 m≠0 得 k2＝1 4 ，解得 k＝±1 2. 又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1) ＝16(4k2－m2＋1)>0，得 00，b>0)的左、右焦点，对于左支 上任意一点 P 都有|PF2|2＝8a|PF1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(2,3] C．(1,3] D．(1,2] 答案 C 解析 由 P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 得|PF2|＝2a＋|PF1|， 所以|PF2|2 |PF1| ＝|PF1|＋ 4a2 |PF1| ＋4a＝8a， 所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a， 在△PF1F2 中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|， 即 2a＋4a≥2c，所以 e＝c a ≤3. 又 e>1，所以 10)上 任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为( ) A. 2 2 B.2 3 C. 3 3 D．1 答案 A 解析 由题意可得 F p 2 ，0 ，设 P y20 2p ，y0 (y0>0)， 则OM→ ＝OF→ ＋FM→ ＝OF→ ＋1 3FP→＝OF→ ＋1 3(OP→ －OF→ ) ＝1 3OP→ ＋2 3OF→ ＝ y20 6p ＋p 3 ，y0 3 ， 可得 k＝ y0 3 y20 6p ＋p 3 ＝ 1 y0 2p ＋p y0 ≤ 1 2 y0 2p·p y0 ＝ 2 2 . 当且仅当y0 2p ＝p y0 时取得等号，故选 A. 6．(2017·九江模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：x2＝4y，点 P 是 C 的准线 l 上的动点，过点 P 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B，则△AOB 面积的最小值为( ) A. 2B．2C．2 2D．4 答案 B 解析 设 P(x0，－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又 A，B 在抛物线上，所以 y1＝x21 4 ，y2＝x22 4. 因为 y′＝x 2 ， 则过点 A，B 的切线分别为 y－x21 4 ＝x1 2(x－x1)，y－x22 4 ＝x2 2(x－x2)均过点 P(x0，－1)， 则－1－x21 4 ＝x1 2(x0－x1)，－1－x22 4 ＝x2 2 (x0－x2)，即 x1，x2 是方程－1－x2 4 ＝x 2(x0－x)的两根，则 x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋b，联立 x2＝4y， y＝kx＋b， 得 x2－4kx－4b ＝0，则 x1x2＝－4b＝－4， 即 b＝1，|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k2· 4x20＋16， O 到直线 AB 的距离 d＝ b k2＋1 ， 则 S△AOB＝1 2|AB|d＝ x20＋4≥2， 即△AOB 的面积的最小值为 2，故选 B. 7．(2017·泉州质检)椭圆 C：x2 a2 ＋y2＝1(a>1)的离心率为 3 2 ，F1，F2 是 C 的两个焦点，过 F1 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值为________． 答案 7 解析 因为椭圆 C 的离心率为 3 2 ，所以 a2－1 a ＝ 3 2 ， 解得 a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8， 即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|， 而由焦点弦性质，知当 AB⊥x 轴时，|AB|取最小值 2×b2 a ＝1， 因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于 8－1＝7. 8．(2018 届贵州黔东南州联考)定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线 y2＝x 上移动，设点 P 为线段 MN 的中点，则点 P 到 y 轴距离的最小值为________． 答案 7 4 解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线 y2＝x 的焦点为 F 1 4 ，0 ，抛物线的准线为 x＝－1 4 ， 所求的距离 d＝|x1＋x2 2 |＝ x1＋1 4 ＋x2＋1 4 2 －1 4 ＝|MF|＋|NF| 2 －1 4 ，所以|MF|＋|NF| 2 －1 4 ≥|MN| 2 －1 4 ＝ 7 4(两边之和大于第三边且 M，N，F 三点共线时取等号)． 9．(2017·泉州模拟)椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过椭圆的右焦点 F2 作一条 直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，则△F1PQ 的内切圆面积的最大值是________． 答案 9π 16 解析 令直线 l：x＝my＋1，与椭圆方程联立消去 x， 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，可设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1＋y2＝－ 6m 3m2＋4 ，y1y2＝－ 9 3m2＋4 . 可知 1F PQS ＝1 2|F1F2||y1－y2| ＝ y1＋y22－4y1y2＝12 m2＋1 3m2＋42 ， 又 m2＋1 3m2＋42 ＝ 1 9m2＋1＋ 1 m2＋1 ＋6 ≤ 1 16 ， 故 1F PQS ≤3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长 l＝4a＝8，则内切圆半径 r＝ 1 2 8 F PQS ≤3 4 ，其面积最大值为9π 16. 10．(2018·日照模拟)若点 O 和点 F 分别为椭圆x2 9 ＋y2 8 ＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的 任意一点，则OP→ ·FP→的最小值为__________． 答案 6 解析 点 P 为椭圆x2 9 ＋y2 8 ＝1 上的任意一点， 设 P(x，y)(－3≤x≤3，－2 2≤y≤2 2)， 由题意得左焦点 F(－1,0)， ∴OP→ ＝(x，y)，FP→＝(x＋1，y)， ∴OP→ ·FP→＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋72－8x2 9 ＝1 9· x＋9 2 2＋23 4 . ∵－3≤x≤3，∴3 2 ≤x＋9 2 ≤15 2 ， ∴9 4 ≤ x＋9 2 2≤225 4 ， ∴1 4 ≤1 9 x＋9 2 2≤25 4 ， ∴6≤1 9· x＋9 2 2＋23 4 ≤12， 即 6≤OP→ ·FP→≤12. 故最小值为 6. 11．已知椭圆 C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB 长度的 最小值． 解 (1)由题意，得椭圆 C 的标准方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1， 所以 a2＝4，b2＝2，从而 c2＝a2－b2＝2， 因此 a＝2，c＝ 2. 故椭圆 C 的离心率 e＝c a ＝ 2 2 . (2)设点 A，B 的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中 x0≠0. 因为 OA⊥OB，所以OA→ ·OB→ ＝0， 即 tx0＋2y0＝0，解得 t＝－2y0 x0 . 又 x20＋2y20＝4， 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2 ＝ x0＋2y0 x0 2＋(y0－2)2＝x20＋y20＋4y20 x20 ＋4 ＝x20＋4－x20 2 ＋24－x20 x20 ＋4 ＝x20 2 ＋8 x20 ＋4(0b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e1；双曲线 C2： x2 a2 －y2 b2 ＝1 的左、右焦点分别为 F3，F4，离心率为 e2.已知 e1e2＝ 3 2 ， 且|F2F4|＝ 3－1. (1)求 C1，C2 的方程； (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为弦 AB 的中点，当直线 OM 与 C2 交于 P，Q 两 点时，求四边形 APBQ 面积的最小值． 解 (1)因为 e1e2＝ 3 2 ，所以 a2－b2 a · a2＋b2 a ＝ 3 2 ，即 a4－b4＝3 4a4，因此 a2＝2b2，从而 F2(b,0)， F4( 3b,0)，于是 3b－b＝|F2F4|＝ 3－1，所以 b＝1，a2＝2. 故 C1，C2 的方程分别为x2 2 ＋y2＝1，x2 2 －y2＝1. (2)因为 AB 不垂直于 y 轴，且过点 F1(－1,0)， 故可设直线 AB 的方程为 x＝my－1. 由 x＝my－1， x2 2 ＋y2＝1， 得(m2＋2)y2－2my－1＝0. 易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1，y2 是上述方程的两个实根， 所以 y1＋y2＝ 2m m2＋2 ，y1y2＝ －1 m2＋2 . 因此 x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝ －4 m2＋2 ， 于是 AB 的中点为 M －2 m2＋2 ， m m2＋2 ， 故直线 PQ 的斜率为－m 2 ，PQ 的方程为 y＝－m 2x， 即 mx＋2y＝0. 由 y＝－m 2x， x2 2 －y2＝1， 得(2－m2)x2＝4， 所以 2－m2>0，且 x2＝ 4 2－m2 ，y2＝ m2 2－m2 ， 从而|PQ|＝2 x2＋y2＝2 m2＋4 2－m2. 设点 A 到直线 PQ 的距离为 d， 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d， 所以 2d＝|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2| m2＋4 . 因为点 A，B 在直线 mx＋2y＝0 的异侧， 所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0， 于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2| ＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|， 从而 2d＝m2＋2|y1－y2| m2＋4 . 又因为|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2 ＝2 2· 1＋m2 m2＋2 ， 所以 2d＝2 2· 1＋m2 m2＋4 . 故四边形 APBQ 的面积 S＝1 2|PQ|·2d ＝2 2· 1＋m2 2－m2 ＝2 2· －1＋ 3 2－m2. 而 0<2－m2≤2，故当 m＝0 时，S 取得最小值 2. 综上所述，四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 13．(2018·郑州模拟)设双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线 y2＝x 的一个 交点的横坐标为 x0，若 x0>1，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是( ) A. 1， 6 2 B．( 2，＋∞) C．(1， 2) D. 6 2 ，＋∞ 答案 C 解析 不妨联立 y＝b ax 与 y2＝x，消去 y 得 b2 a2x2＝x， 由 x0>1，知b2 a2<1，即c2－a2 a2 <1，故 e2<2，又 e>1， 所以 10，b>0)的右顶点为 A，与 x 轴平行的直 线交Γ于 B，C 两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为 2，则( ) A．θ∈ 0，π 2 B．θ＝π 2 C．θ∈ 3π 4 ，π D．θ＝3π 4 答案 B 解析 ∵e＝c a ＝ 2，∴c＝ 2a，∴b2＝c2－a2＝a2， ∴双曲线方程可变形为 x2－y2＝a2.设 B(x0，y0)，由对称性可知 C(－x0，y0)，∵点 B(x0，y0) 在双曲线上， ∴x20－y20＝a2.∵A(a,0)，∴AB→＝(x0－a，y0)， AC→＝(－x0－a，y0)，∴AB→·AC→＝(x0－a)·(－x0－a)＋y20＝a2－x20＋y20＝0，∴AB→⊥AC→，即θ＝π 2. 故选 B. 16．(2017·郑州质检)已知椭圆 C1： x2 m＋2 －y2 n ＝1 与双曲线 C2：x2 m ＋y2 n ＝1 有相同的焦点，则 椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围为________． 答案 2 2 ，1 解析 ∵椭圆 C1： x2 m＋2 －y2 n ＝1， ∴a21＝m＋2，b21＝－n，c21＝m＋2＋n， e21＝m＋2＋n m＋2 ＝1＋ n m＋2. ∵双曲线 C2：x2 m ＋y2 n ＝1， ∴a22＝m，b22＝－n，c22＝m－n， ∴由条件知 m＋2＋n＝m－n，则 n＝－1， ∴e21＝1－ 1 m＋2 . 由 m>0 得 m＋2>2， 1 m＋2 <1 2 ，－ 1 m＋2 >－1 2 ， ∴1－ 1 m＋2 >1 2 ，即 e21>1 2 ，而 0

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