【数学】2018届一轮复习人教A版　任意角和弧度制及任意角的三角函数学案

【数学】2018届一轮复习人教A版　任意角和弧度制及任意角的三角函数学案

知识点 考纲下载 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 ‎1.了解任意角的概念．‎ ‎2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．‎ ‎3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．‎ 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ‎1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.‎ ‎2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．‎ 两角和与差的正弦、余弦及正切公式 ‎1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．‎ ‎2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．‎ ‎3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．‎ 简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．‎ 三角函数的图象与性质 ‎1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．‎ ‎2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性．‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ‎1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．‎ ‎2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，‎ 会用三角函数解决一些简单实际问题．‎ 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．‎ 解三角形应用举例 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．‎ 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 ‎1．角的有关概念 ‎(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．‎ ‎(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角．‎ ‎(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z．‎ ‎2．弧度制 ‎(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．‎ ‎(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝ rad，1 rad＝°．‎ ‎(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2．‎ ‎3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 ‎1．辨明四个易误点 ‎(1)易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．‎ ‎(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．‎ ‎(3)三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.‎ ‎(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．‎ ‎2．规律与技巧 ‎(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．‎ ‎(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．‎ ‎1. 单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)‎ A．10π　　　　　　　　　　 B．9π C.π D.π ‎[答案] D ‎2. 若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[答案] C ‎3．已知角α的终边经过点M(－3，－1)，则下列结论不正确的是(　　)‎ A．sin α＝－ B．cos α＝－ C．tan α＝ D．tan α＝3‎ ‎[答案] D ‎4．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．‎ ‎[答案] 四　一 ‎5．若角α终边上有一点P(x，5)，且cos α＝(x≠0)，则sin α＝________．‎ ‎[答案] ‎　象限角及终边相同的角[学生用书P63]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；‎ ‎(2)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．‎ ‎【解】　(1)因为在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，‎ 所以终边在直线y＝x上的角的集合为 .‎ ‎(2)由α是第三象限角，得π＋2kπ<α<＋2kπ(k∈Z)，‎ 所以2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈Z)．‎ 所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．‎ ‎ 在本例(2)的条件下，判断为第几象限角？‎ ‎[解] 因为π＋2kπ<α<＋2kπ(k∈Z)，‎ 所以＋kπ<<＋kπ(k∈Z)．‎ 当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ，‎ 当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ，‎ 所以为第二或第四象限角．‎ ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．‎ ‎[解析] 所有与45°有相同终边的角可表示为：‎ β＝45°＋k×360°(k∈Z)，‎ 则令－720°≤45°＋k×360°<0°，‎ 得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，‎ 从而k＝－2或k＝－1，‎ 代入得β＝－675°或β＝－315°.‎ ‎[答案] －675°或－315°‎ ‎2．若sin α·tan α<0，且<0，则α是第________象限角．‎ ‎[解析] 由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．‎ ‎[答案] 三 ‎　扇形的弧长、面积公式[学生用书P64]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l.‎ ‎(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；‎ ‎(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？‎ ‎【解】　(1)α＝60°＝，‎ l＝10×＝(cm)．‎ ‎(2)由已知得，l＋2R＝20，‎ 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，‎ 所以当R＝5时，S取得最大值25，‎ 此时l＝10 cm，α＝2 rad.‎ 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 ‎(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．‎ ‎(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．　 ‎ ‎[注意]　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长是(　　)‎ A. cm　　　　　　　　 B. cm C. cm D. cm ‎　D　[解析] 扇形的弧长为l，圆心角大小为α＝，半径为r＝8 cm，则l＝αr＝×8＝(cm)．‎ ‎2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)‎ A．1 B．4‎ C．1或4 D．2或4‎ ‎　C　[解析] 设此扇形的半径为r，弧长为l，‎ 则解得或 从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.‎ ‎　三角函数的定义(高频考点)[学生用书P64]‎ 三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)根据三角函数的定义求三角函数值；‎ ‎(2)根据三角函数的定义求点的坐标；‎ ‎(3)判断三角函数值的符号．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)若tan α>0，则(　　)‎ A．sin α>0　　　　　　　　　 B．cos α>0‎ C．sin 2α>0 D．cos 2α>0‎ ‎(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则cos 2θ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【解析】　(1)因为tan α＞0，所以α∈(k∈Z)是第一、三象限角．‎ 所以sin α，cos α都可正、可负，排除A，B.‎ 而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，‎ 结合正、余弦函数图象可知，C正确．‎ 取α＝，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D不正确．‎ ‎(2)取终边上一点(a，－2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，由tan θ＝－2，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B 用定义法求三角函数值的三种情况 ‎(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．‎ ‎(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．‎ ‎(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　根据三角函数的定义求三角函数值 ‎1．设角α终边上一点P(－4a，3a)(a<0)，则sin α的值为________．‎ ‎[解析] 设点P与原点间的距离为r，‎ 因为P(－4a，3a)，a<0，‎ 所以r＝＝|5a|＝－5a.‎ 所以sin α＝＝－.故填－.‎ ‎[答案] － ‎ 角度二　根据三角函数的定义求点的坐标 ‎2．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则x＝(　　)‎ A．4 B．－4‎ C．3 D．－3‎ ‎　D　[解析] 因为α是第二象限角，所以x<0.‎ 又由题意知＝x，解得x＝－3.‎ ‎ 角度三　判断三角函数值的符号 ‎3．已知角α的终边经过点P(－，m)，且sin α＝m(m≠0)，判断角α是第几象限角，并求tan α的值．‎ ‎[解] 依题意，点P到原点O的距离为 r＝ ＝，‎ 所以sin α＝，‎ 又因为sin α＝m，m≠0，所以＝m，‎ 所以m2＝，‎ 所以m＝±.‎ 所以点P在第二或第三象限．‎ 故角α 是第二象限角或第三象限角．‎ 当α是第二象限角时，‎ m＝，‎ tan α＝＝－，‎ 当α 是第三象限角时，m＝－，‎ tan α＝＝.‎ ‎ [学生用书P65]‎ ‎——三角函数定义下的创新 ‎　(2017·南昌质检)如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)‎ ‎【解析】　因为P0(，－)，所以∠P0Ox＝－.‎ 因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－.‎ 由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，‎ 因此d＝2.‎ 令t＝0，则d＝2＝.‎ 当t＝时，d＝0，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎　(1)本题是三角函数与圆的结合，用时间t表示角POx，利用三角函数定义得出P点的纵坐标，从而得出d和t的关系，即可判断出结果，此类问题见证了数学中的“以静制动”．‎ ‎(2)近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导．‎ 一般以简单几何图形的平移、转动、滚动等形式，运用三角知识考查学生分析问题解决问题的能力．‎ ‎　如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为(　　)‎ ‎　C　[解析] 如图，取AP的中点为D，连接OD，连接OP.设∠DOA＝θ，则d＝2sin θ，l＝2θ，故d＝2sin .‎ ‎ [学生用书P275(独立成册)]‎ ‎1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　B. C．－ D．－ ‎　C　[解析] 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.‎ 即为－×2π＝－.‎ ‎2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)‎ A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)‎ C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)‎ ‎　C　[解析] 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．‎ ‎3．角α的终边过点P(3a，4)，若cos α＝－，则a的值为(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．±5‎ ‎　B　[解析] x＝3a，y＝4，r＝，‎ 由cos α＝－得＝－，且a<0.‎ 解得a＝－1.选B.‎ ‎4．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边(　　)‎ A．在x轴的正半轴上 B．在x轴的负半轴上 C．在y轴的负半轴上 D．在y轴的正半轴上 ‎　A　[解析] 由于角α与β的终边相同，‎ 所以α＝k·360°＋β(k∈Z)，从而α－β＝k·360°(k∈Z)，此时角α－β的终边在x轴正半轴上．‎ ‎5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．3 D．－3‎ ‎　B　[解析] 由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，‎ 又角θ与角α的终边相同，‎ 所以角θ是第四象限角，‎ 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.‎ 所以y＝－1＋1－1＝－1.故选B.‎ ‎6．设θ是第三象限角，且|cos |＝－cos ，则是(　　)‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎　B　[解析] 由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋<cos x成立的x的取值范围是________．‎ ‎[解析] 在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x∈(，)时，sin x>cos x，所以使sin x>cos x成立的x的取值范围是(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z.‎ ‎[答案] (2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z ‎11．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．‎ ‎[解] 因为θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，所以tan θ＝－.‎ 又tan θ＝－x，所以x2＝1，即x＝±1.‎ 当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝.‎ 因此sin θ＋cos θ＝0；‎ 当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，‎ 因此sin θ＋cos θ＝－.故sin θ＋cos θ的值为0或－.‎ ‎12．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.‎ ‎(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；‎ ‎(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.‎ ‎[解] (1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，‎ 所以△AOB为等边三角形．‎ 因此弦AB所对的圆心角α＝.‎ ‎(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l＝α·R＝×10＝，‎ S扇形＝R·l＝α·R2＝.‎ 又S△AOB＝OA·OB·sin ＝25.‎ 所以弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝50(－)．‎