【数学】2020届一轮复习人教A版柯西不等式教案

【数学】2020届一轮复习人教A版柯西不等式教案

姓名 学生姓名 填写时间 学科 数学 年级 高三 教材版本 人教版 阶段 第（）周 本人课时统计 第（）课时 共（）课时 课题名称 不等式选讲（三） ‎ 课时计划 第（）课时 共（）课时 上课时间 教学目标 同步教学知识内容 消灭模糊的知识 个性化学习问题解决 强化技巧 教学重点 数列题目的思维方式 教学难点 培养学生数列这里，好的思维方式：）‎ 教学过程 教师活动 第三章 第一部分 柯西不等式 一、引入：‎ 除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。‎ ‎1、什么是柯西不等式：‎ 定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则 ‎，‎ ‎ 其中等号当且仅当时成立。‎ 证明：‎ 几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，‎ 而，，‎ 所以柯西不等式的几何意义就是：，‎ 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。‎ ‎2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。‎ ‎3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：‎ 分析：‎ 思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？‎ ‎4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。‎ 证明：构造二次函数：‎ ‎ 即构造了一个二次函数：‎ 由于对任意实数，恒成立，则其，‎ 即：，‎ 即：，‎ 等号当且仅当，‎ 即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。‎ 如果（）全为0，结论显然成立。‎ 柯西不等式有两个很好的变式：‎ 变式1 设 ，等号成立当且仅当 变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。‎ 二、典型例题：‎ 例1、已知，，求证：。‎ 例2、设，求证：。‎ 例3、设为平面上的向量，则。‎ 例4、已知均为正数，且，求证：。‎ 方法1：‎ 方法2：（应用柯西不等式）‎ 例5：已知，，…，为实数，求证：。‎ 分析：‎ 推论：在个实数，，…，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当 时，平方和取最小值。‎ 补充性例题：（根据学生情况选讲）‎ ‎1、设x1，x2，…，xn >0, 则 ‎ ‎ 2、设（i=1，2，…，n）且 求证: ．‎ ‎ 3、设a为实常数,试求函数 (x∈R)的最大值．‎ ‎ 4、求函数在上的最大值,其中a，b为正常数．‎ 同步练习：‎ ‎1、已知：，,证明：。‎ 提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。‎ ‎2、若 ，且=，= ，求证： 都是不大于的非负实数。‎ 证明：由 代入=‎ 可得 ‎ ‎∵　 ∴△≥0 即 ‎ ‎ 化简可得 ： ∵　　　　∴‎ ‎　 同理可得：　， ‎ 由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。‎ ‎3、设a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。‎ ‎4、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求的最小值。‎ ‎5、设x，y，zÎR，求的最大值。‎ ‎6、ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。‎ 解：s= DABC面积= 且DABC=DPAB+DPBC+DPAC ÞÞ4x+5y+6z= 由柯西不等式 (4x+5y+6z)2³(x2+y2+z2)(42+52+62) Þ³(x2+y2+z2)´77 Þx2+y2+z2³ ‎7、设三个正实数a,b,c满足，求证： a，b，c一定是某三角形的三边长。‎ ‎8、求证个正实数a1，a2，…，an满足[来源:Zxxk.Com]‎ ‎9、已知,且求证: 。‎ ‎10、设,求证: 。‎ ‎11、设,且x+2y+3z=36,求的最小值．‎ 第二部分：排序不等式 一、引入：‎ ‎1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？‎ 分析：‎ 二、排序不等式：‎ ‎1、基本概念：‎ 一般地，设有两组数：≤≤，≤≤，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：‎ 对 应 关 系 和 备 注 ‎（，，）‎ ‎（，，）‎ 同序和 ‎（，，）‎ ‎（，，）‎ 乱序和 ‎（，，）‎ ‎（，， ）‎ 乱序和 ‎（，，）‎ ‎（， ，）‎ 乱序和 ‎（，，）‎ ‎（，，）‎ 乱序和 ‎（，，）‎ ‎（，， ）‎ 反序和 根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：‎ 同序和最大，反序和最小。‎ ‎2、对引例的验证：‎ 对 应 关 系 和 备 注 ‎（1，2，3）‎ ‎（25，30，45）‎ 同序和 ‎（1，2，3）‎ ‎（25，45，30）‎ 乱序和 ‎（1，2，3）‎ ‎（30，25，45）‎ 乱序和 ‎（1，2，3）‎ ‎（30，45，25）‎ 乱序和 ‎（1，2，3）‎ ‎（45，25，30）‎ 乱序和 ‎（1，2，3）‎ ‎（45，30，25）‎ 反序和 ‎3、类似的问题：‎ ‎5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟， 8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？‎ 分析：‎ ‎4、排序不等式的一般情形：‎ 一般地，设有两组实数：，，，…，与，，，…，，且它们满足：‎ ‎≤≤≤…≤，≤≤≤…≤，‎ 若，，，…，是，，，…，的任意一个排列，则和数在，，，…，与，，，…，同序时最大，反序时最小，即：‎ ‎，‎ 等号当且仅当或时成立。‎ 分析：用逐步调整法 三、典型例题：‎ 例1、已知为正数，求证：。‎ 例2、设，，，…，为正数，求证：‎ ‎。‎ 同步练习：‎ ‎1、求证：。‎ ‎2、在△ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinCha + hb +hc ．‎ ‎3、若a>0,b>0，则．‎ ‎4、在△ABC中，求证：．（IMO）‎ ‎5、若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，求证：．‎ ‎6、若x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤，则．‎ 第三部分：平均不等式 一、引入：‎ ‎ 1、定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）‎ ‎ 证明： ‎ ‎1．指出定理适用范围：‎ 强调取“=”的条件。‎ ‎2、定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）‎ ‎ 证明：∵ ∴‎ ‎ 即： 当且仅当时 ‎ ‎ 注意：1．这个定理适用的范围：；‎ ‎ 2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。‎ ‎3、定理3：如果，那么（当且仅当时取“=”）‎ ‎ 证明：∵‎ ‎∵ ∴上式≥0 从而 指出：这里 ∵就不能保证。‎ ‎ 推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”）‎ ‎ 证明：‎ ‎ ‎ ‎4、算术—几何平均不等式：‎ ‎①．如果 则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数；‎ ‎②．基本不等式： ≥（） ‎ 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）‎ 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。‎ ‎③．的几何解释：‎ 以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’^AB 则，‎ 从而，而半径。‎ 二、典型例题：‎ 例1、已知为两两不相等的实数，求证：。‎ 证：∵ ‎ 以上三式相加：‎ ‎∴‎ 例2、设为正数，求证：。‎ 例3、设，，，…，为正数，证明：。‎ 例4、若，设 ‎ ‎ 求证：‎ ‎ 加权平均；算术平均；几何平均；调和平均 证：∵‎ ‎∴即：（俗称幂平均不等式）‎ 由平均不等式 即：‎ 综上所述：‎ 同步练习：‎ ‎1、若 求证 证：由幂平均不等式：‎ ‎ ‎ 第四部分：利用平均不等式求最大（小）值 一、引入：‎ ‎1、重要的结论：‎ 已知x，y都是正数，则：‎ ‎ (1)、如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；‎ ‎ (2)、如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值。‎ 二、典型例题：‎ 例1、当取什么值时，函数有最小值？最小值是多少？‎ 例2、求函数（）的最小值。‎ 例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算？[来源:Z&xx&k.Com]‎ 分析：‎ 例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上A点的水平距离是，那么电灯距离桌面的高度等于多少时，A点处最亮？（亮度公式：，这里为常数，是电灯到照射点的距离，是照射到某点的光线与水平面所成的角）‎ 分析：‎ 例5、求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？‎ 解一： ‎ ‎∴‎ 解二：当即时 ‎ ‎ 答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）‎ 正确的解法是：‎ 当且仅当即时 例6、若，求的最值。‎ 解：‎ ‎∵ ∴ ‎ 从而 ‎ 即。‎ 例7、设且，求的最大值 解：∵ ∴‎ 又 ‎∴‎ 即 例8、已知且，求的最小值 解：‎ ‎ ‎ 当且仅当即时 同步练习：‎ ‎1．求下列函数的最值：‎ ‎1° 、 (min=6)‎ ‎2°、 ()‎ ‎ 2．1°、时求的最小值，的最小值 ‎2°、设，求的最大值(5)‎ ‎3°、若, 求的最大值 ‎4°、若且，求的最小值 ‎3．若，求证：的最小值为3‎ ‎4．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）‎ 阅读性练习：‎ ‎1、将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，‎ 要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？‎ 解：设剪去的小正方形的边长为 则其容积为 当且仅当即时取“=”‎ 即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为 ‎2、某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为9千元；汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)?‎ 解：设这种汽车使用n年报废最合算n年汽车的维修总费用为 ‎ (万元)‎ 年平均费用y=‎ 当且仅当即n＝10时取等号。‎ 答：这种汽车使用10年报废最合算。‎ ‎3、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ>1)，画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白。怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积最小？(2001年全国文科高考题)‎ ‎ 解：设画面的宽为x cm，则画面的高为cm，设纸张面积为S ‎ S=‎ 当且仅当x＝，即x= 55 cm，此时高 答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小。‎ 评注：在应用均值不等式解决这类实际问题时，应注意：‎ ① 设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数；‎ ② 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；‎ ③ 在定义域内，求函数的最大值或最小值；正确写出答案。‎ 第五部分：利用柯西不等式求最大（小）值 一、引入：‎ ‎ 1、柯西不等式：。‎ 二、典型例题：‎ 例1、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？‎ 例2、如图，等腰直角三角形AOB的直角边为1，在这个三角形内任意取一点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的最小值，以及取到最小值时点P的位置。‎ 分析：‎ 课后作业 课后记 本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ _____________________________‎ 学生的接受程度：完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ ________________________________‎ 学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ ________________________________‎ 学生上次作业完成情况：数量____% 完成质量____分 存在问题 ______________________________‎ 配合需求：家长___________________________________________________________________________‎ ‎ 学管师_________________________________________________________________________‎ 备 注 提交时间 教研组长审批 家长签名