【数学】2019届一轮复习人教A版第11章计数原理随机变量及分布列第3课时二项式定理学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版第11章计数原理随机变量及分布列第3课时二项式定理学案

第 3 课时 二项式定理(对应学生用书(理)174 175 页) 近几年高考二项式定理在理 加试部分考查, 以后高考将会考查学生应用基础知识、解决 实际问题的能力,难度适中. ① 掌握二项式定理及二项展开式的通项公 式,并能熟练地进行二项式的展开及求解某 些特定的项、项数或系数,特别要注意有关 二项式系数与项的系数的区别.② 能用计数 原理证明二项式定理,会用二项式定理解决 与二项展开式有关的简单问题. 1.(选修23P32练习2改编)(x-2y)7的展开式中,第4项的二项式系数为 W. (用数字作答) 答案:35 解析:第 4 项的二项式系数为 C3 7=35. 2. (选修 23P32 练习 5 改编)在( x-2)4 的展开式中,x 的系数为 W. 答案:24 解析:由题意可知 Tr+1=Cr 4( x)4-r(-2)r=Cr 4(-2)rx 4-r 2 ,令4-r 2 =1 解得 r=2, 所以展开式中 x 的系数为 C2 4·(-2)2=24. 3. (选修 23P35 练习 4 改编)已知 C0 n+2C1 n+22C2 n+23C3 n+…+2nCn n=729,则 C1 n+C2 n+C3 n+… +Cn n= W. 答案:63 解析:逆用二项式定理得 C0 n+2C1 n+22C2 n+23C3 n+…+2nCn n=(1+2)n=3n=729,即 3n= 36,所以 n=6,所以 C1 n+C2 n+C3 n+…+Cn n=26-C0 n=64-1=63. 4. (选修 23P36 习题 13 改编)如果(2x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,那么 a1+a2 +…+a6= W. 答案:0 解析:令 x=0,有 1=a0;令 x=1,有 1=a0+a1+…+a6,∴ a1+a2+…+a6=0. 5. (1+x)8(1+y)4 的展开式中 x2y2 的系数是 W. 答案:168 解析:展开式中 x2y2 的项是由(1+x)8 展开式中 x2 项与(1+y)4 展开式中 y2 项相乘得 到的,所以 x2y2 的系数为 C2 8C2 4=168. 1. 二项式定理 (a+b)n=C0 nan+C1 nan-1b+…+Cr nan-rbr+…+Cn nbn(n∈N )W. 这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式,其中的系数 Cr n(r =0,1,2,…,n)叫做第 r+1 项的二项式系数W.式中的 Cr nan-rbr 叫做二项展开式的第 r +1 项(通项),用 Tr+1 表示,即展开式的第 r+1 项;Tr+1=Cr nan-rbrW. 2. 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为 n+1W. (2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数的和为 n. (3) 字母 a 按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零;字母 b 按升幂排 列,从第一项起,次数由零逐项增 1 直到 n. (4) 二项式的系数从 C0 n,C1 n,一直到 Cn-1 n ,Cn n. 3. 二项式系数的性质 (1) 在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. (2) 如果二项式的幂指数是偶数,则中间项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数 是奇数,则中间两项的二项式系数相等并且最大. (3) 二项式系数的和等于 2n,即 C0 n+C1 n+…+Cn n=2nW. (4) 二项式展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 C0 n+C2 n+…=C1 n+C3 n+…=2n-1W.[备课札记] 1 求二项展开式中特定项或特定项的系数) 1 在二项式 x+ 1 2 4 x n 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中 的有理项和二项式系数最大的项. 解:∵ 二项展开式的前三项的系数分别是 1,n 2 ,1 8 n(n-1),∴ 2·n 2 =1+1 8 n(n-1), 解得 n=8 或 n=1(不合题意,舍去), ∴ Tr+1=Cr 8x 8-r 2 1 2 x-1 4 r =Cr 82-rx4-3 4 r, 当 4-3 4 r∈ 时,Tr+1 为有理项. ∵ 0≤r≤8 且 r∈ ,∴ r=0,4,8 符合要求. 故有理项有 3 项,分别是 T1=x4,T5=35 8 x,T9= 1 256 x-2. ∵ n=8,∴ 展开式中共 9 项,中间一项即第 5 项的二项式系数最大且为 T5=35 8 x. 变式训练 若二项式 x+1 x n (n∈N )的展开式中各项的系数和为 32,则该展开式中含 x 项的系 数为 W. 答案:5 解析:令 x=1,得 x+1 x n 的展开式中各项的系数和为 2n,即 2n=32,所以 n=5, x+1 x 5 展开式的通项为 Tr+1=Cr 5( x)5-r 1 x r =Cr 5x 5-3r 2 ,令5-3r 2 =1,得 r=1,所以该 展开式中含 x 项的系数为 C1 5=5. , 2 多项式展开式中的特定项或特定系数问题) , 2) (1) 在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中, 含 x3 项的系数是 W. (2) 设二项式 x- 1 3 x 5 的展开式中常数项为 A,则 A= W. 答案:(1) -121 (2) -10 解析:(1) (1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8=(1-x)5[1-(1-x)4] 1-(1-x) = (1-x)5-(1-x)9 x ,(1-x)5 中 x4 的系数为 C4 5=5,-(1-x)9 中 x4 的系数为-C4 9=- 126,-126+5=-121. (2) Tr+1=Cr 5( x)5-r· - 1 3 x r =Cr 5x 5-r 2 ·(-1)r·x-r 3 =(-1)rCr 5x5-r 2 -r 3 = (-1)rCr 5x 15-5r 6 . 令 15-5r=0,得 r=3,所以 A=(-1)3C3 5=-C2 5=-10. 变式训练 (1)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含 x4 项的系数是 W. (2) 在二项式 x2-1 x 5 的展开式中,含 x4 的项的系数是 W. 答案:(1) -15 (2) 10 解析:(1) 当第 1 个括号取-1 时,其他括号内只能取 x;当第 2 个括号取-2 时,其 他括号内也只能取 x;当第 3 个括号取-3 时,其他括号内也只能取 x;当第 4 个括号取-4 时,其他括号内也只能取 x;当第 5 个括号取-5 时,其他括号内也只能取 x.因此含 x4 项的 系数为(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15. (2) 对于 Tr+1=Cr 5(x2)5-r -1 x r =(-1)rCr 5x10-3r,令 10-3r=4,∴ r=2,则 x4 项的系数是 C2 5(-1)2=10. , 3 二项式系数的和与各项的系数和问题) , 3) (1) 若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1) 9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数 m 的值为 ; (2) 若(x+1)2(x+2)2 016=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2 018(x+2)2 018, 则a1 2 +a2 22+a3 23+…+a2 018 22 018= W. 答案:(1) 1 或-3 (2) 1 2 2 018 解析:(1) 令 x=0,得到 a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9, 令 x=-2,得到 a0-a1+a2-a3+…-a9=m9, 所以有(2+m)9m9=39,即 m2+2m=3, 解得 m=1 或 m=-3. (2) 依题意,令 x=-2 得 a0=0,再令 x=-3 2 ,得 -3 2 +1 2 -3 2 +2 2 016 =a0+a1 -3 2 +2 +a2 -3 2 +2 2 +…+a2 018 -3 2 +2 2 018 , 即a1 2 +a2 22+a3 23+…+a2 018 22 018= 1 2 2 018 . 备选变式(教师专享) (1) 若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1 +x)5,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 a3= W. (2) 在(a+x)(1+x)4 的展开式中,x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= W. 答案:(1) 10 (2) 3 解析:(1) 由题可知 x5=[(1+x)-1]5,故 a3 为[(1+x)-1]5 的展开式中(1+x) 3 的系数.由二项展开式的通项公式,得 Tr+1=Cr 5(1+x)5-r·(-1)r.令 r=2,得 T3=C2 5(1 +x)3·(-1)2=10(1+x)3.故 a3=10. (2) 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令 x=1,得 16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5 ①, 令 x=-1,得 0=a0-a1+a2-a3+a4-a5 ②. ①-②,得 16(a+1)=2(a1+a3+a5),即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1+ a3+a5=8(a+1),所以 8(a+1)=32,解得 a=3. , 4 二项式定理的综合应用) , 4) 设 n∈N ,n≥3, ∈N . (1) 求值: ① Ck n-nCk-1 n-1; ② 2Ck n-n(n-1)Ck-2 n-2-nCk-1 n-1( ≥2); (2) 化简:12C0 n+22C1 n+32C2 n+…+( +1)2Ck n+…+(n+1)2Cn n. 解:(1) ① Ck n-nCk-1 n-1= × n! k!(n-k)! -n× (n-1)! (k-1)!(n-k)! = n! (k-1)!(n-k)! - n! (k-1)!(n-k)! =0. ② 2Ck n-n(n-1)Ck-2 n-2-nCk-1 n-1= 2× n! k!(n-k)! -n(n-1)× (n-2)! (k-2)!(n-k)! -n× (n-1)! (k-1)!(n-k)! = × n! (k-1)!(n-k)! - n! (k-2)!(n-k)! - n! (k-1)!(n-k)! = n! (k-2)!(n-k)! k k-1 -1- 1 k-1 =0. (2) (解法 1)由(1)可知当 ≥2 时, ( +1)2Ck n=( 2+2 +1)Ck n= 2Ck n+2 Ck n+Ck n =[n(n-1)Ck-2 n-2+nCk-1 n-1]+2nCk-1 n-1+Ck n =n(n-1)Ck-2 n-2+3nCk-1 n-1+Ck n, 故 12C0 n+22C1 n+32C2 n+…+( +1)2Ck n+…+(n+1)2Cn n =(12C0 n+22C1 n)+n(n-1)(C0 n-2+C1 n-2+…+Cn-2 n-2)+3n(C1 n-1+C2 n-1+…+Cn-1 n-1)+(C2 n +C3 n+…+Cn n)=(1+4n)+n(n-1)2n-2+3n(2n-1-1)+(2n-1-n)=2n-2(n2+5n +4). (解法 2)当 n≥3 时,由二项式定理,有(1+x)n=1+C1 nx+C2 nx2+…+Ck nx +…+Cn nxn, 两边同乘 x,得(1+x)nx=x+C1 nx2+C2 nx3+…+Ck nx +1+…+Cn nxn+1, 两边对 x 求导,得(1+x)n+n(1+x)n-1x=1+2C1 nx+3C2 nx2+…+( +1)Ck nx +…+ (n+1)Cn nxn, 两边再同乘 x,得 (1+x)nx+n(1+x)n-1x2=x+2C1 nx2+3C2 nx3+…+( +1)Ck nx +1+…+(n+1)Cn nxn +1, 两边再对 x 求导,得(1+x)n+n(1+x)n-1x+n(n-1)(1+x)n-2x2+2n(1+x)n -1x=1+22C1 nx+32C2 nx2+…+( +1)2Ck nx +…+(n+1)2Cn nxn. 令 x=1,得 2n+n2n-1+n(n-1)2n-2+2n2n-1=1+22C1 n+32C2 n+…+( +1)2Ck n+…+ (n+1)2Cn n, 即 12C0 n+22C1 n+32C2 n+…+( +1)2Ck n+…+(n+1)2Cn n=2n-2(n2+5n+4). 备选变式(教师专享) (2017·苏北四市期中)设 n∈N ,f(n)=3n+7n-2. (1) 求 f(1),f(2),f(3)的值; (2) 求证:对任意正整数 n,f(n)是 8 的倍数. (1) 解:代入求出 f(1)=8,f(2)=56,f(3)=368. (2) 证明:f(n)=3n+7n-2=(4-1)n+(8-1)n-2 =4n-C1 n4n-1+…+(-1)n-2Cn-2 n 42+(-1)n-1Cn-1 n 4+(-1)nCn n+8n-C1 n8n-1+…+(- 1)n-2Cn-2 n 82+(-1)n-1·Cn-1 n 8+(-1)nCn n-2=[4n-C1 n4n-1+…+(-1)n-2·Cn-2 n 42+8n- C1 n8n-1+…+(-1)n-1Cn-1 n 8]+[(-1)n-1·Cn-1 n 4+2(-1)nCn n-2], 显然,前一个中括号中的数是 8 的倍数,令(-1)n-1Cn-1 n 4+2(-1)nCn n-2=M,则 当 n 为偶数时,M=-4n 也是 8 的倍数,所以 f(n)是 8 的倍数. 当 n 为奇数时,M=4n-4=4(n-1)也是 8 的倍数,所以 f(n)是 8 的倍数. 综上所述,对任意正整数 n,f(n)是 8 的倍数. (注:本题亦可以用数学归纳法进行证明) 1. (2017·新课标Ⅰ)在 1+1 x2 (1+x)6 的展开式中,含 x2 项的系数为 W. 答案:30 解析:因为 1+1 x2 (1+x)6=(1+x)6+1 x2·(1+x)6,则(1+x)6 的展开式中含 x2 项的为 C2 6x2=15x2,1 x2·(1+x)6 的展开式中含 x2 项的为1 x2·C4 6x4=15x2,故 x2 的系数为 15+ 15=30. 2. (2017·浙江模拟改编)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1 +a5,则 a1+a2+a3+a4= . 答案:67 解析:当 x=0 时,得 a5=4. 当 x=1 时,得(x+1)3(x+2)2=72=1+a1+a2+a3+a4+a5,又 a5=4,得 a1+a2+ a3+a4=67. 3. (2017·新课标Ⅲ)在(x+y)(2x-y)5 的展开式中,含 x3y3 项的系数为 W. 答案:40 解析:(x+y)(2x-y)5=x(2x-y)5+y(2x-y)5, 由(2x-y)5 展开式的通项公式:Tr+1=Cr 5(2x)5-r(-y)r 可得: 当 r=3 时,x(2x-y)5 展开式中 x3y3 的系数为 C3 5×22×(-1)3=-40, 当 r=2 时,y(2x-y)5 展开式中 x3y3 的系数为 C2 5×23×(-1)2=80, 则 x3y3 的系数为 80-40=40. 4. 设 f(x,n)=(1+x)n,n∈N . (1) 求 f(x,6)的展开式中系数最大的项; (2) n∈N 时,化简 C0 n4n-1+C1 n4n-2+C2 n4n-3+…+Cn-1 n 40+Cn n4-1; (3) 求证:C1 n+2C2 n+3C3 n+…+nCn n=n×2n-1. (1) 解:展开式中系数最大的项是第四项为 C3 6x3=20x3. (2) 解:C0 n4n-1+C1 n4n-2+C2 n4n-3+…+Cn-1 n 40+Cn n4-1 =1 4 [C0 n4n+C1 n4n-1+C2 n4n-2+…+Cn-1 n 4+Cn n] =1 4 (4+1)n=5n 4 . (3) 证明:因为 Ck n=nCk-1 n-1, 所以 C1 n+2C2 n+3C3 n+…+nCn n=n(C0 n-1+C1 n-1+C2 n-1+…+Cn-1 n-1)=n×2n-1. , 10. 谨防混淆二项展开式的系数与二项式系数致误) 典例 已知 1 2 +2x n . (1) 若展开式中第 2 项系数是最后一项系数的 28 倍,求展开式中二项式系数最大的 项的系数; (2) 若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项. 易错分析:解答此题时易将项的系数与二项式系数混淆,从而导致计算错误. 解:(1) 由题意,C1 n 1 2 n-1 ×2=28× 1 2 n ,即 4n=28, ∴ n=7,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5. ∴ T4 的系数为 C3 7 1 2 4 23=35 2 , T5 的系数为 C4 7 1 2 3 24=70. (2) ∵ C0 n+C1 n+C2 n=79,∴ n2+n-156=0. ∴ n=12 或 n=-13(舍去). 设第 r+1 项的系数最大, ∵ 1 2 +2x 12 = 1 2 12 (1+4x)12, ∴ Cr 124r≥Cr-1 12 4r-1, Cr 124r≥Cr+1 12 4r+1, ∴ 9.4≤r≤10.4. 又 r∈N ,∴ r=10.∴ 展开式中系数最大的项为第 11 项, T11=C10 12· 1 2 2 ·210·x10=16 896x10. 特别提醒:区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细.(ax+b)n 项的系数 与 a,b 有关,可正可负,二项式系数只与 n 有关,恒为正.另外,也要注意项与项的系数, 项的系数与项的系数绝对值的区别与联系. (1) 对于(ax+b)n 展开式中,第 r+1 项的二项式系数是指 Cr n,第 r+1 项的系数是 Cr nan-rbr. (2) 对于(ax+b)n 展开式中各项系数之和,令 x=1 即得(a+b)n;(ax+b)n 展开 式的二项式系数之和为 C0 n+C1 n+…+Cn n=2n. 1. (2017·山东卷)已知(1+3x)n 的展开式中含有 x2 项的系数是 54,则 n= W. 答案:4 解析:由二项式定理的通项公式 Tr+1=Cr n(3x)r=Cr n3rxr,令 r=2,得 C2 n·32=54,解得 n=4. 2. 已知二项式(2x+1)n 展开式的各项系数和为 729,则(x2+x+1) 2x-1 x n 的展开 式中常数项为 W. 答案:-100 解析:由题知 3n=729,解得 n=6, 2x-1 x 6 的通项为 Tr+1=Cr 6(2x)6-r -1 x r =26-r(- 1)rCr 6x6-2r,由题知,6-2r=-2 或 6-2r=-1 或 6-2r=0(r∈N,r≤6),解得 r=4 或 3, 所以常数项为 26-4(-1)4C4 6+26-3(-1)3C3 6=-100. 3. 已知 2x- 1 x n (n∈N )的展开式中二项式系数的和为 256,则该展开式中含1 x 项的 系数为 W. 答案:112 解析:由题知 2n=256,所以 n=8,所以 Tr+1=Cr 8(2x)8-r(-1)rx-r 2 =(-1)r28-rCr 8x8 -3r 2 ,所以 8-3 2 r=-1,解得 r=6,所以该展开式中含1 x 项的系数为(-1)628-6C6 8=112. 4. 在杨辉三角形中,从第 3 行开始,除 1 以外,其他每一个数值是它上面的二个数值 之和,这个三角形数阵开头几行如下图所示. (1) 在杨辉三角形中是否存在某一行,且该行中三个相邻的数之比为 3∶4∶5?若存 在,试求出是第几行;若不存在,请说明理由. (2) 已知 n,r 为正整数,且 n≥r+3.求证:任何四个相邻的组合数 Cr n,Cr+1 n ,Cr+2 n , C r+3 n 不能构成等差数列. (1) 解:杨辉三角形的第 n 行由二项式系数 Ck n, =0,1,2,…,n 组成. 如果第 n 行中有Ck-1 n Ck n = k n-k+1 =3 4 , Ck n Ck+1 n =k+1 n-k =4 5 , 那么 3n-7 =-3,4n-9 =5, 解这个联立方程组,得 =27,n=62. 即第 62 行有三个相邻的数 C26 62,C27 62,C 28 62的比为 3∶4∶5. (2) 证明:若有 n,r(n≥r+3),使得 Cr n,Cr+1 n ,Cr+2 n ,C r+3 n 成等差数列,则 2Cr+1 n = Cr n+Cr+2 n ,2Cr+2 n =Cr+1 n +Cr+3 n , 即 2·n! (r+1)!(n-r-1)! = n! r!(n-r)! + n! (r+2)!(n-r-2)! , 2·n! (r+2)!(n-r-2)! = n! (r+1)!(n-r-1)! + n! (r+3)!(n-r-3)! . 故 2 (r+1)(n-r-1) = 1 (n-r-1)(n-r) + 1 (r+1)(r+2) , 2 (r+2)(n-r-2) = 1 (n-r-2)(n-r-1) + 1 (r+2)(r+3) , 经整理得到 n2-(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,n2-(4r+9)n+4(r+1)(r+3) +2=0. 两式相减可得 n=2r+3, 于是 Cr 2r+3,Cr+1 2r+3,Cr+2 2r+3,C r+3 2r+3成等差数列, 而由二项式系数的性质可知 Cr 2r+3=Cr+3 2r+3<Cr+1 2r+3=Cr+2 2r+3, 这与等差数列性质矛盾,从而要证明的结论成立. 1. 二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数,在运用公式时要注意以下 几点: (1) Tr+1=Cr nan-rbr 是第 r+1 项,而不是第 r 项. (a+b)n 与(b+a)n 虽然相同,但 若求它们展开式的第几项时是不同的,需注意顺序. (2) 求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列出方程求出 r,再求所需的某项(有 时需先求 n).计算时要注意 n,r 的取值范围及它们的大小关系. (3) 求展开式的某一项的系数,先要准确地写出通项,特别要注意符号问题,然后将 通项中的系数和字母分离. 2. 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别.在(a+b)n 的展开式中,系 数最大的项是中间项;但当 a,b 的系数不是 1 时,系数最大的项的位置就不一定在中间, 需要利用通项公式,根据系数的增减性具体讨论而定. 3. 对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题 目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为集项、配方、因式分解,集项时要注意项 与项结合的合理性和简捷性. 4. 二项式定理的应用方法 (1) “赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路,也是 证明有关组合数恒等式的重要方法. (2) “配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法. (3) 有些不等式的证明问题,也常借助二项式定理进行“放缩”处理.
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